Description de l'Univers : ordres de grandeur et échelles

a) On déplace la virgule de 5 rangs vers la droite pour obtenir 3,6 : $0,000036=3,6\times {10}^{-5}$. Réponse : $3,6\times {10}^{-5}$ m.

b) $407000000$ km $=4,07\times {10}^8$ km. Or $1$ km $={10}^3$ m, donc $4,07\times {10}^8\times {10}^3=$ $4,07\times {10}^{11}$ m.

c) $25,6=2,56\times {10}^1$, donc $25,6\times {10}^{-3}=2,56\times {10}^{1+(-3)}=$ $2,56\times {10}^{-2}$.

d) $0,048=4,8\times {10}^{-2}$, donc $0,048\times {10}^7=4,8\times {10}^{-2+7}=$ $4,8\times {10}^5$. Contrôle : dans c) et d), le nombre $a$ obtenu vérifie bien $1\le a<10$.

a) La valeur est déjà en notation scientifique avec $a=1,2<5$ : ordre de grandeur ${10}^{-7}$ m.

b) $8849$ m $=8,849\times {10}^3$ m. Comme $8,849\ge 5$, l'ordre de grandeur est ${10}^{3+1}=$ ${10}^4$ m.

c) $58232$ km $=5,8232\times {10}^4$ km $=5,8232\times {10}^7$ m. Comme $5,8232\ge 5$ : ${10}^8$ m.

d) $0,09$ mm $=0,09\times {10}^{-3}$ m $=9\times {10}^{-5}$ m. Comme $9\ge 5$ : ${10}^{-4}$ m. On remarque qu'en c) et d) l'ordre de grandeur n'est pas la puissance de dix de l'écriture scientifique : c'est la comparaison à 5 qui tranche.

a) Produit de puissances de dix : on additionne les exposants, ${10}^{5+(-8)}=$ ${10}^{-3}$.

b) $({10}^3{)}^4={10}^{3\times 4}={10}^{12}$, puis $\frac{{10}^{12}}{{10}^7}={10}^{12-7}=$ ${10}^5$.

c) $4,5\times 6=27$ et ${10}^6\times {10}^{-2}={10}^4$, d'où $27\times {10}^4=2,7\times {10}^1\times {10}^4=$ $2,7\times {10}^5$.

d) $\frac{5,6}{8}=0,7$ et $\frac{{10}^4}{{10}^{-3}}={10}^{4-(-3)}={10}^7$, d'où $0,7\times {10}^7=7\times {10}^{-1}\times {10}^7=$ $7\times {10}^6$. Attention au signe : soustraire $-3$ revient à ajouter 3.

a) $1$ km $={10}^3$ m, donc $d=5,79\times {10}^7\times {10}^3=$ $5,79\times {10}^{10}$ m.

b) $d=\frac{5,79\times {10}^{10}}{1,50\times {10}^{11}}=0,386$, soit $0,386$ ua : Mercure est à moins de la moitié de la distance Terre–Soleil.

c) $\Delta t=\frac{d}{c}=\frac{5,79\times {10}^{10}}{3,00\times {10}^8}=193$ s. Or $193=3\times 60+13$ : 3 min 13 s.

d) En mètres, on manipule un nombre de 11 chiffres ; en années-lumière, $\frac{5,79\times {10}^{10}}{9,46\times {10}^{15}}=6,12\times {10}^{-6}$ al, valeur minuscule. En ua, on obtient 0,386 : un nombre simple, directement comparable à la distance Terre–Soleil. L'ua est donc l'unité adaptée au Système solaire.

a) Durée d'une année en secondes : $365,25\times 24\times 3600=31557600$ s $=3,156\times {10}^7$ s. La lumière parcourt $d=c\times \Delta t=2,998\times {10}^8\times 3,156\times {10}^7=9,461\times {10}^{15}$ m. On a bien $1$ al $\approx 9,46\times {10}^{15}$ m.

b) $d=36,7\times 9,46\times {10}^{15}=347,2\times {10}^{15}=$ $3,47\times {10}^{17}$ m.

c) $d=\frac{3,47\times {10}^{17}}{1,50\times {10}^{11}}=$ $2,31\times {10}^6$ ua, plus de deux millions de fois la distance Terre–Soleil : l'ua n'est plus adaptée à cette échelle.

d) Arcturus est à 36,7 al, donc sa lumière voyage pendant 36,7 ans. $2026-36,7=1989,3$ : la lumière reçue en 2026 est partie vers 1989.

