Localisation et cartographie

a) Une photographie aérienne est une image formée de pixels : raster. Le tracé des pistes cyclables est une suite de lignes : vectoriel. Les arrêts de bus sont des points : vectoriel. Une carte scannée est une image : raster.

b) Il affiche une couche de relief (courbes de niveau, relief ombré ou carte topographique), une couche des itinéraires de randonnée et une couche d'hydrographie (cours d'eau, sources). Il peut garder la photographie aérienne en fond.

c) Dans une couche vectorielle, chaque objet porte des attributs (type, nom, horaires) : on peut donc interroger la base (« tous les objets de type pharmacie dans la commune »). Une photographie ne contient que des couleurs de pixels : aucune information « pharmacie » n'y est enregistrée.

d) Rendre une couche partiellement transparente permet de voir en même temps la couche du dessous, par exemple les limites de parcelles sur la photographie aérienne.

a) À l'échelle 1/20 000, 1 cm représente 20 000 cm. Distance réelle : 3,7 × 20 000 = 74 000 cm = 740 m.

b) 1,9 km = 190 000 cm. Distance sur la carte : 190 000 ÷ 50 000 = 3,8 cm.

c) 3,5 km = 350 000 cm. Donc 5 cm représentent 350 000 cm, et 1 cm représente 350 000 ÷ 5 = 70 000 cm. L'échelle est 1/70 000.

d) Sur une carte numérique, chaque niveau de zoom affiche le territoire avec plus ou moins de détails : 1 cm à l'écran ne représente pas la même distance d'un niveau à l'autre. L'échelle change avec le zoom ; c'est pourquoi le logiciel recalcule la barre d'échelle à chaque niveau.

a) Les carrefours sont les sommets : 5 sommets. Les tronçons sont les arêtes : 6 arêtes.

b) Q est relié à P, R et S : ses voisins sont P, R et S.

c) P–R–T : 620 + 540 = 1 160 m. P–Q–S–T : 350 + 470 + 260 = 1 080 m. P–Q–R–T : 350 + 180 + 540 = 1 070 m.

d) T n'a que deux voisins, R et S, et S n'est relié qu'à Q et T. Les chemins de P à T sans repasser par un même sommet sont donc P–R–T, P–Q–R–T, P–Q–S–T et P–R–Q–S–T ; ce dernier mesure 620 + 180 + 470 + 260 = 1 530 m. Le minimum de 1 160, 1 070, 1 080 et 1 530 est 1 070 : P–Q–R–T est le plus court chemin (1 070 m).

a) On note entre parenthèses le prédécesseur.

Détail : depuis C, B passe de 7 à 2 + 4 = 6 ; depuis B, D passe de 13 à 6 + 5 = 11 ; depuis E, 10 + 2 = 12 > 11, D reste à 11 ; depuis D, F passe de 16 à 11 + 3 = 14.

b) En remontant : F ← D ← B ← C ← A. Le plus court chemin est A–C–B–D–F, de longueur 14 km.

c) Sans B–D : après avoir fixé C (2), on a B = 6, D = 13, E = 10. On fixe B (6), qui n'améliore rien. On fixe E (10) : D devient 10 + 2 = 12 < 13, F = 16. On fixe D (12) : F devient 12 + 3 = 15 < 16. Nouveau chemin : A–C–E–D–F, 15 km.

d) Depuis A : C (2 km). Depuis C, voisins non visités B (4), E (8), D (11) : B. Depuis B, seul D reste (5). Depuis D : E (2) plutôt que F (3). Depuis E : F (6). Chemin A–C–B–D–E–F de longueur 2 + 4 + 5 + 2 + 6 = 19 km, soit 5 km de plus que l'optimum. Choisir localement le tronçon le plus court ne garantit pas le plus court chemin : il faut un algorithme comme celui de Dijkstra.

a) Un objet réduit à un point est un nœud. amenity=pharmacy : c'est une pharmacie (un équipement ou service). name=… : elle s'appelle « Pharmacie des Tilleuls ». opening_hours=… : elle est ouverte du lundi au samedi de 8 h 30 à 19 h 45.

b) Une rue est une ligne, donc un chemin (suite de nœuds) ouvert. Étiquettes : highway=pedestrian (voie piétonne) et name=rue du Marché.

