Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Physique-Chimie (2nde)

Mouvement : système, référentiel et vecteur vitesse

Système, échelles et modèle du point ; trajectoires ; référentiels et relativité du mouvement, vitesses dans une translation ; vitesse moyenne, vecteur déplacement et vecteur vitesse moyenne ; vecteur vitesse sur une chronophotographie ou en Python ; mouvement rectiligne uniforme ou non uniforme.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le tapis roulant de l’aéroport et les vitesses dans deux référentiels, la boule de billard qui ralentit, le robot éducatif dont un programme Python trace les vecteurs vitesse, la chronophotographie d’une balle lancée dont la vitesse n’est pas nulle au sommet, et les vitesses de la Terre et de la Lune sur leurs orbites.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je nomme le système, le référentiel et le modèle utilisé (le point, en général le centre).
Je relève les données avec leurs unités : τ ou Δt, échelle des longueurs, échelle des vitesses, coordonnées ; je convertis en m et en s.
Je calcule dans l’ordre : écarts ou coordonnées du déplacement, puis valeur de la vitesse, puis longueur des flèches ; pour un changement de référentiel, j’oriente un axe et je signe les vitesses.
Je conclus sur la nature du mouvement avec les deux mots (rectiligne, circulaire, curviligne ; uniforme, accéléré, ralenti) et la variation du vecteur vitesse.
Je vérifie l’ordre de grandeur : un piéton à 18 m·s⁻¹ ou une flèche de 40 cm signalent une conversion à l’envers.

Problème 1 · Le tapis roulant de l’aéroport★★★Facile

Dans un aéroport, un tapis roulant rectiligne de 84 m de long avance à 0,65 m·s⁻¹ par rapport au sol. Ana marche sur le tapis, dans son sens, à 1,35 m·s⁻¹ par rapport au tapis. Hugo marche à côté, sur le sol fixe, à 1,35 m·s⁻¹ par rapport au sol. Tous deux partent en même temps du début du tapis. L’axe est orienté dans le sens du tapis.

1. Vitesse d’Ana dans le référentiel terrestre : m·s⁻¹
Le tapis est en translation rectiligne : v_Ana/sol = v_Ana/tapis + v_tapis/sol = 1,35 + 0,65 = 2,00 m·s⁻¹.
2. Durée mise par Ana pour parcourir les 84 m : s
Δt = d ÷ v = 84 ÷ 2,00 = 42 s.
3. Durée mise par Hugo pour parcourir les 84 m (à l’unité) : s
84 ÷ 1,35 ≈ 62,2 s, soit 62 s. « Nous marchons à la même vitesse » n’est vrai que si chacun se compare à son propre support : dans un même référentiel, le sol, Ana va plus vite.
4. Distance qui sépare Hugo de la fin du tapis quand Ana l’atteint : m
En 42 s, Hugo parcourt 1,35 × 42 = 56,7 m ; il lui reste 84 − 56,7 = 27,3 m.
5. Vitesse algébrique d’Hugo dans le référentiel d’Ana : m·s⁻¹
Par rapport au sol, Hugo va à 1,35 m·s⁻¹ et Ana à 2,00 m·s⁻¹ : par rapport à Ana, v = 1,35 − 2,00 = −0,65 m·s⁻¹. Hugo recule par rapport à elle.
6. Un enfant court sur le tapis à contresens, à 1,9 m·s⁻¹ par rapport au tapis. Sa vitesse algébrique par rapport au sol : m·s⁻¹
v = −1,9 + 0,65 = −1,25 m·s⁻¹ : le signe négatif indique que, par rapport au sol, l’enfant recule vers le début du tapis.

Problème 2 · La boule de billard★★★Moyen

Sur une table de billard, une boule frappée roule en ligne droite sur le tapis. Une caméra fixée au-dessus de la table filme la scène ; le pointage du centre de la boule, toutes les τ = 0,20 s, donne des points alignés dont on repère l’abscisse x sur cette droite.

