À propos de cette page
Ce cours de sciences numériques et technologie (snt) en seconde sur « Localisation et cartographie » suit le programme officiel de sciences numériques et technologie (snt) de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Coordonnées géographiques : latitude et longitude, Le système WGS84 et les projections cartographiques, Le système GPS : principe de fonctionnement, La cartographie numérique : tuiles, raster et vecteur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en sciences numériques et technologie (snt).
Au programme
1 · Coordonnées géographiques : latitude et longitude
2 · Le système WGS84 et les projections cartographiques
3 · Le système GPS : principe de fonctionnement
4 · La cartographie numérique : tuiles, raster et vecteur
5 · OpenStreetMap : une carte collaborative et libre
6 · Données géolocalisées et métadonnées
7 · Calcul de distance et algorithmes de navigation
1Coordonnées géographiques : latitude et longitude
Pour repérer un point sur la Terre, on utilise un système de coordonnées géographiques basé sur deux angles mesurés depuis le centre de la Terre.
Définition. La latitude (notée $\varphi$) est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du point considéré, compris entre $-90°$ (pôle Sud) et $+90°$ (pôle Nord). La longitude (notée $\lambda$) est l'angle entre le plan du méridien de Greenwich et le méridien du point, compris entre $-180°$ et $+180°$.
Un point est donc repéré par un couple $( \varphi,\, \lambda )$, souvent noté en degrés décimaux (ex. : $48,853°\text{N},\, 2,350°\text{E}$ pour Paris) ou en degrés, minutes et secondes (ex. : $48°51'10"\text{N},\, 2°21'0"\text{E}$).
Exemple. Marseille : latitude $43,296°\text{N}$, longitude $5,381°\text{E}$. New York : latitude $40,713°\text{N}$, longitude $74,006°\text{O}$.
Astuce. Pour convertir : $1° = 60'$ (minutes) et $1' = 60''$ (secondes). En degrés décimaux : $48°51'10'' = 48 + \frac{51}{60} + \frac{10}{3600} \approx 48{,}853°$.
2Le système WGS84 et les projections cartographiques
La Terre n'est pas une sphère parfaite mais un ellipsoïde légèrement aplati aux pôles. Le système WGS84 (World Geodetic System 1984) est le référentiel géodésique mondial utilisé par le GPS et la plupart des cartes numériques.
Définition. Un référentiel géodésique est un modèle mathématique de la forme de la Terre qui permet de définir précisément les coordonnées géographiques. WGS84 définit un ellipsoïde de référence avec un rayon équatorial de $6\,378\,137\,\text{m}$ et un aplatissement de $\frac{1}{298{,}257}$.
Pour afficher une carte sur un écran plat, il faut projeter la surface courbe de la Terre sur un plan. Toute projection déforme soit les surfaces, soit les angles, soit les distances.
| Projection | Propriété conservée | Utilisation |
|---|
| Mercator | Angles (conforme) | Navigation, cartes web (Google Maps, OSM) |
| Peters/Gall-Peters | Surfaces (équivalente) | Comparaison des superficies |
| Azimutale | Distances depuis le centre | Cartes polaires |
Attention ! La projection de Mercator, utilisée par défaut dans la plupart des cartes numériques, déforme fortement les surfaces : le Groenland paraît aussi grand que l'Afrique, alors qu'il est 14 fois plus petit !
3Le système GPS : principe de fonctionnement
Le GPS (Global Positioning System) est un système de positionnement par satellites développé par les États-Unis. Il repose sur une constellation de 24 à 32 satellites en orbite à environ $20\,200\,\text{km}$ d'altitude.
Définition. Le GPS utilise le principe de trilatération : le récepteur mesure le temps de trajet du signal radio émis par chaque satellite. Connaissant la vitesse des ondes radio ($c \approx 3\times10^8\,\text{m/s}$), il calcule la distance : $d = c \times t$. L'intersection des sphères de distances autour d'au moins 4 satellites donne la position (latitude, longitude, altitude).
Exemple. Si un signal met $t = 0{,}067\,\text{s}$ pour aller du satellite au récepteur, la distance est $d = 3\times10^8 \times 0{,}067 \approx 20\,100\,\text{km}$. Un 4e satellite est nécessaire pour corriger l'horloge interne du récepteur.
D'autres systèmes de positionnement existent :
- GLONASS (Russie)
- Galileo (Union européenne)
- BeiDou (Chine)
On parle de façon générique de systèmes GNSS (Global Navigation Satellite System).
Astuce. La précision d'un GPS grand public est d'environ 3 à 5 mètres. Des corrections différentielles (DGPS, RTK) peuvent atteindre le centimètre, utilisées en géodésie ou agriculture de précision.
4La cartographie numérique : tuiles, raster et vecteur
Les cartes numériques sont construites à partir de deux types de données fondamentaux.
Définition. Une donnée raster est une image composée de pixels (comme une photo satellite ou une image scannée). Une donnée vecteur représente des formes géométriques (points, lignes, polygones) décrites mathématiquement, auxquelles on associe des attributs (nom d'une rue, population d'une ville…).
| Type | Avantages | Inconvénients |
|---|
| Raster | Réaliste, facile à produire | Lourd, pixélisé au zoom |
| Vecteur | Léger, net à tout zoom, éditable | Plus complexe à créer |
Les cartes web (Google Maps, OpenStreetMap) utilisent un système de tuiles : la carte mondiale est découpée en images carrées (256×256 pixels). Chaque tuile est identifiée par trois nombres : le niveau de zoom $z$, la colonne $x$ et la ligne $y$.
