Mouvement : système, référentiel et vecteur vitesse

Complète avec le mot du cours.

1. Avant toute description, on nomme l’objet dont on étudie le mouvement : c’est le .
   On commence toujours par définir le système : « le ballon », « la valve », « le centre de la Lune ».
2. Pour décrire le mouvement d’ensemble d’un ballon, on le remplace en général par un seul point : son .
   Modèle du point : le système est représenté par son centre ; on perd sa rotation et ses déformations.
3. L’ensemble des positions successives occupées par un point au cours du temps est sa .
   La trajectoire se décrit toujours dans un référentiel donné.
4. Dans le référentiel de la platine, un point du bord d’un disque vinyle qui tourne reste à la même distance de l’axe : son mouvement est .
   Ses positions successives forment un cercle centré sur l’axe : mouvement circulaire.
5. Une feuille morte qui tombe en tournoyant suit une courbe quelconque : son mouvement est .
   Ni droite ni cercle : trajectoire curviligne.

Échelles et modèle du point : pour chaque situation, compare la taille du système aux distances en jeu.

1. Un porte-conteneurs de 400 m de long traverse l’Atlantique sur 6 000 km. Rapport taille ÷ distance ≈ × 10⁻⁵ (au dixième).
   400 ÷ (6,0 × 10⁶) ≈ 6,7 × 10⁻⁵ : le navire est minuscule devant le trajet, le modèle du point convient pour la traversée.
2. Une gymnaste de 1,6 m traverse le praticable en diagonale, sur 17 m. Rapport taille ÷ distance (au centième) =
   1,6 ÷ 17 ≈ 0,09, soit près de 10 % : la gymnaste n’est pas négligeable devant la distance parcourue.
3. Si l’on modélise cette gymnaste par un point, on perd en particulier ses sur elle-même (saltos, vrilles).
   Le modèle du point ne décrit que le mouvement d’ensemble : ses rotations sur elle-même et le mouvement de ses bras et de ses jambes, qui font la note, sont perdus.
4. Mars fait le tour du Soleil en 687 jours : cela fait environ années terrestres (au dixième), d’où l’échelle temporelle de l’année.
   687 ÷ 365,25 ≈ 1,9 an : on étudie Mars sur plusieurs années, dans le référentiel héliocentrique.

Le programme suivant représente les positions successives du siège d’un manège pour enfants, modélisé par un point, relevées toutes les 1,5 s dans le référentiel terrestre (origine au centre du manège).

from math import cos, sin, radians
import matplotlib.pyplot as plt
R = 4.0       # en m
x, y = [], []
for i in range(12):
    a = radians(30 * i)   # angle en degrés, converti pour cos et sin
    x.append(R * cos(a))
    y.append(R * sin(a))
plt.plot(x, y, "o")
plt.axis("equal")
plt.show()

1. Le programme place points.
   range(12) fait prendre à i les valeurs 0, 1, …, 11 : 12 positions.
2. Abscisse du point d’indice i = 2 : x = m (au dixième).
   Pour i = 2, l’angle vaut 30 × 2 = 60° : x = 4,0 × cos 60° = 4,0 × 0,5 = 2,0 m (Python affiche 2.0000000000000004, à l’arrondi de calcul près).
3. Les points représentés sont tous sur un de rayon 4,0 m.
   Pour chaque i, x² + y² = R² (cos² + sin² = 1) : tous les points sont à 4,0 m de l’origine, sur un cercle : le mouvement est circulaire.
4. Le siège fait un tour complet en s.
   L’angle augmente de 30° à chaque position : la 13e position (i = 12, 360°) serait de nouveau la première. Un tour = 12 intervalles × 1,5 s = 18 s.

Complète : terrestre, géocentrique, héliocentrique, ou l’état du système.

