Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés

Tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, compléter un tableau à partir de pourcentages, comparer des sous-populations, filtres ET, OU, NON et traitement d’un fichier en Python ou au tableur.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés sur le croisement de variables qualitatives : modes de déplacement domicile-travail au centre et en périphérie, deux lycées et le paradoxe de Simpson, bouteilles mal remplies sur deux lignes de production, douze billets de train traités avec des fonctions Python.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je dresse le tableau : modalités d’une variable en lignes, de l’autre en colonnes, une ligne et une colonne « Total », $N$ en bas à droite.
Je convertis chaque pourcentage en effectif en repérant la population sur laquelle il porte, puis je complète par différences.
Je traduis chaque question : fréquence marginale (sur $N$ ), fréquence de « ET » (sur $N$ ), fréquence conditionnelle (sur la sous-population qui suit « parmi »), filtre OU ou NON.
Je compare des fréquences, jamais des effectifs de groupes de tailles différentes, et je n’arrondis qu’à la fin.
Je conclus par une phrase qui nomme la population de référence, et je contrôle les totaux (ou le programme, rang par rang).

Problème 1 · Se rendre au travail dans une agglomération★★★Moyen

Une agglomération a interrogé

2 000

actifs sur leur mode principal de déplacement domicile-travail, selon qu’ils habitent le centre ou la périphérie (TC : transports en commun). Arrondir au dixième de pourcentage quand la valeur ne tombe pas juste.

	Voiture	TC	Vélo	Marche	Total
Centre	$299$	$437$	$253$	$161$	$1 150$
Périphérie	$578$	$187$	$51$	$34$	$850$
Total	$877$	$624$	$304$	$195$	$2 000$

1. Fréquence marginale des actifs qui utilisent la voiture : %
$\frac{877}{2 000} = 0, 438 5$ , soit $43, 85 %$ des actifs.
2. Parmi les actifs de la périphérie, part de la voiture : %
On divise par l’effectif de la ligne : $\frac{578}{850} = 0, 68$ , soit $68 %$ (contre $\frac{299}{1 150} = 26 %$ au centre).
3. Justifier que, parmi les actifs du centre, la part des modes actifs (vélo ou marche) est %
Rédaction attendue. Un actif du centre a un seul mode principal : « vélo OU marche » réunit deux cases sans partie commune. $\frac{253 + 161}{1 150} = \frac{414}{1 150} = 0, 36$ , soit $36 %$ ( $22 % + 14 %$ ), contre $\frac{51 + 34}{850} = 10 %$ en périphérie. Les habitants de la périphérie dépendent bien plus de la voiture.
4. Parmi les automobilistes, part des habitants de la périphérie, au dixième : %
Population de référence : les $877$ automobilistes. $\frac{578}{877} \approx 0, 659 1$ , soit $65, 9 %$ .
5. Effectif du filtre « périphérie OU voiture » :
$850 + 877 - 578 = 1 149$ actifs : les $578$ automobilistes de la périphérie sont comptés dans les deux totaux. Fréquence : $\frac{1 149}{2 000} = 57, 45 %$ .
6. Une ligne de bus express fait passer $150$ automobilistes de la périphérie aux transports en commun. Démontrer que la part des transports en commun en périphérie dépasse alors celle du centre ; cette part vaut % (au dixième).
Rédaction attendue. En périphérie, les transports en commun passent à $187 + 150 = 337$ usagers sur $850$ actifs (l’effectif de la zone ne change pas) : $\frac{337}{850} \approx 0, 396 5$ , soit $39, 6 %$ . Au centre, rien ne change : $\frac{437}{1 150} = 38 %$ . Comme $39, 6 % > 38 %$ , la part en périphérie dépasse celle du centre.
7. Nouvelle fréquence marginale de la voiture : %
$\frac{877 - 150}{2 000} = \frac{727}{2 000} = 0, 363 5$ , soit $36, 35 %$ au lieu de $43, 85 %$ .

Problème 2 · Bouteilles mal remplies sur deux lignes★★★Moyen

Une usine remplit

5 000

bouteilles par jour sur deux lignes : la ligne L1 traite

60 %

des bouteilles, la ligne L2 le reste.

