Forces et approche de la deuxième loi de Newton

Un vidéoprojecteur de masse $m=2,5$ kg est fixé, immobile, à un support accroché au plafond. On néglige l’action de l’air ; $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Nombre de forces dans le bilan du vidéoprojecteur :
   Deux acteurs extérieurs : la Terre, qui exerce le poids (vertical, vers le bas), et le support, qui exerce une force verticale vers le haut. L’air est négligé.
2. Valeur du poids : N
   $P=mg=2,5\times 9,81=24,525$ N, soit environ 24,5 N, vertical vers le bas.
3. La force exercée par le vidéoprojecteur sur son support s’applique au : elle n’entre pas dans le bilan.
   Elle s’exerce sur le support, pas sur le système étudié : le bilan ne contient que les forces exercées sur le vidéoprojecteur.

Une péniche est tirée le long d’un canal rectiligne, depuis la berge, par un câble qui fait un angle de 20° avec l’axe du canal ; la tension du câble vaut 800 N. Axe x selon le canal, dans le sens du mouvement ; axe y perpendiculaire au canal, dans le plan horizontal.

1. Composante de la tension selon le canal : N
   $T_x=T\cos 20°=800\times \cos 20°\approx 752$ N : c’est elle qui fait avancer la péniche.
2. Composante de la tension perpendiculaire au canal : N
   $T_y=T\sin 20°=800\times \sin 20°\approx 274$ N : elle tire la péniche vers la berge ; l’action de l’eau sur la coque et le gouvernail la compense.
3. Angle pour lequel la composante selon le canal ne vaudrait que la moitié de la tension : °
   $T\cos \alpha ={\displaystyle \frac{T}{2}}$ quand $\cos \alpha =0,5$, soit $\alpha =60°$ : plus le câble s’écarte de l’axe, moins il est efficace.

Un bloc de 5,0 kg glisse vers le bas d’un plan incliné de 20° sur l’horizontale. Il subit son poids, la réaction normale du plan et des frottements de 6,0 N parallèles au plan, opposés au mouvement. $g=9,81$ N·kg⁻¹. Axe x parallèle au plan, orienté vers le bas de la pente.

1. Composante du poids selon x : N
   $P_x=mg\sin 20°=5,0\times 9,81\times \sin 20°\approx 16,8$ N, positive : vers le bas de la pente.
2. Valeur de la composante du poids perpendiculaire au plan : N
   $mg\cos 20°=49,05\times \cos 20°\approx 46,1$ N, dirigée vers le plan.
3. Coordonnée selon x de la somme des forces : N
   La réaction normale, perpendiculaire à x, a une coordonnée nulle ; les frottements ont pour coordonnée −6,0 N. ${(\sum F)}_x\approx 16,78-6,0\approx 10,8$ N.
4. Le bloc reste au contact du plan : la somme des forces est dirigée vers le de la pente.
   La composante du poids perpendiculaire au plan est compensée par la réaction normale ; il reste une somme parallèle au plan, de coordonnée positive : vers le bas de la pente.

Une caisse de 24 kg est tirée sur un sol horizontal par une force horizontale de 86 N ; son mouvement est rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Valeur des frottements exercés par le sol : N
   Mouvement rectiligne uniforme : les forces se compensent. Selon l’horizontale, $F-f=0$, donc $f=86$ N, opposés au mouvement.
2. Valeur de la réaction normale du sol : N
   Selon la verticale, $R_N-mg=0$, donc $R_N=24\times 9,81=235,44$ N, soit environ 235 N.
3. On part du mouvement pour conclure sur les forces : c’est le sens du principe d’inertie.
   Du mouvement (rectiligne uniforme) aux forces ($\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$) : c’est le sens réciproque. Le sens direct va des forces au mouvement.

Un ressort vertical de raideur $k=32$ N·m⁻¹ est accroché à un support ; on y suspend un solide de 0,25 kg, qui reste immobile. Le ressort exerce une force verticale de valeur $F=k|\Delta \ell |$, où $\Delta \ell$ est son allongement. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Allongement du ressort : cm
   Immobile : la force du ressort compense le poids, $k\Delta \ell =mg$, donc $\Delta \ell ={\displaystyle \frac{mg}{k}}={\displaystyle \frac{0,25\times 9,81}{32}}\approx 0,0766$ m, soit 7,7 cm.
2. Masse à suspendre pour un allongement de 12 cm : kg
   $m={\displaystyle \frac{k\Delta \ell }{g}}={\displaystyle \frac{32\times 0,12}{9,81}}={\displaystyle \frac{3,84}{9,81}}\approx 0,391$ kg.
3. Si l’on suspend une masse trois fois plus grande, l’allongement à l’équilibre est multiplié par
   $\Delta \ell ={\displaystyle \frac{mg}{k}}$ est proportionnel à $m$ : il est multiplié par 3. C’est le principe du dynamomètre.