1. Le mouvement d’un satellite d’observation en orbite basse autour de la Terre s’étudie dans le référentiel .
   Il tourne autour de la Terre : référentiel géocentrique (centre de la Terre, axes vers trois étoiles lointaines).
2. Le mouvement de la comète de Halley autour du Soleil s’étudie dans le référentiel .
   Une comète tourne autour du Soleil : référentiel héliocentrique.
3. La chute d’une pomme qui se détache de sa branche s’étudie dans le référentiel .
   Mouvement bref, près du sol : référentiel terrestre (le sol, ou l’arbre, fixe par rapport au sol).
4. Léa est assise dans un bus qui roule en ligne droite à vitesse constante. Dans le référentiel du bus, elle est .
   Sa position par rapport à son siège ne change pas : elle est immobile dans le référentiel du bus.
5. Dans le référentiel lié au sol, le mouvement de Léa est rectiligne .
   Elle avance avec le bus, en ligne droite et à vitesse constante : mouvement rectiligne uniforme. « Je suis immobile » n’a de sens qu’avec « par rapport au bus ».

Un TER roule en ligne droite à 108 km·h⁻¹ par rapport aux rails. Un voyageur marche dans le couloir à 1,2 m·s⁻¹ par rapport au wagon. L’axe est orienté dans le sens du train.

1. Vitesse du train par rapport aux rails : m·s⁻¹
   108 ÷ 3,6 = 30 m·s⁻¹.
2. Le voyageur marche vers l’avant. Sa vitesse par rapport au quai : m·s⁻¹
   Le wagon est en translation rectiligne : v = 1,2 + 30 = 31,2 m·s⁻¹, vers l’avant.
3. Il fait demi-tour et marche vers l’arrière. Sa vitesse par rapport au quai : m·s⁻¹
   Sa vitesse par rapport au wagon vaut −1,2 m·s⁻¹ : v = −1,2 + 30 = 28,8 m·s⁻¹. Le signe reste positif : il avance, moins vite que le train.
4. Dans le référentiel du voyageur qui marche vers l’avant, la vitesse algébrique du quai sur cet axe vaut m·s⁻¹.
   Le quai recule par rapport au voyageur, à la même vitesse : −31,2 m·s⁻¹ (signe négatif : sens opposé à l’axe).

Un avion vole horizontalement, en ligne droite, à 250 m·s⁻¹ par rapport au sol. Il largue un colis dont la chute dure 14 s. On néglige l’action de l’air : pendant toute sa chute, le colis garde la vitesse horizontale de l’avion.

1. Dans le référentiel de l’avion, la trajectoire du colis est un segment de droite .
   Il avance horizontalement aussi vite que l’avion : il reste sous lui et ne fait que descendre, segment vertical.
2. Dans le référentiel lié au sol, la trajectoire du colis est (rectiligne, circulaire ou curviligne).
   Il avance avec l’avion tout en descendant : sa trajectoire est une courbe, elle est curviligne (une portion de parabole). Même mouvement, deux trajectoires : c’est la relativité du mouvement.
3. Distance horizontale parcourue par le colis pendant sa chute, par rapport au sol : m
   Il avance horizontalement à la vitesse de l’avion : d = v × Δt = 250 × 14 = 3 500 m. Il touche le sol 3,5 km après le point de largage, et non à sa verticale.
4. Distance horizontale parcourue par le colis pendant sa chute, dans le référentiel de l’avion : m
   Par rapport à l’avion, le colis ne se déplace pas horizontalement : 0 m.

Conversions et vitesses moyennes.

1. 54 km·h⁻¹ = m·s⁻¹
   On divise par 3,6 : 54 ÷ 3,6 = 15 m·s⁻¹.
2. 8,5 m·s⁻¹ = km·h⁻¹
   On multiplie par 3,6 : 8,5 × 3,6 = 30,6 km·h⁻¹.
3. Un train à grande vitesse parcourt 312 km en 1 h 20 min. Vitesse moyenne : km·h⁻¹
   1 h 20 min = 1 + 20/60 = 4/3 h ; v = 312 ÷ (4/3) = 312 × 3/4 = 234 km·h⁻¹.
4. Cette vitesse moyenne vaut m·s⁻¹.
   234 ÷ 3,6 = 65 m·s⁻¹. Vérification : 312 000 m ÷ 4 800 s = 65 m·s⁻¹.

Dans un repère gradué en mètres, un robot de tonte passe de A(2,0 ; 1,5) à B(6,8 ; 7,9) en 10 s.

