Localisation et cartographie

Exercice 1 — Coordonnées géographiques et conversions
Corrigé :
1. La latitude est l'angle entre l'équateur et le point, compris entre $-90°$ (pôle Sud) et $+90°$ (pôle Nord). La longitude est l'angle entre le méridien de Greenwich et le méridien du point, compris entre $-180°$ et $+180°$.
2. Latitude : $45 + \frac{45}{60} + \frac{36}{3600} = 45 + 0{,}750 + 0{,}010 = 45{,}760°$ N. Longitude : $4 + \frac{50}{60} + \frac{06}{3600} = 4 + 0{,}833 + 0{,}002 = 4{,}835°$ E.
3. Ce point se situe à l'intersection de l'équateur et du méridien de Greenwich, dans le golfe de Guinée (océan Atlantique, au large du Ghana).

Exercice 2 — Fonctionnement du GPS
Corrigé :
1. Chaque satellite GPS émet un signal radio horodaté. Le récepteur mesure le temps de trajet $t$ et calcule la distance $d = c \times t$. Le récepteur se trouve sur une sphère de rayon $d$ autour du satellite. Avec au moins 4 satellites, l'intersection des sphères permet de déterminer la position en 3D.
2. $d = c \times t = 3 \times 10^8 \times 7{,}5 \times 10^{-2} = 22{,}5 \times 10^6\,\text{m} = 22\,500\,\text{km}$.
3. L'horloge interne du récepteur GPS (économique) n'est pas assez précise pour mesurer des temps de l'ordre de $10^{-2}$ s avec la précision requise. Un 4e satellite ajoute une équation supplémentaire qui permet de corriger cet écart d'horloge et donc d'affiner la position.

Exercice 3 — Cartographie numérique et OpenStreetMap
Corrigé :
1. Une donnée raster est une image composée de pixels (ex. : photo satellite, fond de carte scanné). Elle se pixélise au zoom. Une donnée vecteur décrit des formes géométriques (points, lignes, polygones) avec des attributs (ex. : tracé d'une route, contour d'un département). Elle reste nette à tout niveau de zoom.
2. Les trois objets OSM : nœud (point géolocalisé, ex. : un arrêt de bus), chemin (way : séquence de nœuds, ex. : une route ou un bâtiment), relation (groupe d'objets, ex. : une ligne de tramway complète).
3. Au niveau $z = 6$ : $2^6 \times 2^6 = 64 \times 64 = 4\,096$ tuiles.

Exercice 4 — Métadonnées et vie privée
Corrigé :
1. Une métadonnée est une donnée qui décrit une autre donnée. Exemples de métadonnées EXIF dans une photo JPEG : les coordonnées GPS du lieu de prise de vue et la date et l'heure de la photo (ainsi que le modèle de l'appareil photo, l'ouverture, la vitesse d'obturation…).
2. Les coordonnées GPS intégrées dans une photo permettent de localiser précisément le lieu où elle a été prise. En partageant la photo en ligne, on peut révéler son adresse personnelle (si la photo est prise à domicile) ou ses habitudes de déplacement, ce qui constitue une atteinte à la vie privée et peut permettre à des personnes malveillantes de localiser physiquement l'auteur.

Exercice 5 — Calcul de distance et algorithmes de navigation
Corrigé :
1. $\Delta\varphi = 43{,}7 - 43{,}3 = 0{,}4°$ → distance verticale : $0{,}4 \times 111 = 44{,}4$ km. $\Delta\lambda = 5{,}9 - 5{,}4 = 0{,}5°$ → distance horizontale : $0{,}5 \times 74 = 37$ km. Distance totale : $d = \sqrt{44{,}4^2 + 37^2} = \sqrt{1971{,}4 + 1369} = \sqrt{3340{,}4} \approx 57{,}8$ km.
2. L'algorithme de Dijkstra est un algorithme qui calcule le chemin le plus court dans un graphe pondéré (les nœuds sont les intersections, les arêtes sont les routes avec leurs longueurs). Les GPS l'utilisent (avec des variantes comme A*) pour trouver l'itinéraire le plus rapide ou le plus court entre deux points en analysant le réseau routier.