Un solide de 3,5 kg est maintenu immobile sur un plan incliné de 22° par un câble parallèle à la ligne de plus grande pente. Les frottements sont négligés ; $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Tension du câble : N
   Immobile : $\overrightarrow{P}+{\overrightarrow{R}}_N+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$. Sur l’axe parallèle au plan, orienté vers le haut, $T-mg\sin \alpha =0$, donc $T=3,5\times 9,81\times \sin 22°\approx 12,9$ N.
2. Réaction normale du plan : N
   Sur l’axe perpendiculaire au plan, $R_N-mg\cos \alpha =0$, donc $R_N=34,335\times \cos 22°\approx 31,8$ N, moins que le poids (34,3 N).
3. Inclinaison pour laquelle la tension vaudrait la moitié du poids : °
   $mg\sin \alpha ={\displaystyle \frac{mg}{2}}$ quand $\sin \alpha =0,5$, soit $\alpha =30°$.
4. Si l’on coupe le câble, le solide part vers le de la pente.
   Il ne reste que $\overrightarrow{P}$ et ${\overrightarrow{R}}_N$, dont la somme vaut $mg\sin \alpha$, vers le bas de la pente : les forces ne se compensent plus, $\Delta \overrightarrow{v}$ a ce sens et le solide descend.

Une balle de 0,145 kg est accélérée en ligne droite par une machine lanceuse. Un capteur mesure 4,2 m·s⁻¹, puis, 80 ms plus tard, 6,9 m·s⁻¹ dans le même sens. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Valeur de $\Delta \overrightarrow{v}$ : m·s⁻¹
   Trajectoire droite, vitesses de même sens : $\Delta v=6,9-4,2=2,7$ m·s⁻¹, dans le sens du mouvement.
2. ${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}}$ : m·s⁻²
   $\Delta t=0,080$ s, donc ${\displaystyle \frac{2,7}{0,080}}=33,75$ m·s⁻².
3. Valeur de la somme des forces : N
   $\sum F\approx m{\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}}=0,145\times 33,75\approx 4,89$ N, dans le sens du mouvement.
4. La somme des forces vaut environ fois le poids de la balle.
   $P=0,145\times 9,81\approx 1,42$ N et ${\displaystyle \frac{4,89}{1,42}}\approx 3,4$ : l’action prépondérante est celle de la machine, pas le poids.

Une voiture de 1 250 kg roule en ligne droite à 22 m·s⁻¹. Elle freine régulièrement et s’arrête en 3,2 s.

1. Valeur de ${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}}$ pendant le freinage : m·s⁻²
   $\Delta v=0-22=-22$ m·s⁻¹ : $\Delta \overrightarrow{v}$ est opposé au mouvement, de valeur 22 m·s⁻¹ ; ${\displaystyle \frac{22}{3,2}}=6,875$ m·s⁻².
2. Valeur de la somme des forces horizontales : N
   $\sum F\approx 1250\times 6,875=8593,75$ N, soit environ $8,6\times {10}^3$ N, opposée au mouvement.
3. Sur route sèche, les frottements pneus-route peuvent atteindre environ $0,80\times mg$. Valeur de ce maximum : N
   $0,80\times 1250\times 9,81=9810$ N : c’est plus que 8 594 N, le freinage est possible sans que les roues glissent.
4. Durée d’arrêt depuis 44 m·s⁻¹, avec la même somme des forces : s
   $\Delta t\approx {\displaystyle \frac{m\Delta v}{\sum F}}$ est proportionnelle à $\Delta v$ : $2\times 3,2=6,4$ s.
5. Distance d’arrêt depuis 44 m·s⁻¹ : m
   Freinage régulier : la vitesse moyenne vaut la moitié de la vitesse initiale. Depuis 22 m·s⁻¹ : $11\times 3,2=35,2$ m ; depuis 44 m·s⁻¹ : $22\times 6,4=140,8$ m. Vitesse doublée : durée doublée, distance multipliée par 4.