a) Noyau : $a=1,7<5$ → ${10}^{-15}$ m. Molécule : $2,8<5$ → ${10}^{-10}$ m. Bactérie : $2<5$ → ${10}^{-6}$ m. Girafe : $5,5=5,5\times {10}^0$ avec $5,5\ge 5$ → ${10}^1$ m. Mars : $6,78\ge 5$ → ${10}^7$ m. Andromède : $2,1<5$ → ${10}^{21}$ m.

b) Ordre croissant : noyau, molécule d'eau, bactérie, girafe, Mars, Andromède. Rapport extrême : $\frac{{10}^{21}}{{10}^{-15}}={10}^{21-(-15)}={10}^{36}$ : 36 puissances de dix.

c) $\frac{{10}^{-6}}{{10}^{-10}}={10}^4$ : une bactérie est environ ${10}^4$ fois plus grande qu'une molécule d'eau.

d) $\frac{2\times {10}^{-6}}{2,8\times {10}^{-10}}=0,714\times {10}^4=7,14\times {10}^3$. Comme $7,14\ge 5$, l'ordre de grandeur de ce rapport est ${10}^4$ : le calcul exact confirme l'estimation.

a) $\frac{7,0\times {10}^{-11}}{2,6\times {10}^{-15}}$$=2,69\times {10}^{-11-(-15)}$$=$ $2,69\times {10}^4$.

b) $a=2,69<5$ : ordre de grandeur ${10}^4$.

c) Les diamètres sont dans le même rapport que les rayons : $4\times 2,69\times {10}^4=1,08\times {10}^5$ mm $=$ 108 m, la longueur d'un terrain de football.

d) Le volume d'une boule est proportionnel au cube du rayon : $(2,69\times {10}^4{)}^3=19,5\times {10}^{12}=$ $1,95\times {10}^{13}$. Le noyau n'occupe donc qu'une fraction $\frac{1}{1,95\times {10}^{13}}\approx 5\times {10}^{-14}$ du volume de l'atome : l'atome est essentiellement vide, sa structure est lacunaire.

a) Par définition de l'année-lumière, la lumière parcourt 1 al en 1 an. Pour $1,63\times {10}^5$ al, elle met $1,63\times {10}^5$ ans, soit 163 000 ans.

b) $d=1,63\times {10}^5\times 9,46\times {10}^{15}=15,42\times {10}^{20}=$ $1,54\times {10}^{21}$ m.

c) Premier calcul : $1,63\times {10}^5\times 3,156\times {10}^7=5,14\times {10}^{12}$ s. Second calcul : $\Delta t=\frac{d}{c}=\frac{1,542\times {10}^{21}}{3,00\times {10}^8}=5,14\times {10}^{12}$ s. Les deux résultats concordent (aux arrondis de $c$ et de l'année-lumière près).

d) La lumière de cette étoile est partie il y a 163 000 ans. La photo montre l'étoile telle qu'elle était à l'émission : elle a pu changer, voire exploser depuis, sans que nous puissions encore le savoir. Voir un astre ne renseigne que sur son passé.

a) $1,27\times {10}^7$ m : $a=1,27<5$, ordre de grandeur ${10}^7$ m. $1,50\times {10}^{11}$ m : $a=1,50<5$, ordre de grandeur ${10}^{11}$ m.

b) Le nombre de Terres alignées est le rapport de la distance au diamètre. Avec les ordres de grandeur : $\frac{{10}^{11}}{{10}^7}={10}^{11-7}={10}^4$. Il faut donc de l'ordre de ${10}^4$ Terres.

c) $\frac{1,50\times {10}^{11}}{1,27\times {10}^7}=1,18\times {10}^4$ : environ 11 800 Terres, ce qui est cohérent avec b).

d) $\frac{3,84\times {10}^8}{1,27\times {10}^7}=30,2$ : la Lune est à environ 30 diamètres terrestres. L'espace entre la Terre et la Lune est donc presque vide : le Système solaire est lui aussi lacunaire.

a) L'élève a multiplié les exposants. Pour un produit, on les additionne : $4\times 5=20$ et ${10}^{-3}\times {10}^6={10}^3$, d'où $20\times {10}^3=$ $2\times {10}^4$.

b) Compter les zéros ne donne pas l'exposant : $0,0002=2\times {10}^{-4}$ (la virgule se déplace de 4 rangs). Comme $2<5$, l'ordre de grandeur est ${10}^{-4}$ m.

c) L'année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année : c'est une unité de longueur, qui vaut $9,46\times {10}^{15}$ m.

d) $9,46\times {10}^{15}$ est une valeur en mètres, pas en kilomètres. $12\times 9,46\times {10}^{15}=1,14\times {10}^{17}$ m $=1,14\times {10}^{17}\times {10}^{-3}$ km $=$ $1,14\times {10}^{14}$ km.