Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés

a) On lit la case à l'intersection de la ligne « Jeunes » et de la colonne « BD » : 62 jeunes empruntent surtout des BD.

b) Les effectifs marginaux de la variable « type de document » sont les totaux des colonnes : 100 (livres), 80 (BD) et 60 (films). Leur somme vaut $100+80+60=240$ : on retrouve l'effectif total $N$, ce qui est normal puisque chaque usager a une et une seule modalité.

c) L'effectif marginal des adultes est 130, donc $f(\text{adultes})=\frac{130}{240}\approx 0,5417$, soit 54,2 % des usagers.

d) Le filtre « jeunes ET films » correspond à une case : 20 usagers. Il s'agit d'une fréquence dans toute la population, donc on divise par $N$ : $\frac{20}{240}\approx 0,0833$, soit 8,3 % des usagers.

a) Chaque ligne et chaque colonne a pour somme son total.
• Production sur site : $210-38=172$.
• Administration (total) : $360-210=150$.
• Administration en télétravail : $150-47=103$.
• Total télétravail : $38+103=141$ ; total sur site : $172+47=219$.
Contrôle : $141+219=360$.

b) $f(\text{sur site})=\frac{219}{360}\approx 0,6083$, soit 60,8 % des salariés.

c) Le filtre « administration ET télétravail » est la case 103, rapportée à tout l'effectif : $\frac{103}{360}\approx 0,2861$, soit 28,6 % des salariés.

a) « A ET P » sélectionne les spectateurs de moins de 25 ans qui ont un pass 3 jours. C'est une case du tableau : 135 spectateurs.

b) « NON A » sélectionne les spectateurs qui n'ont pas moins de 25 ans, c'est-à-dire ceux de 25 ans et plus : $500-230=270$ spectateurs (on retrouve l'effectif marginal de la deuxième ligne).

c) Par la formule : $n(A\cup P)=n(A)+n(P)-n(A\cap P)=230+232-135=327$ ; on retire 135 car ces spectateurs sont comptés à la fois dans 230 et dans 232.
Par les cases : on additionne les cases qui vérifient au moins une condition, chacune une fois : $95+135+97=327$.
Le filtre « A OU P » sélectionne 327 spectateurs.

d) $f(A\cup P)=\frac{327}{500}=0,654$, soit 65,4 % des spectateurs.

a) Pour chaque niveau, on divise l'effectif « Oui » par l'effectif du niveau (population de référence) :
• 2nde : $\frac{176}{240}\approx 0,7333$, soit 73,3 % ;
• 1re : $\frac{138}{210}\approx 0,6571$, soit 65,7 % ;
• Tle : $\frac{107}{190}\approx 0,5632$, soit 56,3 %.

b) Les fréquences « Non » s'obtiennent de même ($\frac{64}{240}\approx 0,2667$ ; $\frac{72}{210}\approx 0,3429$ ; $\frac{83}{190}\approx 0,4368$) et chaque ligne totalise 100 % :

c) La population de référence est maintenant celle des 219 élèves qui ne prennent pas de petit-déjeuner : $\frac{83}{219}\approx 0,3790$, soit 37,9 % d'élèves de Tle.

d) Les effectifs 176, 138 et 107 ne suffisent pas, car les trois niveaux n'ont pas le même nombre d'élèves. Les fréquences conditionnelles, elles, sont comparables : $73,3\%>65,7\%>56,3\%$. Oui : dans ce lycée, la part des élèves qui prennent un petit-déjeuner diminue quand le niveau augmente. La conclusion ne vaut que pour la population étudiée.

a) Mobile : $0,36\times 750=270$ ; ordinateur : $750-270=480$.
Les 20 % portent sur les commandes mobiles : $0,2\times 270=54$ retours sur mobile. Les 12,5 % portent sur les commandes sur ordinateur : $0,125\times 480=60$ retours sur ordinateur.
On complète par différences :

b) $f(R)=\frac{114}{750}=0,152$, soit 15,2 % des commandes.

c) Population de référence : les 114 commandes avec retour. $f_R(M)=\frac{54}{114}\approx 0,4737$, soit 47,4 %.

d) D'une part $f(M\cap R)=\frac{54}{750}=0,072$. D'autre part $f(M)\times f_M(R)=0,36\times 0,2=0,072$. Les deux nombres sont égaux.
C'est général : $f(M)\times f_M(R)=\frac{n(M)}{N}\times \frac{n(M\cap R)}{n(M)}=\frac{n(M\cap R)}{N}=f(M\cap R)$, car $n(M)$ se simplifie.

a) $f(V\cup A)=f(V)+f(A)-f(V\cap A)=0,46+0,38-0,17=$ 0,67, soit 67 % des habitants.

b) « Ni vélo ni voiture » est le filtre NON (V OU A) : $1-0,67=$ 0,33.

c) Les possesseurs de vélo se partagent entre ceux qui ont aussi une voiture et ceux qui n'en ont pas : $f(V\cap \bar{A})=f(V)-f(V\cap A)=0,46-0,17=$ 0,29.

