Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés

Un complexe de loisirs a interrogé $240$ clients sur leur catégorie et sur leur activité principale.

1. Nombre de jeunes dont l’activité principale est le karting :
   On lit la case à l’intersection de la ligne « Jeunes » et de la colonne « Karting » : $62$ jeunes.
2. Nombre d’adultes dont l’activité principale n’est pas le bowling :
   Dans la ligne « Adultes », on additionne les cases « Karting » et « Patinoire » : $18+40=58$ (ou $130-72=58$).
3. La variable « activité principale » est-elle nominale ou ordinale ? Réponse :
   Rédaction attendue. Les modalités bowling, karting et patinoire ne se rangent pas dans un ordre naturel : la variable est qualitative nominale.

Une entreprise emploie $360$ salariés, répartis selon leur service et leur façon de déjeuner.

1. Salariés de la production qui apportent leur repas :
   Ligne « Production » : $210-38=172$.
2. Salariés de l’administration qui mangent à la cantine :
   Effectif de l’administration : $360-210=150$. Ligne « Administration » : $150-47=103$.
3. Justifier que l’effectif marginal « Cantine » vaut
   Rédaction attendue. La colonne « Cantine » contient $38$ salariés de la production et $103$ de l’administration, donc $38+103=141$. Contrôle : la colonne « Repas apporté » contient $172+47=219$ salariés et $141+219=360=N$.

Une sortie à vélo solidaire réunit $600$ participants, inscrits sur le parcours de $30$ km ou de $60$ km, seuls ou en équipe. On sait que $240$ participants ont choisi le $60$ km, que sur le $60$ km les inscrits en équipe sont trois fois plus nombreux que les inscrits seuls, et que $150$ inscrits seuls ont choisi le $30$ km.

1. Démontrer que le nombre d’inscrits seuls sur le $60$ km est
   Rédaction attendue. On note $s$ le nombre d’inscrits seuls sur le $60$ km ; les inscrits en équipe y sont $3s$. La colonne du $60$ km donne $s+3s=240$, soit $4s=240$, donc $s=60$. Il y a $60$ inscrits seuls et $180$ inscrits en équipe sur le $60$ km.
2. Inscrits en équipe sur le $30$ km :
   Le $30$ km compte $600-240=360$ participants, dont $150$ inscrits seuls : $360-150=210$ inscrits en équipe.
3. Effectif marginal des inscrits en équipe :
   $180+210=390$. Contrôle : inscrits seuls $60+150=210$ et $210+390=600$.

Une association compte $450$ bénévoles, qui travaillent le matin ou l’après-midi, à l’accueil ou à la logistique. Il y a deux fois plus de bénévoles l’après-midi que le matin ; les bénévoles de la logistique sont $50$ de plus que ceux de l’accueil ; $90$ bénévoles du matin sont à l’accueil.

1. Justifier que le nombre de bénévoles du matin est
   Rédaction attendue. On note $m$ le nombre de bénévoles du matin ; l’après-midi, ils sont $2m$. Ensemble, $m+2m=450$, donc $3m=450$ et $m=150$. L’après-midi compte $300$ bénévoles.
2. Effectif marginal de l’accueil :
   On note $a$ l’effectif de l’accueil ; la logistique compte $a+50$ bénévoles. $a+(a+50)=450$, donc $2a=400$ et $a=200$ (logistique : $250$).
3. Bénévoles de l’après-midi affectés à la logistique :
   Accueil l’après-midi : $200-90=110$. Ligne de l’après-midi : $300-110=190$. Contrôle par la colonne : logistique du matin $150-90=60$ et $60+190=250$.

Un food-truck a relevé, sur $200$ commandes, le moment de la commande et la prise d’un dessert. Arrondir au dixième si besoin.

1. Fréquence marginale des commandes du soir : %
   $f(\text{soir})={\displaystyle \frac{80}{200}}=0,4$, soit $40\%$ des commandes.
2. Fréquence des commandes passées le midi et avec dessert : %
   Case « midi et dessert » rapportée à toutes les commandes : ${\displaystyle \frac{36}{200}}=0,18$, soit $18\%$.
3. Parmi les commandes du soir, fréquence de celles avec dessert : %
   Population de référence : les $80$ commandes du soir. ${\displaystyle \frac{30}{80}}=0,375$, soit $37,5\%$.
4. Parmi les commandes avec dessert, fréquence de celles du soir : %
   Population de référence : les $66$ commandes avec dessert. ${\displaystyle \frac{30}{66}}\approx 0,455$, soit environ $45,5\%$ : même numérateur qu’à la question précédente, mais pas le même dénominateur.

