Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés

Tableau croisé d'effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, filtres ET, OU, NON — thème Statistiques et probabilités

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Problème 1 — Test de dépistage : que signifie un résultat positif ?

Moyen

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test de dépistage donne un résultat positif chez 96 % des personnes malades, mais aussi chez 3 % des personnes non malades (« faux positifs »). On étudie un groupe représentatif de 10 000 personnes. Les fréquences seront arrondies au dixième de pourcentage.

1. Dresser le tableau croisé d'effectifs (état : malade ou non malade × test : positif ou négatif).
2. Calculer la fréquence marginale des tests positifs.
3. a) Montrer que, parmi les personnes dont le test est positif, moins de 40 % sont malades.
3. b) Une personne testée positive pense : « Le test détecte 96 % des malades, j'ai donc 96 % de risques d'être malade. » Expliquer son erreur.
4. Parmi les personnes dont le test est négatif, quelle est la proportion de malades ? Commenter.
5. Le même test est utilisé dans un groupe à risque de 10 000 personnes, dont 10 % sont malades. Reprendre la question 3. a) et commenter.

1. Malades : 0,02 × 10 000 = 200 ; non malades : 10 000 − 200 = 9 800.
Les 96 % portent sur les malades : 0,96 × 200 = 192 malades positifs, donc 200 − 192 = 8 malades négatifs.
Les 3 % portent sur les non-malades : 0,03 × 9 800 = 294 non-malades positifs, donc 9 800 − 294 = 9 506 non-malades négatifs.

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	192	8	200
Non malades	294	9 506	9 800
Total	486	9 514	10 000

2. $f (positif) = \frac{486}{10 000} = 0, 0486$ , soit 4,9 % des personnes testées.

3. a) La population de référence est celle des 486 personnes positives : $f_{positif} (malade) = \frac{192}{486} \approx 0, 3951$ . Seulement 39,5 % des personnes positives sont malades, donc moins de 40 %.

3. b) Le nombre 96 % est la fréquence des tests positifs parmi les malades : $f_{malade} (positif)$ . La personne a besoin de la fréquence des malades parmi les positifs, $f_{positif} (malade) \approx 39, 5 %$ . Elle confond les deux fréquences conditionnelles. L'écart s'explique par la rareté de la maladie : les 3 % de faux positifs portent sur un groupe très nombreux (9 800 personnes) et donnent 294 faux positifs, plus que les 192 vrais positifs.

4. $f_{négatif} (malade) = \frac{8}{9 514} \approx 0, 00084$ , soit environ 0,1 %. Un test négatif est donc très rassurant, alors qu'un test positif demande un examen complémentaire.

5. Malades : 1 000 ; non malades : 9 000. Malades positifs : 0,96 × 1 000 = 960 ; faux positifs : 0,03 × 9 000 = 270 ; total des positifs : 960 + 270 = 1 230. Donc $f_{positif} (malade) = \frac{960}{1 230} \approx 0, 7805$ , soit 78,0 %.
Commentaire : avec le même test, la signification d'un résultat positif dépend de la fréquence de la maladie dans le groupe testé. Un dépistage ciblé sur un groupe à risque rend un résultat positif bien plus fiable.

Problème 2 — Mobilité domicile-travail dans une agglomération

Moyen

Une agglomération a interrogé 2 000 actifs sur leur mode principal de déplacement domicile-travail, selon qu'ils habitent le centre ou la périphérie. Les fréquences seront arrondies au dixième de pourcentage lorsqu'elles ne tombent pas juste.

	Voiture	Transports en commun	Vélo	Marche	Total
Centre	299	437	253	161	1 150
Périphérie	578	187	51	34	850
Total	877	624	304	195	2 000

1. Calculer la fréquence marginale des actifs qui utilisent la voiture.
2. a) Dresser le tableau des fréquences conditionnelles par ligne (profil de chaque zone).
2. b) Comparer les pratiques des habitants du centre et de la périphérie.
3. Parmi les automobilistes, quelle est la proportion d'habitants de la périphérie ?
4. Calculer la fréquence du filtre « Périphérie OU Voiture ».
5. Une ligne de bus express est créée et 150 automobilistes de la périphérie passent aux transports en commun. Montrer que la part des transports en commun parmi les actifs de la périphérie dépasserait alors celle du centre, puis calculer la nouvelle fréquence marginale de la voiture.

1. $f (voiture) = \frac{877}{2 000} = 0, 4385$ , soit 43,85 % des actifs.