2, 4 %

des bouteilles de L1 et

4, 5 %

des bouteilles de L2 sont mal remplies ; les autres sont conformes. Arrondir au dixième de pourcentage quand la valeur ne tombe pas juste.

1. Bouteilles mal remplies sur L1 :
L1 : $0, 6 \times 5 000 = 3 000$ bouteilles ; $0, 024 \times 3 000 = 72$ mal remplies, les autres sont conformes.
2. Bouteilles mal remplies sur L2 :
L2 : $5 000 - 3 000 = 2 000$ bouteilles ; $0, 045 \times 2 000 = 90$ mal remplies, donc $1 910$ conformes. Totaux : $162$ mal remplies et $4 838$ conformes.
3. Fréquence marginale des bouteilles mal remplies : %
$\frac{162}{5 000} = 0, 032 4$ , soit $3, 24 %$ .
4. Parmi les bouteilles mal remplies, part de celles qui viennent de L2 : %
Population de référence : les $162$ bouteilles mal remplies. $\frac{90}{162} \approx 0, 555 6$ , soit $55, 6 %$ . L2 ne traite que $40 %$ des bouteilles, mais son taux de défaut est presque le double de celui de L1.
5. Effectif du filtre « L2 OU mal remplie » :
$2 000 + 162 - 90 = 2 072$ bouteilles (les $90$ bouteilles mal remplies de L2 sont dans les deux totaux).
6. Démontrer que le filtre « NON (L1 ET conforme) » est le filtre « L2 OU mal remplie ». En déduire l’effectif du filtre « L1 ET conforme » :
Rédaction attendue. NON (L1 ET conforme) = (NON L1) OU (NON conforme). Chaque bouteille passe par L1 ou par L2, donc NON L1 = L2 ; chaque bouteille est conforme ou mal remplie, donc NON conforme = mal remplie. Le filtre est donc « L2 OU mal remplie ». Donc $n (L1 ET conforme) = 5 000 - 2 072 = 2 928$ .
7. L’usine veut au plus $3 %$ de bouteilles mal remplies au total, sans modifier L1. Taux maximal de défaut de L2 : %
On note $t$ le taux de défaut de L2 : il y a $72 + 2 000 t$ bouteilles mal remplies. On veut $72 + 2 000 t ⩽ 0, 03 \times 5 000 = 150$ , soit $2 000 t ⩽ 78$ et $t ⩽ 0, 039$ . Le taux de L2 doit passer de $4, 5 %$ à $3, 9 %$ au plus.

Problème 3 · Douze billets de train dans un fichier★★★Moyen

Un contrôleur a relevé la classe et le tarif de douze billets ; le billet de rang

i

occupe la même position dans les deux listes.

classe = ["2de", "2de", "1re", "2de",
          "1re", "2de", "2de", "1re",
          "2de", "2de", "1re", "2de"]
tarif = ["réduit", "plein", "plein", "réduit",
         "plein", "réduit", "plein", "réduit",
         "réduit", "plein", "plein", "réduit"]

def compte(L1, L2, m1, m2):
    n = 0
    for i in range(len(L1)):
        if L1[i] == m1 and L2[i] == m2:
            n = n + 1
    return n

def freq(L, m):
    n = 0
    for x in L:
        if x == m:
            n = n + 1
    return n / len(L)