Dans un quartier de $600$ habitants, $25\%$ sont retraités (filtre $R$) et $60\%$ des retraités font partie d’une association (filtre $S$). Par ailleurs, $30\%$ des habitants font partie d’une association.

1. Fréquence des habitants retraités et membres d’une association (en décimal) :
   $f(R\cap S)=f(R)\times f_R(S)=0,25\times 0,6=0,15$.
2. Nombre d’habitants retraités et membres d’une association :
   $0,15\times 600=90$ habitants (ou $0,6\times 150=90$, car il y a $0,25\times 600=150$ retraités).
3. Justifier que, parmi les membres d’une association, la fréquence des retraités est (en décimal).
   Rédaction attendue. Les membres d’une association sont $0,3\times 600=180$, dont $90$ retraités. Donc $f_S(R)={\displaystyle \frac{n(R\cap S)}{n(S)}}={\displaystyle \frac{90}{180}}=0,5$. Ce n’est pas $0,6$ : $f_R(S)$ et $f_S(R)$ n’ont pas le même dénominateur.

On a demandé aux $640$ élèves d’un lycée s’ils prennent un petit-déjeuner avant de venir en cours. Arrondir au dixième de pourcentage.

1. Parmi les élèves de 2nde, fréquence de ceux qui prennent un petit-déjeuner : %
   ${\displaystyle \frac{176}{240}}\approx 0,7333$, soit $73,3\%$.
2. Même fréquence parmi les élèves de Tle : %
   ${\displaystyle \frac{107}{190}}\approx 0,5632$, soit $56,3\%$ (en 1re : ${\displaystyle \frac{138}{210}}\approx 65,7\%$). La part diminue quand le niveau augmente, dans ce lycée.
3. Dans le tableau des fréquences conditionnelles par ligne, case « Tle, Non » : %
   ${\displaystyle \frac{83}{190}}\approx 0,4368$, soit $43,7\%$ ; avec $56,3\%$, la ligne totalise bien $100\%$.
4. Justifier que, parmi les élèves qui ne prennent pas de petit-déjeuner, la part des élèves de Tle est %
   Rédaction attendue. La population de référence est maintenant celle des $219$ élèves qui ne prennent pas de petit-déjeuner, dont $83$ sont en Tle : ${\displaystyle \frac{83}{219}}\approx 0,3790$, soit $37,9\%$. C’est une autre question que la part des « Non » parmi les élèves de Tle.

Dans un lycée, $40\%$ des membres du club photo font aussi partie du club journal, et $25\%$ des membres du club journal font aussi partie du club photo. $60$ élèves sont inscrits aux deux clubs. Le lycée compte $500$ élèves.

1. Démontrer que le club photo compte membres.
   Rédaction attendue. On note $P$ le club photo et $J$ le club journal. $f_P(J)={\displaystyle \frac{n(P\cap J)}{n(P)}}$, donc $0,4={\displaystyle \frac{60}{n(P)}}$ et $n(P)={\displaystyle \frac{60}{0,4}}=150$ élèves.
2. Nombre de membres du club journal :
   $f_J(P)={\displaystyle \frac{60}{n(J)}}=0,25$, donc $n(J)={\displaystyle \frac{60}{0,25}}=240$ élèves.
3. Fréquence marginale des membres du club photo dans le lycée (en décimal) :
   $f(P)={\displaystyle \frac{150}{500}}=0,3$, soit $30\%$ des élèves.

Une enquête de sécurité routière porte sur $500$ conducteurs : $30\%$ ont moins de $30$ ans. Dans l’année, $12\%$ des moins de $30$ ans et $6\%$ des autres conducteurs ont reçu une amende pour excès de vitesse.

1. Conducteurs de moins de $30$ ans ayant reçu une amende :
   Moins de $30$ ans : $0,3\times 500=150$. Les $12\%$ portent sur eux : $0,12\times 150=18$.
2. Conducteurs de $30$ ans et plus ayant reçu une amende :
   $30$ ans et plus : $500-150=350$. $0,06\times 350=21$.
3. Justifier que, parmi les conducteurs qui ont reçu une amende, la part des moins de $30$ ans est environ % (au dixième).
   Rédaction attendue. Les conducteurs ayant reçu une amende sont $18+21=39$. Parmi eux, $18$ ont moins de $30$ ans : ${\displaystyle \frac{18}{39}}\approx 0,4615$, soit environ $46,2\%$.