Exemple. Au niveau de zoom $z$, la carte entière est divisée en $2^z \times 2^z$ tuiles. Pour $z=0$, une seule tuile représente le monde entier. Pour $z=18$, il y a $2^{18} \times 2^{18} \approx 68\,\text{milliards}$ de tuiles (niveau rue).
5OpenStreetMap : une carte collaborative et libre
OpenStreetMap (OSM) est un projet de cartographie collaborative lancé en 2004 au Royaume-Uni. Toute personne peut contribuer à la carte en ajoutant ou modifiant des données géographiques.
Définition. OpenStreetMap est une base de données géographiques libre (licence ODbL), maintenue par une communauté de contributeurs bénévoles, accessible gratuitement via des API et téléchargeable.
Les données OSM sont organisées en trois objets primitifs :
- Node (nœud) : un point géolocalisé (ex. : un arrêt de bus, un arbre)
- Way (chemin) : une séquence ordonnée de nœuds formant une ligne ou un polygone (ex. : une route, un bâtiment)
- Relation : un groupement d'objets (ex. : une ligne de métro complète)
Chaque objet peut avoir des tags (étiquettes clé=valeur) : par exemple highway=motorway, name=Avenue du Prado, maxspeed=50.
Astuce. OpenStreetMap est souvent plus à jour que les cartes commerciales dans les zones où la communauté est active. Il est utilisé par des applications comme OsmAnd, Maps.me, et par des organisations humanitaires (Croix-Rouge, MSF).
Attention ! Comme toute base de données participative, la qualité des données OSM peut varier selon les régions. Il est important de croiser les sources pour des usages critiques.
6Données géolocalisées et métadonnées
De nombreux fichiers numériques intègrent automatiquement des données de localisation appelées géotags.
Définition. Les métadonnées sont des données qui décrivent d'autres données. Dans une photo numérique (format JPEG/EXIF), les métadonnées contiennent la date, l'heure, le modèle d'appareil, et souvent les coordonnées GPS du lieu de prise de vue.
Exemple. Voici un extrait de métadonnées EXIF d'une photo :
GPS Latitude : 43°17'47" N
GPS Longitude : 5°22'53" E
Date/Time : 2024:03:15 14:32:07
Les données géolocalisées sont massivement utilisées :
- Navigation (Google Maps, Waze)
- Réseaux sociaux (Instagram, Twitter) qui géolocalisent les publications
- Logistique et livraison (suivi de colis)
- Applications météo (localisation automatique)
Attention ! Partager des photos avec leurs métadonnées GPS peut révéler votre adresse personnelle ou vos habitudes de déplacement. Il est conseillé de supprimer les métadonnées avant de partager des photos en ligne (vie privée).
Format GeoJSON. Le GeoJSON est un format standard (basé sur JSON) pour représenter des objets géographiques avec leurs attributs. Exemple : {"type":"Point", "coordinates":[5.381, 43.296]} représente le point de Marseille.
7Calcul de distance et algorithmes de navigation
Les applications de navigation calculent en permanence des distances entre points GPS et des itinéraires optimaux.
Formule de Haversine. Sur une sphère de rayon $R \approx 6\,371\,\text{km}$, la distance orthodromique (grand cercle) entre deux points $(\varphi_1, \lambda_1)$ et $(\varphi_2, \lambda_2)$ est :
$$d = 2R \arcsin\!\left(\sqrt{\sin^2\!\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right) + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\sin^2\!\left(\frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}\right)}\right)$$
Cette formule est utilisée dans les applications GPS pour calculer la distance à vol d'oiseau entre deux lieux.
Exemple simplifié. Pour de courtes distances (quelques dizaines de km), on peut approximer : en France, $1°$ de latitude $\approx 111\,\text{km}$ et $1°$ de longitude $\approx 74\,\text{km}$ (variable selon la latitude). La distance Marseille–Paris est d'environ $660\,\text{km}$ à vol d'oiseau.
Pour calculer un itinéraire, les applications utilisent des algorithmes de plus court chemin sur un graphe où les nœuds sont des intersections et les arêtes des routes pondérées par la distance ou le temps de trajet.
Astuce. L'algorithme de Dijkstra (au programme en Terminale NSI) permet de trouver le chemin le plus court dans un graphe. Les GPS l'utilisent avec des variantes plus rapides (A*) qui tiennent compte de la direction générale de la destination.
★À retenir
En bref :
• La position sur Terre est repérée par la latitude ($-90°$ à $+90°$) et la longitude ($-180°$ à $+180°$) dans le système WGS84.
• Le GPS fonctionne par trilatération : il mesure la distance à au moins 4 satellites en calculant $d = c \times t$ pour déduire la position.
• Les cartes numériques utilisent des tuiles (images 256×256 px) organisées par niveau de zoom. Les données sont soit raster (pixels) soit vecteur (formes géométriques).
• OpenStreetMap est une carte libre et collaborative (nœuds, chemins, relations, tags).
• Les métadonnées EXIF des photos peuvent contenir les coordonnées GPS : attention à la vie privée !
• Les algorithmes de navigation (Dijkstra, A*) calculent l'itinéraire optimal dans un graphe routier.