Position	M₀	M₁	M₂	M₃	M₄	M₅	M₆
x (m)	0	0,300	0,596	0,888	1,176	1,460	1,740

1. La boule roule sur le tapis. En la modélisant par son centre, on perd l’information sur sa .
Le centre suit une droite, mais la boule tourne sur elle-même : le modèle du point perd cette rotation ; un point de sa surface ne suit pas la même trajectoire que le centre.
2. Distance M₂M₃ : m
M₂M₃ = 0,888 − 0,596 = 0,292 m. Les écarts successifs valent 0,300 ; 0,296 ; 0,292 ; 0,288 ; 0,284 ; 0,280 m.
3. Dans le référentiel terrestre, le mouvement de la boule est rectiligne .
Points alignés et écarts décroissants à τ constant : mouvement rectiligne ralenti.
4. Valeur approchée v₅ = M₅M₆ ÷ τ : m·s⁻¹
v₅ ≈ 0,280 ÷ 0,20 = 1,40 m·s⁻¹ (et v₀ ≈ 0,300 ÷ 0,20 = 1,50 m·s⁻¹).
5. Avec l’échelle 1 cm ↔ 0,2 m·s⁻¹, la flèche du vecteur vitesse en M₂ mesure cm.
v₂ ≈ 0,292 ÷ 0,20 = 1,46 m·s⁻¹ ; 1,46 ÷ 0,2 = 7,3 cm. Le vecteur vitesse garde sa direction et son sens ; sa valeur diminue.
6. Chaque écart diminue de 0,004 m : la valeur de la vitesse diminue donc à chaque intervalle τ de m·s⁻¹.
0,004 ÷ 0,20 = 0,02 m·s⁻¹, la même quantité à chaque intervalle.
7. Si cette diminution continuait au même rythme (sans rebond sur les bandes), la boule s’arrêterait environ s après son passage en M₀ (à l’unité).
v ≈ 1,50 − 0,02 i s’annule pour i = 1,50 ÷ 0,02 = 75 intervalles, soit t ≈ 75 × 0,20 = 15 s (estimation : on prolonge la tendance observée ; sur une vraie table, la boule rebondit avant sur les bandes).
8. Vitesse moyenne de la boule entre M₀ et M₆ : m·s⁻¹
d = 1,740 m en Δt = 6 × 0,20 = 1,2 s : v_moy = 1,740 ÷ 1,2 = 1,45 m·s⁻¹, entre la plus grande (1,50) et la plus petite (1,40) valeur calculées.

Problème 3 · Le robot éducatif programmé★★★Moyen

Un petit robot roule sur le sol d’une salle (référentiel terrestre). On relève sa position toutes les 0,4 s, puis on exécute ce programme (coordonnées en m).

import matplotlib.pyplot as plt
dt = 0.4
x = [0.0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2, 1.2, 1.2, 1.2]
y = [0.0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2.1, 2.6, 3.1]
for i in range(len(x) - 1):
    vx = (x[i+1] - x[i]) / dt
    vy = (y[i+1] - y[i]) / dt
    plt.quiver(x[i], y[i], vx, vy, angles="xy", scale_units="xy", scale=2)
plt.plot(x, y, "o")
plt.axis("equal")
plt.show()

1. Pour i = 0, le programme calcule vy = m·s⁻¹.
vy = (0,4 − 0,0) ÷ 0,4 = 1,0 m·s⁻¹ (et vx = 0,3 ÷ 0,4 = 0,75 m·s⁻¹).
2. Valeur de la vitesse du robot en M₀ : m·s⁻¹
v₀ = √(0,75² + 1,0²) = √1,5625 = 1,25 m·s⁻¹.
3. Avec scale=2, chaque flèche tracée mesure m en unités des axes.
Longueur = v ÷ 2 = 1,25 ÷ 2 = 0,625 m : 1 m sur le graphique représente 2 m·s⁻¹.
4. De M₀ à M₄, les points sont alignés et équidistants : le mouvement est rectiligne .
Écarts tous égaux à √(0,3² + 0,4²) = 0,5 m : mouvement rectiligne uniforme, vecteur vitesse constant (0,75 ; 1,0) m·s⁻¹.
5. De M₄ à M₇, la valeur de la vitesse ne change pas, mais le vecteur vitesse a changé de .
Il vaut maintenant (0 ; 1,25) m·s⁻¹ : même valeur, autre direction. Sur tout le trajet, le mouvement n’est donc pas rectiligne uniforme.
6. Norme du vecteur déplacement M₀M₇ (au centième) : m
$\vec{M_{0} M_{7}}$ = (1,2 ; 3,1) ; norme √(1,44 + 9,61) = √11,05 ≈ 3,32 m.
7. Norme du vecteur vitesse moyenne entre M₀ et M₇ (au centième) : m·s⁻¹
Δt = 7 × 0,4 = 2,8 s ; 3,32 ÷ 2,8 ≈ 1,19 m·s⁻¹, moins que la vitesse moyenne (7 × 0,5 = 3,5 m parcourus en 2,8 s : 1,25 m·s⁻¹), car le trajet fait un coude.

Problème 4 · Chronophotographie d’une balle lancée★★★Difficile

Une balle est lancée vers le haut et vers l’avant. Le pointage d’une vidéo, filmée par une caméra fixe, donne les coordonnées de son centre toutes les τ = 0,10 s, dans un repère d’axe horizontal (Ox) et d’axe vertical (Oy).