c) Le contour d'un bâtiment est un chemin fermé (le dernier nœud est le premier), étiqueté par exemple building=yes, éventuellement complété par leisure=sports_centre.

d) Une carte commerciale est protégée par le droit d'auteur ; ses données ne sont pas sous une licence compatible avec celle d'OpenStreetMap (ODbL). Les recopier serait une contrefaçon qui obligerait à supprimer les modifications. Sources acceptables : les observations faites sur le terrain (panneaux de rue) et l'imagerie aérienne ou les données ouvertes dont la licence autorise l'usage dans OSM.

a) Au niveau 0, il y a 1 = $4^0$ tuile. Passer d'un niveau au suivant remplace chaque tuile par 4 (elle est coupée en 2 en largeur et en 2 en hauteur) : le nombre de tuiles est multiplié par 4. Après $z$ niveaux, il vaut 1 × 4 × 4 × … × 4 ($z$ facteurs), donc $4^z$ tuiles.

b) $4^7=16384$ : 16 384 tuiles.

c) $4^{13}=67108864$ tuiles. Place : 67 108 864 × 14 = 939 524 096 Ko, soit environ 940 Go (près d'un téraoctet) pour un seul niveau de zoom. C'est pourquoi les serveurs ne pré-calculent souvent que les tuiles réellement demandées.

d) Au niveau 13, le monde fait $2^{13}=8192$ tuiles de large, soit 8 192 × 256 = 2 097 152 pixels. Un pixel représente 40 075 000 ÷ 2 097 152 ≈ 19,1 m à l'équateur.

a) Itinéraire 2 : 6,3 + 1,4 = 7,7 km, contre 3,6 km. L'itinéraire 1 est le plus court.

b) Avec $t=\frac{d}{v}$ : itinéraire 1 : $\frac{3,6}{18}=0,2$ h = 12 min. Itinéraire 2 : rocade $\frac{6,3}{70}=0,09$ h = 5,4 min ; rues $\frac{1,4}{28}=0,05$ h = 3 min ; total 8,4 min (8 min 24 s). L'itinéraire 2 est le plus rapide, bien que plus long de 4,1 km.

c) Rocade : $\frac{6,3}{35}=0,18$ h = 10,8 min, total 10,8 + 3 = 13,8 min > 12 min. L'itinéraire 1 devient le plus rapide.

d) Il faut 3 + durée rocade < 12, soit durée rocade < 9 min = 0,15 h. Donc $\frac{6,3}{v}<0,15$, c'est-à-dire $v>\frac{6,3}{0,15}=42$ km/h. Il faut rouler à plus de 42 km/h en moyenne sur la rocade.

1. Une journée dure 24 × 3 600 = 86 400 s. Nombre de positions : 86 400 ÷ 15 = 5 760 par jour. Volume journalier : 5 760 × 48 = 276 480 octets. Sur un an : 276 480 × 365 = 100 915 200 octets, soit environ 101 Mo pour une seule personne.

2. La zone 1 est occupée la nuit (de 17 h 50 à 7 h 20) dans un immeuble d'habitation : c'est le domicile. La zone 2 est occupée pendant les heures de cours, chaque jour de la semaine, et correspond à un lycée : c'est le lieu d'études ; l'utilisateur est vraisemblablement un lycéen.

3. Une visite régulière chez un kinésithérapeute révèle un problème de santé (blessure, rééducation). Les données de santé sont des données sensibles : leur divulgation pourrait nuire à la personne (assurance, employeur, moqueries) et leur traitement est très encadré par le RGPD.

4. Retirer le nom ne suffit pas, car les positions elles-mêmes identifient la personne. Le couple domicile (zone 1) – lycée (zone 2) désigne très peu de personnes, souvent une seule. Le document 3 montre que 4 points datés suffisent à rendre unique 95 % des personnes ; or l'application en collecte 5 760 par jour. Quiconque connaît l'adresse de l'élève peut retrouver sa trace. Les données restent personnelles : elles sont seulement pseudonymisées, pas anonymes.

5. • Autoriser la position seulement pendant l'utilisation (ou jamais) : l'application ne collecte plus la nuit ni en arrière-plan. • Choisir la position approximative : la zone reste floue, le cabinet ou l'immeuble ne sont plus identifiables. • Désactiver l'historique des positions et supprimer celui déjà enregistré : aucune trace ne s'accumule sur des mois.