Le tableau croisé des fréquences résume ces résultats :

d) Effectifs : $n(V)=0,46\times 2400=1104$ et $n(V\cap A)=0,17\times 2400=408$. Donc $f_V(A)=\frac{408}{1104}\approx 0,3696$ (on obtient la même valeur avec $\frac{0,17}{0,46}$). Environ 37,0 % des possesseurs de vélo possèdent aussi une voiture.

a) Parmi les mineurs : $\frac{96}{300}=0,32$, soit 32 %. Parmi les majeurs : $\frac{84}{120}=0,7$, soit 70 %.

b) Le président compare des effectifs de groupes de tailles très différentes (300 mineurs, 120 majeurs). Pour savoir quel groupe participe le plus, il faut comparer les fréquences conditionnelles : 70 % des majeurs contre 32 % des mineurs. Ce sont les majeurs qui participent proportionnellement le plus ; l'affirmation est fausse.

c) Population de référence : les 180 compétiteurs. $f_{\text{compétition}}(\text{mineurs})=\frac{96}{180}\approx 0,5333$, soit 53,3 %.

d) Non. Les deux fréquences ne portent pas sur la même population : en a), on étudie chaque tranche d'âge ; en c), on étudie les compétiteurs. Les mineurs sont majoritaires parmi les compétiteurs (53,3 %) simplement parce qu'ils représentent $\frac{300}{420}\approx 71,4\%$ des adhérents, alors que chacun d'eux participe moins souvent qu'un majeur. Les deux résultats sont compatibles.

a) $\frac{7}{15}\times 1050=\frac{7\times 1050}{15}=7\times 70=$ 490 spectateurs au tarif réduit.

b) Les spectateurs au tarif réduit se répartissent en deux cases : ceux en VOST et ceux en VF. En VOST, ils représentent 40 % des $v$ spectateurs, soit $0,4v$ ; en VF, ils sont 310. Donc $0,4v+310=490$.
On résout : $0,4v=180$, d'où $v=\frac{180}{0,4}=$ 450 spectateurs en VOST.

c) VF : $1050-450=600$ ; réduit en VOST : $0,4\times 450=180$ ; plein tarif en VOST : $450-180=270$ ; plein tarif en VF : $600-310=290$ ; plein tarif au total : $290+270=560=1050-490$.

d) Parmi les spectateurs en VF : $\frac{310}{600}\approx 0,5167$, soit 51,7 %. Parmi ceux en VOST : 40 % (donnée de l'énoncé, vérifiée : $\frac{180}{450}=0,4$).
Le tarif réduit est proportionnellement plus fréquent chez les spectateurs en VF (51,7 % contre 40 %).

a) D'après la formule du OU, $f(S\cap D)=f(S)+f(D)-f(S\cup D)$. Or une fréquence ne dépasse pas 1 : $f(S\cup D)⩽1$. Donc $f(S\cap D)⩾0,62+0,55-1=0,17$. Au moins 17 % des abonnés regardent les deux.

b) Les abonnés du filtre « S ET D » font partie des amateurs de documentaires, donc $f(S\cap D)⩽f(D)=0,55$. Cette valeur est atteinte si tous les amateurs de documentaires regardent aussi des séries : on a alors $f(S\cup D)=0,62+0,55-0,55=0,62⩽1$, situation possible. La valeur maximale est 0,55.

c) « Ni S ni D » est le filtre NON (S OU D), donc $f(S\cup D)=1-0,23=0,77$. Alors $f(S\cap D)=0,62+0,55-0,77=$ 0,40 (valeur bien comprise entre 0,17 et 0,55). Effectif : $0,40\times 1600=$ 640 abonnés.

d) $n(D)=0,55\times 1600=880$, donc $f_D(S)=\frac{640}{880}\approx 0,7273$. Environ 72,7 % des amateurs de documentaires regardent aussi des séries.

a) La fonction parcourt les rangs $i$ de 0 à 9 et ajoute 1 quand l'élève est interne et latiniste. Les internes sont aux rangs 0, 2, 3, 6, 8, 9 ; parmi eux, les latinistes sont aux rangs 0, 3, 6, 9. L'appel renvoie 4 : c'est l'effectif du filtre « interne ET latin ».

b) Externes (rangs 1, 4, 5, 7) : un seul latiniste (rang 4). On obtient :

c) On compte l'effectif de la population de référence (dénominateur), puis on divise l'effectif de la case « ET » par ce nombre :

def freq_cond(L1, L2, m1, m2):
    n1 = 0
    for i in range(len(L1)):
        if L1[i] == m1:
            n1 = n1 + 1
    return compte(L1, L2, m1, m2) / n1

La modalité $m1$ doit être présente dans la liste, sinon $n1$ vaut 0 et la division est impossible. Ici $fre{q}_{c}ond(regime,latin{,}^{\prime }{I}^{\prime }{,}^{\prime }{O}^{\prime })$ renvoie $\frac{4}{6}\approx$ 0,667 : environ 66,7 % des internes font du latin.

d) Avec $or$, la fonction compte les élèves internes ou latinistes : les 6 internes et le latiniste externe du rang 4, soit 7. On vérifie avec la formule : $6+5-4=7$. L'élève a programmé le filtre « interne OU latin », et non « interne ET latin ».