1. Valeur renvoyée par compte(classe, tarif, "2de", "réduit") :
Billets de 2de : rangs $0$ , $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ , $9$ , $11$ ; au tarif réduit parmi eux : rangs $0$ , $3$ , $5$ , $8$ , $11$ . La fonction renvoie $5$ .
2. Dans le tableau croisé (classe × tarif), case « 1re, plein » :
Billets de 1re : rangs $2$ , $4$ , $7$ , $10$ ; seul le rang $7$ est au tarif réduit, donc $3$ au plein tarif. Tableau : 2de $5$ réduits et $3$ pleins ( $8$ ) ; 1re $1$ et $3$ ( $4$ ) ; totaux $6$ et $6$ ( $12$ ).
3. Valeur renvoyée par freq(tarif, "réduit") (en décimal) :
La fonction compte les billets à tarif réduit ( $6$ ) et divise par la longueur de la liste ( $12$ ) : $0, 5$ . C’est une fréquence marginale.
4. Justifier que compte(classe, tarif, "1re", "réduit") / compte(classe, classe, "1re", "1re") est une fréquence conditionnelle, et donner sa valeur en décimal :
Rédaction attendue. Le dénominateur compte les billets dont la classe vaut « 1re » (les deux conditions sont identiques) : $4$ billets. Le numérateur compte « 1re ET réduit » : $1$ . Le quotient est la part du tarif réduit parmi les billets de 1re : $\frac{1}{4} = 0, 25$ .
5. Dans compte, on remplace and par or. Valeur de compte(classe, tarif, "2de", "réduit") :
Le filtre devient « 2de OU réduit » : $8 + 6 - 5 = 9$ billets (les $8$ billets de 2de et le billet réduit de 1re, rang $7$ ).
6. On remplace la condition par not (L1[i] == m1) and not (L2[i] == m2). Valeur de compte(classe, tarif, "2de", "réduit") :
Le filtre devient « NON 2de ET NON réduit », c’est-à-dire « 1re ET plein » : rangs $2$ , $4$ et $10$ , soit $3$ billets. C’est aussi NON (2de OU réduit) : $12 - 9 = 3$ .

Problème 4 · Deux lycées et un paradoxe★★★Difficile

Deux lycées, le lycée du Port et le lycée des Collines, présentent chacun

300

candidats au baccalauréat, dans la voie générale ou la voie technologique. Arrondir au dixième de pourcentage si besoin.

	Candidats	Reçus
Port, voie générale	$180$	$171$
Port, voie techno.	$120$	$96$
Collines, voie générale	$270$	$252$
Collines, voie techno.	$30$	$23$

1. Nombre de reçus au lycée du Port :
$171 + 96 = 267$ reçus, donc $33$ non reçus. Au lycée des Collines : $252 + 23 = 275$ reçus et $25$ non reçus. Tableau « lycée × résultat » : totaux $542$ reçus et $58$ non reçus sur $600$ .
2. Taux de réussite global du lycée du Port : %
$\frac{267}{300} = 0, 89$ , soit $89 %$ .
3. Taux de réussite global du lycée des Collines : %
$\frac{275}{300} \approx 0, 916 7$ , soit $91, 7 %$ . Globalement, les Collines semblent meilleures.
4. Taux de réussite en voie générale aux Collines : %
$\frac{252}{270} \approx 0, 933 3$ , soit $93, 3 %$ , contre $\frac{171}{180} = 95 %$ au Port.
5. Taux de réussite en voie technologique aux Collines : %
$\frac{23}{30} \approx 0, 766 7$ , soit $76, 7 %$ , contre $\frac{96}{120} = 80 %$ au Port. Le Port fait mieux dans chaque voie, alors qu’il fait moins bien globalement.
6. Part des candidats de la voie technologique aux Collines : %
$\frac{30}{300} = 0, 1$ , soit $10 %$ , contre $\frac{120}{300} = 40 %$ au Port.
7. Justifier que le taux global du Port s’écrit $0, 6 \times 0, 95 + 0, 4 \times 0, 8$ . Avec la même composition ( $60 %$ en voie générale, $40 %$ en voie technologique) mais les taux par voie des Collines, on obtiendrait un taux global de % (au dixième).
Rédaction attendue. Les reçus du Port sont ceux de la voie générale plus ceux de la voie technologique : $\frac{267}{300} = \frac{171}{300} + \frac{96}{300} = \frac{180}{300} \times \frac{171}{180} + \frac{120}{300} \times \frac{96}{120} = 0, 6 \times 0, 95 + 0, 4 \times 0, 8 = 0, 57 + 0, 32 = 0, 89$ . Avec les taux des Collines : $0, 6 \times \frac{252}{270} = 0, 56$ et $0, 4 \times \frac{23}{30} \approx 0, 306 7$ , d’où un taux global d’environ $0, 56 + 0, 306 7 = 0, 866 7$ , soit $86, 7 %$ , moins que les $89 %$ du Port. Dans les deux lycées, la voie technologique réussit moins bien ; elle pèse $40 %$ au Port contre $10 %$ aux Collines, ce qui tire le taux global du Port vers le bas. À composition égale, le Port est meilleur : la comparaison pertinente se fait voie par voie. Ce renversement s’appelle le paradoxe de Simpson.

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