1. W–X : $t=\frac{2,8}{21}=\frac{2}{15}$ h, soit $\frac{2}{15}\times 60=8$ min. De même : U–V $\frac{4}{60}$ h = 4 min ; U–W $\frac{3}{30}$ h = 6 min ; V–W $\frac{2}{40}$ h = 3 min ; V–X $\frac{9}{90}$ h = 6 min ; W–Y $\frac{5,5}{33}$ h = 10 min ; X–Y $\frac{1,2}{36}$ h = 2 min ; X–Z $\frac{11}{110}$ h = 6 min ; Y–Z $\frac{2,5}{50}$ h = 3 min.

2.

(Depuis V : 4 + 3 = 7 > 6, W reste à 6 ; depuis W : 6 + 8 = 14 > 10, X reste à 10.) En remontant : Z ← Y ← X ← V ← U. Itinéraire U–V–X–Y–Z : 15 min, pour 4 + 9 + 1,2 + 2,5 = 16,7 km.

3. U–W–X–Y–Z : 3 + 2,8 + 1,2 + 2,5 = 9,5 km et 6 + 8 + 2 + 3 = 19 min. Il est plus court de 7,2 km mais plus lent de 4 min. L'application minimise la durée : les poids de son graphe sont des temps de parcours, pas des longueurs.

4. On reprend sans X–Y. Les trois premières étapes sont inchangées (V = 4, W = 6, X = 10). Depuis X : Z = 10 + 6 = 16 ; Y reste à 16 (par W). Z et Y valent 16 ; on fixe Z, l'arrivée. Depuis Y on aurait eu 16 + 3 = 19 > 16 de toute façon. Nouvel itinéraire : U–V–X–Z, 16 min (24 km).

5. La vitesse maximale n'est qu'une limite : bouchons, feux, travaux ou accidents font varier fortement la vitesse réelle selon l'heure. Des poids fondés sur les limitations conduiraient à proposer des itinéraires saturés. En utilisant les vitesses mesurées à partir des positions des usagers, l'application met à jour les poids en continu et recalcule un itinéraire vraiment plus rapide.

1. Départ 7 h 00 : 18 min = 0,3 h, donc $v=\frac{11,7}{0,3}=$ 39 km/h. Départ 8 h 00 : 34 min = $\frac{34}{60}$ h, donc $v=11,7\times \frac{60}{34}=\frac{702}{34}\approx$ 20,6 km/h. La vitesse est presque divisée par deux à l'heure de pointe.

2. Le trajet est bien plus court à 8 h 30 (23 min contre 34 min), mais l'arrivée se fait à 8 h 53, après 8 h 40. Le camarade compare des durées alors que la contrainte porte sur l'heure d'arrivée. Départ 8 h 00 : arrivée 8 h 34, avant 8 h 40. L'heure de départ la plus tardive est 8 h 00.

3. Avec les cinq mesures : durée moyenne (51 + 68 + 85 + 60 + 312) ÷ 5 = 576 ÷ 5 = 115,2 s ; $v=\frac{850}{115,2}\approx 7,38$ m/s ≈ 26,6 km/h. Sans le téléphone 5 : (51 + 68 + 85 + 60) ÷ 4 = 264 ÷ 4 = 66 s ; $v=\frac{850}{66}\approx 12,88$ m/s ≈ 46,4 km/h. La mesure 5 est environ 4 à 6 fois plus longue que les autres, sur le même créneau : ce téléphone s'est sans doute arrêté (stationnement, livraison, piéton). C'est une valeur aberrante qui ferait croire à un bouchon inexistant.

4. Avec peu d'utilisateurs, une seule mesure atypique fausse la moyenne et certains tronçons ne sont pas couverts. Avec beaucoup de mesures, les écarts individuels se compensent et l'on détecte les valeurs aberrantes. La collecte respecte la vie privée si l'utilisateur y a consenti, si les positions sont agrégées (vitesse par tronçon, sans suivi individuel) et si les traces détaillées ne sont pas conservées.

5. Conséquence : hausse du trafic, du bruit et du danger dans une rue non conçue pour cela, près d'habitations ou d'écoles. Réponse : la commune peut modifier la circulation (sens unique, zone limitée à 30 km/h, accès réservé aux riverains) ; ces règles, reportées sur les cartes, font baisser l'intérêt de la rue dans le calcul d'itinéraire.