Une boutique en ligne a étudié $750$ commandes : $36\%$ ont été passées sur mobile ($M$), les autres sur ordinateur. $20\%$ des commandes sur mobile ont donné lieu à un retour d’article ($R$), contre $12,5\%$ des commandes sur ordinateur. Arrondir au dixième de pourcentage.

1. Commandes sur mobile avec retour :
   Mobile : $0,36\times 750=270$ commandes ; $0,2\times 270=54$ retours.
2. Commandes sur ordinateur avec retour :
   Ordinateur : $750-270=480$ commandes ; $0,125\times 480=60$ retours. On complète : sans retour, $216$ sur mobile et $420$ sur ordinateur.
3. Fréquence marginale des commandes avec retour : %
   $n(R)=54+60=114$ et $f(R)={\displaystyle \frac{114}{750}}=0,152$, soit $15,2\%$.
4. Parmi les commandes avec retour, part de celles passées sur mobile : %
   Population de référence : les $114$ retours. $f_R(M)={\displaystyle \frac{54}{114}}\approx 0,4737$, soit $47,4\%$.
5. Démontrer que $f(M\cap R)=f(M)\times f_M(R)$, puis donner cette fréquence en décimal :
   Rédaction attendue. D’une part $f(M\cap R)={\displaystyle \frac{54}{750}}=0,072$. D’autre part $f(M)\times f_M(R)=0,36\times 0,2=0,072$. C’est général : ${\displaystyle \frac{n(M)}{N}}\times {\displaystyle \frac{n(M\cap R)}{n(M)}}={\displaystyle \frac{n(M\cap R)}{N}}$, car $n(M)$ se simplifie.

Un cinéma a accueilli $1050$ spectateurs sur un week-end, en version française (VF) ou en version originale sous-titrée (VOST), au plein tarif ou au tarif réduit. On sait que ${\displaystyle \frac{7}{15}}$ des spectateurs ont payé le tarif réduit, que $40\%$ des spectateurs en VOST ont payé le tarif réduit et que $310$ spectateurs ont vu une séance en VF au tarif réduit.

1. Nombre de spectateurs au tarif réduit :
   ${\displaystyle \frac{7}{15}}\times 1050=7\times 70=490$.
2. On note $v$ le nombre de spectateurs en VOST. Démontrer que $0,4v+310$ est égal au nombre de spectateurs au tarif réduit, puis donner $v$ =
   Rédaction attendue. Les $490$ spectateurs au tarif réduit se répartissent en deux cases : ceux en VOST, qui représentent $40\%$ des $v$ spectateurs en VOST, soit $0,4v$, et ceux en VF, au nombre de $310$. Donc $0,4v+310=490$, d’où $0,4v=180$ et $v={\displaystyle \frac{180}{0,4}}=450$.
3. Spectateurs en VF au plein tarif :
   VF : $1050-450=600$ spectateurs, dont $310$ au tarif réduit : $600-310=290$ au plein tarif. En VOST : $0,4\times 450=180$ au tarif réduit et $270$ au plein tarif ; contrôle $290+270=560=1050-490$.
4. Parmi les spectateurs en VF, fréquence du tarif réduit, au dixième : %
   Il y a $1050-450=600$ spectateurs en VF, dont $310$ au tarif réduit : ${\displaystyle \frac{310}{600}}\approx 0,5167$, soit $51,7\%$, contre $40\%$ en VOST.

Un samedi à $15$ h, le parking P1 ($400$ places) a $340$ places occupées et le parking P2 ($250$ places) en a $220$.

1. Taux d’occupation de P1 : %
   Parmi les $400$ places de P1 : ${\displaystyle \frac{340}{400}}=0,85$, soit $85\%$.
2. Taux d’occupation de P2 : %
   ${\displaystyle \frac{220}{250}}=0,88$, soit $88\%$.
3. Justifier que P1, malgré ses $340$ places occupées, est proportionnellement moins rempli que P2, puis donner le nombre de places occupées supplémentaires qu’il faudrait à P1 pour atteindre le taux de P2 :
   Rédaction attendue. Les capacités diffèrent : on compare les fréquences, $85\%<88\%$. Au taux de P2, P1 aurait $0,88\times 400=352$ places occupées, soit $352-340=12$ de plus.