2. a) On divise chaque case par l'effectif de sa ligne. Centre : $\frac{299}{1 150} = 0, 26$ ; $\frac{437}{1 150} = 0, 38$ ; $\frac{253}{1 150} = 0, 22$ ; $\frac{161}{1 150} = 0, 14$ . Périphérie : $\frac{578}{850} = 0, 68$ ; $\frac{187}{850} = 0, 22$ ; $\frac{51}{850} = 0, 06$ ; $\frac{34}{850} = 0, 04$ .

	Voiture	Transports en commun	Vélo	Marche	Total
Centre	26 %	38 %	22 %	14 %	100 %
Périphérie	68 %	22 %	6 %	4 %	100 %

2. b) La voiture est utilisée par 68 % des actifs de la périphérie contre 26 % au centre, soit une part environ 2,6 fois plus élevée. Au centre, les transports en commun dominent (38 %) et les modes actifs (vélo et marche) concernent 22 % + 14 % = 36 % des actifs, contre 6 % + 4 % = 10 % en périphérie. Les habitants de la périphérie dépendent beaucoup plus de la voiture.

3. Population de référence : les 877 automobilistes. $f_{voiture} (périphérie) = \frac{578}{877} \approx 0, 6591$ , soit 65,9 %.

4. $n (P OU V) = 850 + 877 - 578 = 1 149$ (les 578 automobilistes de la périphérie sont comptés dans les deux totaux). Fréquence : $\frac{1 149}{2 000} = 0, 5745$ , soit 57,45 %.

5. En périphérie, les transports en commun passent à 187 + 150 = 337 usagers sur 850 actifs (l'effectif de la zone ne change pas) : $\frac{337}{850} \approx 0, 3965$ , soit 39,6 %. Au centre, rien ne change : 38 %. Comme 39,6 % > 38 %, la part des transports en commun en périphérie dépasserait celle du centre.
Nouvelle fréquence marginale de la voiture : $\frac{877 - 150}{2 000} = \frac{727}{2 000} = 0, 3635$ , soit 36,35 % (au lieu de 43,85 %).

Problème 3 — Deux lycées et un paradoxe

Difficile

Deux lycées A et B présentent chacun 300 candidats au baccalauréat, dans la voie générale ou dans la voie technologique. Les fréquences seront arrondies au dixième de pourcentage lorsqu'elles ne tombent pas juste.

	Candidats voie générale	Reçus voie générale	Candidats voie techno.	Reçus voie techno.
Lycée A	180	171	120	96
Lycée B	270	252	30	23

1. Dresser le tableau croisé d'effectifs « lycée × résultat (reçu ou non reçu) » pour l'ensemble des 600 candidats.
2. Calculer, pour chaque lycée, la fréquence conditionnelle des reçus. Quel lycée semble le plus performant ?
3. Calculer, pour chaque lycée, la fréquence des reçus dans chaque voie. Que constate-t-on ?
4. a) Calculer, pour chaque lycée, la fréquence conditionnelle des candidats de la voie technologique.
4. b) Montrer que le taux de réussite du lycée A vérifie $0, 89 = 0, 6 \times 0, 95 + 0, 4 \times 0, 8$ et justifier cette écriture.
5. Expliquer ce paradoxe apparent et indiquer quelle comparaison est la plus pertinente.

1. Lycée A : 171 + 96 = 267 reçus, donc 300 − 267 = 33 non reçus. Lycée B : 252 + 23 = 275 reçus, donc 25 non reçus.

	Reçus	Non reçus	Total
Lycée A	267	33	300
Lycée B	275	25	300
Total	542	58	600

2. $f_{A} (reçu) = \frac{267}{300} = 0, 89$ , soit 89 % ; $f_{B} (reçu) = \frac{275}{300} \approx 0, 9167$ , soit 91,7 %. Globalement, le lycée B semble plus performant.

3. Lycée A : voie générale $\frac{171}{180} = 0, 95$ (95 %) ; voie technologique $\frac{96}{120} = 0, 8$ (80 %).
Lycée B : voie générale $\frac{252}{270} \approx 0, 9333$ (93,3 %) ; voie technologique $\frac{23}{30} \approx 0, 7667$ (76,7 %).
Le lycée A fait mieux que B dans chacune des deux voies, alors qu'il fait moins bien globalement.

4. a) Lycée A : $\frac{120}{300} = 0, 4$ , soit 40 % de candidats en voie technologique. Lycée B : $\frac{30}{300} = 0, 1$ , soit 10 %.