1. Coordonnées du vecteur déplacement AB : ( ; 6,4)
   x_B − x_A = 6,8 − 2,0 = 4,8 m (et 7,9 − 1,5 = 6,4 m).
2. Norme du vecteur déplacement : AB = m
   AB = √(4,8² + 6,4²) = √(23,04 + 40,96) = √64 = 8,0 m.
3. Coordonnées du vecteur vitesse moyenne : (0,48 ; ) en m·s⁻¹
   On divise chaque coordonnée par Δt = 10 s : 6,4 ÷ 10 = 0,64 m·s⁻¹ (et 4,8 ÷ 10 = 0,48).
4. En réalité, le robot a contourné un massif et parcouru 9,6 m. Sa vitesse moyenne vaut m·s⁻¹.
   v_moy = d ÷ Δt = 9,6 ÷ 10 = 0,96 m·s⁻¹, plus que la norme du vecteur vitesse moyenne (8,0 ÷ 10 = 0,80 m·s⁻¹) : le chemin suivi est plus long que la ligne droite.

Un athlète s’entraîne sur une piste circulaire de rayon 45,0 m. Il fait un tour complet en 68 s, à vitesse de valeur constante.

1. Distance parcourue en un tour (à l’unité) : m
   d = 2πR = 2π × 45,0 ≈ 283 m.
2. Vitesse moyenne sur ce tour (au centième) : m·s⁻¹
   v_moy = 282,7 ÷ 68 ≈ 4,16 m·s⁻¹.
3. Norme du vecteur vitesse moyenne sur le tour complet : m·s⁻¹
   Il revient à son point de départ : le vecteur déplacement est nul, donc le vecteur vitesse moyenne aussi (0).
4. Norme du vecteur vitesse moyenne sur le premier demi-tour, en 34 s (au centième) : m·s⁻¹
   Après un demi-tour, il est au point diamétralement opposé : MM′ = 2R = 90,0 m ; 90,0 ÷ 34 ≈ 2,65 m·s⁻¹, moins que 4,16 m·s⁻¹ car la corde (90,0 m) est plus courte que l’arc (141 m).

Complète.

1. Le vecteur vitesse d’un point est à la trajectoire.
   Il est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement.
2. Avec l’échelle 1 cm ↔ 2 m·s⁻¹, une vitesse de 7 m·s⁻¹ est représentée par une flèche de cm.
   Longueur = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
3. Une flèche de 4,2 cm tracée avec l’échelle 1 cm ↔ 0,5 m·s⁻¹ représente m·s⁻¹.
   Valeur = 4,2 × 0,5 = 2,1 m·s⁻¹.
4. Sur une chronophotographie, τ = 40 ms et M₂M₃ = 3,2 cm en réalité : v₂ ≈ m·s⁻¹
   v₂ ≈ 0,032 m ÷ 0,040 s = 0,80 m·s⁻¹ : cm → m et ms → s avant de diviser.

Une bille roule en ligne droite sur un plan incliné. Sur sa chronophotographie, τ = 80 ms, et 1 cm sur le document représente 4 cm en réalité. Mesures sur le document : M₂M₃ = 1,5 cm et M₅M₆ = 2,6 cm. Échelle des vitesses : 1 cm ↔ 0,25 m·s⁻¹.

1. Distance réelle M₂M₃ : m
   1,5 × 4 = 6,0 cm = 0,060 m.
2. Valeur approchée v₂ : m·s⁻¹
   v₂ ≈ 0,060 ÷ 0,080 = 0,75 m·s⁻¹.
3. Valeur approchée v₅ : m·s⁻¹
   M₅M₆ = 2,6 × 4 = 10,4 cm = 0,104 m ; v₅ ≈ 0,104 ÷ 0,080 = 1,3 m·s⁻¹.
4. Longueur de la flèche qui représente le vecteur vitesse en M₅ : cm
   1,3 ÷ 0,25 = 5,2 cm (et 0,75 ÷ 0,25 = 3,0 cm en M₂). Les deux flèches suivent la droite de la trajectoire, dans le sens du mouvement.

Le pointage vidéo d’un ballon de basket donne, à 0,040 s d’intervalle, les positions M₅(1,20 ; 2,10) et M₆(1,44 ; 2,17), en mètres. Dans le programme de traitement, dt = 0.04 et les coordonnées sont rangées dans les listes x et y.