Une association sportive compte $420$ adhérents. Le tableau indique qui a participé à au moins une compétition. Arrondir au dixième de pourcentage.

1. Parmi les mineurs, fréquence des compétiteurs : %
   ${\displaystyle \frac{96}{300}}=0,32$, soit $32\%$.
2. Parmi les majeurs, fréquence des compétiteurs : %
   ${\displaystyle \frac{84}{120}}=0,7$, soit $70\%$. Le président qui dit « les mineurs participent davantage, $96$ contre $84$ » compare des effectifs de groupes de tailles très différentes : proportionnellement, ce sont les majeurs qui participent le plus.
3. Parmi les compétiteurs, part des mineurs : %
   Population de référence : les $180$ compétiteurs. ${\displaystyle \frac{96}{180}}\approx 0,5333$, soit $53,3\%$.
4. Les mineurs sont majoritaires parmi les compétiteurs alors qu’ils participent moins souvent. Justifier en donnant la part des mineurs parmi tous les adhérents : %
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{300}{420}}\approx 0,7143$ : les mineurs forment $71,4\%$ des adhérents. Même si chacun d’eux participe moins souvent ($32\%$ contre $70\%$), leur grand nombre les rend majoritaires parmi les compétiteurs ($53,3\%$). Les deux résultats ne portent pas sur la même population : ils ne se contredisent pas.

Un collège a présenté $500$ élèves au brevet : $300$ filles, dont $255$ ont été reçues, et $200$ garçons, dont $140$ ont été reçus.

1. Taux de réussite des filles : %
   ${\displaystyle \frac{255}{300}}=0,85$, soit $85\%$.
2. Taux de réussite des garçons : %
   ${\displaystyle \frac{140}{200}}=0,7$, soit $70\%$.
3. Un élève annonce un taux global de $77,5\%$, moyenne de $85\%$ et $70\%$. Démontrer que le taux global est en réalité %
   Rédaction attendue. Le collège compte $255+140=395$ reçus sur $500$ candidats : ${\displaystyle \frac{395}{500}}=0,79$, soit $79\%$. La moyenne simple est fausse, car les deux groupes n’ont pas la même taille : les filles, plus nombreuses ($60\%$ des candidats), pèsent davantage. On retrouve $0,6\times 0,85+0,4\times 0,7=0,51+0,28=0,79$.

Sur $800$ candidats à l’examen du code de la route, $600$ ont suivi un stage en ligne ($S$) et $200$ non. $390$ candidats du stage et $110$ autres candidats ont été reçus. Un article affirme : « $78\%$ des reçus avaient suivi le stage : il est donc très efficace. »

1. Parmi les candidats du stage, taux de réussite : %
   ${\displaystyle \frac{390}{600}}=0,65$, soit $65\%$.
2. Parmi les candidats sans stage, taux de réussite : %
   ${\displaystyle \frac{110}{200}}=0,55$, soit $55\%$.
3. Parmi les reçus, part des candidats du stage : %
   Reçus : $390+110=500$. ${\displaystyle \frac{390}{500}}=0,78$ : c’est le nombre cité par l’article.
4. Justifier que le « $78\%$ » s’explique surtout par la part des candidats du stage parmi tous les candidats, qui vaut %
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{600}{800}}=0,75$ : $75\%$ des candidats ont suivi le stage. Il est donc normal qu’ils soient majoritaires parmi les reçus, même sans effet du stage. Pour juger, il faut comparer les taux de réussite des deux groupes : $65\%$ contre $55\%$. L’écart existe, mais il est bien moins spectaculaire que le titre, et il ne prouve pas à lui seul que le stage en est la cause.

Les $500$ passagers d’un train de nuit sont classés selon qu’ils voyagent avec un vélo (filtre $V$) et qu’ils ont réservé une couchette (filtre $C$).

1. Fréquence du filtre « $V$ ET $C$ » (en décimal) :
   « $V$ ET $C$ » est une case : $135$ passagers avec vélo et couchette. Rapportée à tous les passagers : ${\displaystyle \frac{135}{500}}=0,27$.
2. Fréquence du filtre « NON $C$ » (en décimal) :
   Passagers sans couchette : $500-232=268$, et ${\displaystyle \frac{268}{500}}=0,536$ (ou $1-{\displaystyle \frac{232}{500}}=1-0,464=0,536$).
3. Effectif du filtre « $V$ OU $C$ » :
   $230+232-135=327$ ; contrôle par les cases, chacune une fois : $95+135+97=327$. Fréquence : ${\displaystyle \frac{327}{500}}=0,654$.
4. Justifier que les filtres « NON ($V$ ET $C$) » et « NON $V$ OU NON $C$ » ont le même effectif, égal à
   Rédaction attendue. NON ($V$ ET $C$) : $500-135=365$ passagers. NON $V$ OU NON $C$ : $270+268-173=365$, où $173$ est la case « sans vélo et sans couchette ». Les deux filtres sélectionnent les mêmes passagers : tous sauf ceux qui ont à la fois un vélo et une couchette.