4. b) $0, 6 \times 0, 95 + 0, 4 \times 0, 8 = 0, 57 + 0, 32 = 0, 89$ : l'égalité est vérifiée.
Justification : les reçus de A sont ceux de la voie générale plus ceux de la voie technologique, donc $\frac{267}{300} = \frac{171}{300} + \frac{96}{300} = \frac{180}{300} \times \frac{171}{180} + \frac{120}{300} \times \frac{96}{120}$ , c'est-à-dire $f (G) \times f_{G} (reçu) + f (T) \times f_{T} (reçu)$ . Le taux global est une moyenne pondérée des taux par voie, les poids étant la composition du lycée. De même pour B : $0, 9 \times \frac{252}{270} + 0, 1 \times \frac{23}{30} = 0, 84 + \frac{2, 3}{30} \approx 0, 9167$ .

5. Dans les deux lycées, la voie technologique a un taux de réussite plus faible que la voie générale. Or elle pèse 40 % des candidats de A contre 10 % de ceux de B : le taux global de A est donc davantage tiré vers le bas, bien que A réussisse mieux dans chaque voie. Ce phénomène, où une comparaison globale s'inverse par rapport aux comparaisons par groupe, est appelé paradoxe de Simpson. La comparaison pertinente est celle voie par voie, à composition égale : elle montre que le lycée A obtient les meilleurs résultats.

Problème 4 — Contrôle qualité sur deux machines

Difficile

Une usine produit 5 000 pièces par jour avec deux machines : M1 fabrique 60 % des pièces, M2 le reste. 2,4 % des pièces de M1 et 4,5 % des pièces de M2 sont défectueuses, les autres sont conformes. Les fréquences seront arrondies au dixième de pourcentage lorsqu'elles ne tombent pas juste.

1. Dresser le tableau croisé d'effectifs (machine × état de la pièce).
2. Calculer la fréquence marginale des pièces défectueuses.
3. a) Parmi les pièces défectueuses, quelle proportion provient de M2 ?
3. b) Expliquer pourquoi M2 fournit plus de la moitié des pièces défectueuses alors qu'elle produit moins de la moitié des pièces.
4. a) Calculer l'effectif du filtre « M2 OU défectueuse ».
4. b) Montrer que le filtre « NON (M1 ET conforme) » sélectionne exactement les mêmes pièces, et vérifier son effectif.
5. L'usine veut au plus 3 % de pièces défectueuses au total, sans modifier M1. Déterminer le taux de défaut maximal de M2.

1. M1 : 0,6 × 5 000 = 3 000 pièces ; M2 : 5 000 − 3 000 = 2 000 pièces.
Défectueuses de M1 : 0,024 × 3 000 = 72 ; de M2 : 0,045 × 2 000 = 90. On complète par différences.

	Défectueuses	Conformes	Total
M1	72	2 928	3 000
M2	90	1 910	2 000
Total	162	4 838	5 000

2. $f (défectueuse) = \frac{162}{5 000} = 0, 0324$ , soit 3,24 %.

3. a) Population de référence : les 162 pièces défectueuses. $f_{déf} (M2) = \frac{90}{162} \approx 0, 5556$ , soit 55,6 %.

3. b) M2 ne produit que 40 % des pièces, mais son taux de défaut (4,5 %) est presque le double de celui de M1 (2,4 %). Ses 2 000 pièces donnent donc 90 défauts, plus que les 72 défauts des 3 000 pièces de M1. La part d'une machine parmi les défectueuses dépend à la fois de sa production et de son taux de défaut.

4. a) $n (M2 OU déf) = 2 000 + 162 - 90 =$ 2 072 pièces (les 90 pièces défectueuses de M2 sont comptées dans les deux totaux).

4. b) Une pièce n'est pas « de M1 et conforme » si elle ne vient pas de M1 ou si elle n'est pas conforme. Comme chaque pièce vient de M1 ou de M2, NON M1 = M2 ; comme chaque pièce est conforme ou défectueuse, NON conforme = défectueuse. Donc « NON (M1 ET conforme) » = « NON M1 OU NON conforme » = « M2 OU défectueuse ». Vérification : $5 000 - 2 928 = 2 072$ . On retrouve le même effectif.

5. Notons $t$ le taux de défaut de M2. Nombre de pièces défectueuses : $72 + 2 000 t$ . L'objectif s'écrit $72 + 2 000 t ⩽ 0, 03 \times 5 000$ , soit $72 + 2 000 t ⩽ 150$ , d'où $2 000 t ⩽ 78$ et $t ⩽ \frac{78}{2 000} = 0, 039$ . Le taux de défaut de M2 doit passer de 4,5 % à 3,9 % au plus.

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