1. v_x = (x[6] − x[5]) ÷ dt = m·s⁻¹
   v_x = (1,44 − 1,20) ÷ 0,040 = 0,24 ÷ 0,040 = 6,0 m·s⁻¹.
2. v_y = m·s⁻¹
   v_y = (2,17 − 2,10) ÷ 0,040 = 0,07 ÷ 0,040 = 1,75 m·s⁻¹.
3. Valeur de la vitesse du ballon en M₅ : v₅ ≈ m·s⁻¹
   v₅ = √(6,0² + 1,75²) = √(36 + 3,0625) = √39,0625 = 6,25 m·s⁻¹.
4. Avec l’échelle 1 cm ↔ 5 m·s⁻¹, la flèche de ce vecteur mesure cm (au centième).
   6,25 ÷ 5 = 1,25 cm, à partir de M₅, dans la direction de M₅ vers M₆.

Un palet glisse sur une table à coussin d’air horizontale. Sa chronophotographie, prise depuis la salle, enregistre ses positions toutes les τ = 0,050 s ; les points sont alignés, d’abscisses x (en cm) sur une règle : 2,0 ; 5,4 ; 8,8 ; 12,2 ; 15,6 ; 19,0.

1. Distance entre deux positions successives : cm
   5,4 − 2,0 = 8,8 − 5,4 = … = 19,0 − 15,6 = 3,4 cm : toutes égales.
2. Dans le référentiel terrestre, le mouvement du palet est rectiligne .
   Points alignés et équidistants à τ constant : mouvement rectiligne uniforme, vecteur vitesse constant.
3. Valeur de la vitesse du palet : m·s⁻¹
   v = 0,034 ÷ 0,050 = 0,68 m·s⁻¹, la même sur tout le parcours.
4. Durée pour aller de M₀ à M₅ : s
   5 intervalles × 0,050 s = 0,25 s (et (19,0 − 2,0) cm = 0,170 m ; 0,170 ÷ 0,25 = 0,68 m·s⁻¹ : même valeur).

Une nacelle de grande roue décrit, dans le référentiel terrestre, un cercle de rayon 22 m en 5 min 30 s, à vitesse de valeur constante. Elle reste toujours horizontale. Au point le plus haut, elle se déplace horizontalement vers la droite.

1. Valeur de la vitesse de la nacelle (au millième) : m·s⁻¹
   Δt = 5 × 60 + 30 = 330 s ; 2π × 22 ≈ 138,2 m ; v ≈ 138,2 ÷ 330 ≈ 0,419 m·s⁻¹.
2. Au point le plus bas, le vecteur vitesse est horizontal et dirigé vers la .
   Après un demi-tour, la tangente est encore horizontale, mais la nacelle va vers la gauche.
3. Entre le haut et le bas, le vecteur vitesse garde sa direction et sa valeur, mais son sens est .
   Même direction (horizontale), même valeur, sens opposé : le vecteur vitesse n’est pas constant.
4. Le mouvement de la nacelle dans le référentiel terrestre est circulaire .
   Cercle parcouru à vitesse de valeur constante : circulaire uniforme. « Valeur constante donc vecteur constant » est faux : sa direction change sans cesse.

Un chariot se déplace sur un rail rectiligne. On pointe ses positions sur une vidéo, puis on exécute ce programme.

dt = 0.04
x = [0, 0.018, 0.041, 0.069, 0.102, 0.140]
v = []
for i in range(len(x) - 1):
    v.append((x[i+1] - x[i]) / dt)
print(v)

1. Première valeur affichée, v[0] = m·s⁻¹
   (0,018 − 0) ÷ 0,04 = 0,45 m·s⁻¹.
2. Dernière valeur affichée, v[4] = m·s⁻¹
   (0,140 − 0,102) ÷ 0,04 = 0,038 ÷ 0,04 = 0,95 m·s⁻¹. Liste complète : 0,45 ; 0,575 ; 0,70 ; 0,825 ; 0,95 (à l’arrondi de calcul de Python près).
3. Entre deux valeurs successives, la vitesse augmente toujours de m·s⁻¹.
   0,575 − 0,45 = 0,70 − 0,575 = … = 0,125 m·s⁻¹ : le mouvement est rectiligne accéléré.
4. Avec range(len(x)) à la place de range(len(x) - 1), Python s’arrête sur une erreur .
   La boucle irait jusqu’à i = 5 et demanderait x[6], qui n’existe pas : IndexError. 6 positions ne donnent que 5 intervalles, donc 5 vitesses.