Dans un village de $2400$ habitants, $46\%$ ont un potager (filtre $P$), $38\%$ ont un composteur (filtre $C$) et $17\%$ ont les deux. Donner les fréquences en décimal.

1. $f(P\cup C)$ =
   $f(P\cup C)=0,46+0,38-0,17=0,67$.
2. Fréquence des habitants qui n’ont ni potager ni composteur :
   « Ni… ni » = NON ($P$ OU $C$) : $1-0,67=0,33$.
3. Fréquence des habitants qui ont un potager mais pas de composteur :
   Les habitants qui ont un potager se partagent entre ceux qui ont aussi un composteur et les autres : $0,46-0,17=0,29$.
4. Parmi les habitants qui ont un potager, fréquence de ceux qui ont un composteur, au dixième de pourcentage : %
   $n(P)=0,46\times 2400=1104$ et $n(P\cap C)=0,17\times 2400=408$, donc $f_P(C)={\displaystyle \frac{408}{1104}}\approx 0,3696$, soit $37,0\%$.

Une entreprise compte $700$ salariés : $58\%$ parlent anglais (filtre $A$), $27\%$ parlent espagnol (filtre $E$) et $14\%$ parlent les deux langues. Donner les fréquences en décimal.

1. $f(A\cup E)$ =
   $0,58+0,27-0,14=0,71$.
2. Fréquence des salariés qui ne parlent aucune des deux langues :
   NON ($A$ OU $E$) : $1-0,71=0,29$.
3. Fréquence des salariés qui parlent espagnol mais pas anglais :
   $f(E)-f(A\cap E)=0,27-0,14=0,13$.
4. Démontrer que le nombre de salariés qui parlent exactement une des deux langues est
   Rédaction attendue. Parler exactement une langue, c’est être dans « $A$ OU $E$ » sans être dans « $A$ ET $E$ » : $f=0,71-0,14=0,57$, et $0,57\times 700=399$ salariés. Contrôle avec les effectifs : $406$ anglophones, $189$ hispanophones, $98$ les deux ; $(406-98)+(189-98)=308+91=399$.

Une radio a interrogé $1600$ auditeurs : $62\%$ écoutent le journal du matin (filtre $M$) et $55\%$ l’émission du soir (filtre $S$).

1. Démontrer qu’au moins % des auditeurs écoutent les deux.
   Rédaction attendue. D’après la formule du OU, $f(M\cap S)=f(M)+f(S)-f(M\cup S)$. Or une fréquence ne dépasse pas $1$ : $f(M\cup S)⩽1$. Donc $f(M\cap S)⩾0,62+0,55-1=0,17$ : au moins $17\%$ des auditeurs écoutent les deux.
2. Plus grande valeur possible de $f(M\cap S)$, en pourcentage : %
   Les auditeurs de « $M$ ET $S$ » écoutent l’émission du soir, donc $f(M\cap S)⩽f(S)=0,55$. Cette valeur est atteinte si tous les auditeurs du soir écoutent aussi le matin : alors $f(M\cup S)=0,62⩽1$, ce qui est possible.
3. On apprend que $23\%$ des auditeurs n’écoutent aucune des deux émissions. Nombre d’auditeurs qui écoutent les deux :
   « Aucune » = NON ($M$ OU $S$), donc $f(M\cup S)=1-0,23=0,77$ et $f(M\cap S)=0,62+0,55-0,77=0,40$ (bien entre $0,17$ et $0,55$). Effectif : $0,40\times 1600=640$.
4. Parmi les auditeurs du soir, fréquence de ceux qui écoutent aussi le matin, au dixième : %
   $n(S)=0,55\times 1600=880$, donc $f_S(M)={\displaystyle \frac{640}{880}}\approx 0,7273$, soit $72,7\%$.

Une association a organisé huit séjours, décrits dans une feuille de calcul (destination en colonne A, formule en colonne B).