Position	M₀	M₁	M₂	M₃	M₄	M₅	M₆
x (m)	0	0,42	0,84	1,26	1,68	2,10	2,52
y (m)	0	0,39	0,68	0,88	0,98	0,98	0,88

1. Dans le référentiel terrestre, la trajectoire du centre de la balle est .
L’ordonnée monte puis redescend alors que l’abscisse augmente régulièrement : les points ne sont pas alignés, la trajectoire est curviligne (une arche).
2. Les écarts horizontaux valent tous 0,42 m : le point projeté sur (Ox) a une vitesse de m·s⁻¹.
0,42 ÷ 0,10 = 4,2 m·s⁻¹ : mouvement horizontal uniforme.
3. Norme du vecteur déplacement M₀M₁ (au millième) : m
$\vec{M_{0} M_{1}}$ = (0,42 ; 0,39) ; norme √(0,1764 + 0,1521) = √0,3285 ≈ 0,573 m.
4. Valeur approchée v₀ : m·s⁻¹
v₀ ≈ 0,573 ÷ 0,10 ≈ 5,73 m·s⁻¹.
5. Ordonnée du vecteur déplacement M₅M₆ : m
0,88 − 0,98 = −0,10 m : après le sommet, le vecteur vitesse est incliné vers le bas.
6. On a calculé de même v₁ ≈ 5,10 ; v₂ ≈ 4,65 ; v₃ ≈ 4,32 et v₅ ≈ 4,32 m·s⁻¹. Au sommet, M₄M₅ est horizontal : v₄ ≈ m·s⁻¹.
$\vec{M_{4} M_{5}}$ = (0,42 ; 0) : v₄ ≈ 0,42 ÷ 0,10 = 4,2 m·s⁻¹, pas zéro. Avec v₀ ≈ 5,73 m·s⁻¹, la valeur diminue pendant la montée, est minimale au sommet, puis augmente : « au sommet, la vitesse est nulle » confond « la balle ne monte plus » et « la balle ne bouge plus ».

Problème 5 · La Terre, la Lune et le choix du référentiel★★★Difficile

Données (orbites supposées circulaires, parcourues à vitesse de valeur constante) :

Grandeur	Valeur
rayon de l’orbite de la Terre autour du Soleil	1,50 × 10¹¹ m
durée d’une révolution de la Terre	365,25 jours
rayon de l’orbite de la Lune autour de la Terre	3,84 × 10⁸ m
durée d’une révolution de la Lune	27,3 jours
rayon de la Terre	6,37 × 10⁶ m

1. Le mouvement de la Terre autour du Soleil s’étudie dans le référentiel .
Référentiel héliocentrique ; celui de la Lune autour de la Terre, dans le référentiel géocentrique.
2. Rapport rayon de la Terre ÷ rayon de son orbite ≈ × 10⁻⁵ (au dixième).
6,37 × 10⁶ ÷ (1,50 × 10¹¹) ≈ 4,2 × 10⁻⁵ : la Terre est minuscule devant les distances parcourues, le modèle du point est justifié pour étudier sa révolution.
3. Durée d’une révolution de la Terre : Δt ≈ × 10⁷ s (au centième).
365,25 × 24 × 3 600 = 31 557 600 s ≈ 3,16 × 10⁷ s.
4. Valeur de la vitesse de la Terre autour du Soleil, dans ce référentiel : × 10⁴ m·s⁻¹ (au centième).
2π × 1,50 × 10¹¹ ≈ 9,42 × 10¹¹ m ; v ≈ 9,42 × 10¹¹ ÷ 3,156 × 10⁷ ≈ 2,99 × 10⁴ m·s⁻¹, environ 30 km par seconde.
5. Cette vitesse vaut environ × 10⁵ km·h⁻¹ (au centième).
2,99 × 10⁴ × 3,6 ≈ 1,08 × 10⁵ km·h⁻¹, plus de 100 000 km·h⁻¹.
6. Valeur de la vitesse de la Lune dans le référentiel géocentrique : km·s⁻¹ (au centième).
Δt = 27,3 × 86 400 ≈ 2,359 × 10⁶ s ; 2π × 3,84 × 10⁸ ≈ 2,413 × 10⁹ m ; v ≈ 1,02 × 10³ m·s⁻¹ = 1,02 km·s⁻¹.
7. À six mois d’intervalle, les vecteurs vitesse de la Terre ont la même direction et la même valeur, mais un sens .
En six mois, la Terre fait un demi-tour : la tangente a la même direction, le sens est opposé. Le vecteur vitesse n’est pas constant : mouvement circulaire uniforme. Et « le Soleil tourne autour de la Terre » décrit le référentiel terrestre, « la Terre tourne autour du Soleil » le référentiel héliocentrique : le désaccord vient d’un référentiel non précisé.

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