1. Valeur affichée par =NB.SI.ENS(A2:A9;"mer";B2:B9;"tout compris") :
   La fonction compte les lignes qui vérifient les deux conditions (filtre ET) : lignes $2$, $5$ et $7$, soit $3$.
2. Valeur affichée par =NB.SI(A2:A9;"mer") :
   Lignes $2$, $4$, $5$, $7$ et $9$ : $5$ séjours à la mer.
3. Justifier que la formule =NB.SI.ENS(A2:A9;"mer";B2:B9;"tout compris")/NB.SI(A2:A9;"mer") donne une fréquence conditionnelle, et donner sa valeur en décimal :
   Rédaction attendue. Le numérateur compte les séjours « mer ET tout compris », le dénominateur compte les séjours à la mer : le quotient est la fréquence du « tout compris » parmi les séjours à la mer, ${\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$.

Un jardin partagé a codé, pour dix plants, l’espèce (« T » tomate, « C » courgette) et la récolte ; le plant de rang $i$ occupe la même position dans les deux listes.

plant = ["T", "C", "T", "T",
         "C", "C", "T", "C",
         "T", "T"]
recolte = ["oui", "non", "non", "oui",
           "oui", "non", "oui", "non",
           "non", "oui"]

def compte(L1, L2, m1, m2):
    n = 0
    for i in range(len(L1)):
        if L1[i] == m1 and L2[i] == m2:
            n = n + 1
    return n

1. Valeur renvoyée par compte(plant, recolte, "T", "oui") :
   Les tomates sont aux rangs $0$, $2$, $3$, $6$, $8$ et $9$ ; parmi elles, les plants récoltés sont aux rangs $0$, $3$, $6$ et $9$. La fonction renvoie $4$ : c’est l’effectif du filtre « tomate ET récolté ».
2. Dans le tableau croisé (espèce × récolte), case « courgette, non récoltée » :
   Courgettes : rangs $1$, $4$, $5$ et $7$ ; seule celle du rang $4$ est récoltée. Il reste $3$ courgettes non récoltées. Tableau : tomates $4$ récoltées et $2$ non ; courgettes $1$ et $3$ ; total $5$ et $5$.
3. On remplace and par or. Justifier que compte(plant, recolte, "T", "oui") renvoie alors
   Rédaction attendue. La condition devient « tomate OU récolté » : les $6$ tomates et la courgette récoltée du rang $4$, soit $7$ plants. Contrôle par la formule : $6+5-4=7$.
4. On remplace la condition par not (L1[i] == m1) and L2[i] == m2. Valeur renvoyée par compte(plant, recolte, "T", "oui") :
   La condition devient « NON tomate ET récolté », c’est-à-dire « courgette ET récoltée » : seul le rang $4$, la fonction renvoie $1$.

Huit participants à un atelier ont donné leur formule (matin ou soir) et leur avis. On étudie la fonction suivante.

formule = ["matin", "soir", "soir", "matin",
           "soir", "matin", "soir", "soir"]
avis = ["bon", "bon", "moyen", "bon",
        "bon", "bon", "moyen", "bon"]

def freq_cond(L1, L2, m1, m2):
    n1 = 0
    n = 0
    for i in range(len(L1)):
        if L1[i] == m1:
            n1 = n1 + 1
            if L2[i] == m2:
                n = n + 1
    return n / n1

1. Lors de l’appel freq_cond(formule, avis, "soir", "bon"), valeur finale de n1 :
   n1 compte les participants du soir : rangs $1$, $2$, $4$, $6$ et $7$, soit $5$. C’est l’effectif de la sous-population de référence.
2. Valeur renvoyée par freq_cond(formule, avis, "soir", "bon") (en décimal) :
   Parmi les $5$ participants du soir, ceux des rangs $1$, $4$ et $7$ ont un bon avis : ${\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$.
3. Justifier que freq_cond(avis, formule, "bon", "soir") calcule une autre fréquence, et donner sa valeur en décimal :
   Rédaction attendue. Les listes et les modalités sont échangées : la fonction calcule la part des participants du soir parmi ceux qui ont un bon avis, $f_{\text{bon}}(\text{soir})$. Bons avis : rangs $0$, $1$, $3$, $4$, $5$ et $7$, soit $6$ ; parmi eux, $3$ sont du soir. Résultat : ${\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$, différent de $f_{\text{soir}}(\text{bon})=0,6$.