Une boule de pétanque de 0,72 kg est lancée. Une vidéo donne la position de son centre toutes les τ = 40 ms (axe x horizontal, axe y vertical vers le haut), en mètres : M₀ (0 ; 0), M₁ (0,160 ; 0,112), M₂ (0,320 ; 0,208), M₃ (0,480 ; 0,288), M₄ (0,640 ; 0,352). On prend ${\overrightarrow{v}}_i\approx {\displaystyle \frac{\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}}{2\tau }}$ ; $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Coordonnée $v_{1y}$ : m·s⁻¹
   $2\tau =0,080$ s ; $v_{1y}={\displaystyle \frac{0,208-0}{0,080}}=2,60$ m·s⁻¹, et $v_{1x}={\displaystyle \frac{0,320}{0,080}}=4,00$ m·s⁻¹.
2. Coordonnée $v_{3y}$ : m·s⁻¹
   $v_{3y}={\displaystyle \frac{0,352-0,208}{0,080}}=1,80$ m·s⁻¹, et $v_{3x}={\displaystyle \frac{0,640-0,320}{0,080}}=4,00$ m·s⁻¹.
3. Coordonnée $\Delta v_y$ de ${\overrightarrow{v}}_3-{\overrightarrow{v}}_1$ : m·s⁻¹
   $1,80-2,60=-0,80$ m·s⁻¹, et $\Delta v_x=0$ : $\Delta \overrightarrow{v}$ est vertical, vers le bas.
4. Valeur de $m{\displaystyle \frac{\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert }{\Delta t}}$ : N
   Les dates de ${\overrightarrow{v}}_1$ et de ${\overrightarrow{v}}_3$ sont séparées de $2\tau =0,080$ s : $0,72\times {\displaystyle \frac{0,80}{0,080}}=7,2$ N, vertical vers le bas.
5. Écart relatif avec le poids : %
   $P=0,72\times 9,81\approx 7,06$ N ; ${\displaystyle \frac{7,2-7,06}{7,06}}\approx 0,02$, soit 2 % : aux incertitudes de pointage près, la relation est vérifiée avec le poids seul ; l’action de l’air est négligeable.

Un échantillon de roche a une masse de 1,45 kg. On donne $g_{\text{Terre}}=9,81$ N·kg⁻¹ et $g_{\text{Lune}}=1,62$ N·kg⁻¹.

1. Poids de l’échantillon sur Terre : N
   $P_T=1,45\times 9,81\approx 14,2$ N.
2. Poids de l’échantillon sur la Lune : N
   $P_L=1,45\times 1,62=2,349$ N, soit environ 2,35 N.
3. Le poids de l’échantillon est divisé par quand on passe de la Terre à la Lune.
   ${\displaystyle \frac{g_{\text{Terre}}}{g_{\text{Lune}}}}={\displaystyle \frac{9,81}{1,62}}\approx 6,06$. La masse, elle, reste 1,45 kg : elle ne dépend pas du lieu. Dire « il pèse 1,45 kg » est incorrect, un poids s’exprime en newtons.
4. Posé sur la Lune sur une surface horizontale sans frottement, poussé horizontalement par une force de 2,9 N pendant 0,50 s, il acquiert une variation de vitesse de m·s⁻¹
   Poids et réaction se compensent : $\Delta v\approx {\displaystyle \frac{2,9\times 0,50}{1,45}}=1,0$ m·s⁻¹, exactement comme sur Terre. Seule la masse intervient : plus léger à soulever, pas plus facile à lancer.

Un voilier de 1 200 kg avance en ligne droite à 3,0 m·s⁻¹. Le vent exerce sur lui une force propulsive de 600 N et l’eau une résistance de 360 N, opposée au mouvement ; les forces verticales se compensent. On suppose ces forces constantes pendant 2,0 s.

1. Valeur de la somme des forces : N
   Selon le mouvement : $600-360=240$ N, dans le sens du mouvement.
2. Variation de vitesse en 2,0 s : m·s⁻¹
   $\Delta v\approx {\displaystyle \frac{240\times 2,0}{1200}}=0,40$ m·s⁻¹, dans le sens de la somme des forces.
3. Vitesse au bout de 2,0 s : m·s⁻¹
   $3,0+0,40=3,4$ m·s⁻¹ : le voilier accélère.
4. Même voilier chargé à 2 400 kg, mêmes forces : variation de vitesse en 2,0 s : m·s⁻¹
   Masse doublée, variation de vitesse divisée par 2 : ${\displaystyle \frac{240\times 2,0}{2400}}=0,20$ m·s⁻¹.

Un cycliste et son vélo, 70 kg au total, roulent en roue libre sur une route horizontale, à 10 m·s⁻¹. L’air exerce une force de frottement de valeur $f=0,28v^2$ (en N, avec $v$ en m·s⁻¹) ; les autres frottements sont négligés. On exécute le programme :

m = 70
k = 0.28
dt = 0.5
v = 10.0
for i in range(20):
    F = -k*v**2
    v = v + F/m*dt
    print(round((i+1)*dt, 1), round(v, 2))

1. Valeur prise par la variable F au premier tour : N
   $F=-0,28\times {10}^2=-28$ N : la somme des forces horizontales se réduit aux frottements de l’air, opposés au mouvement.
2. Vitesse affichée au premier tour : m·s⁻¹
   $\Delta v\approx {\displaystyle \frac{F}{m}}\Delta t={\displaystyle \frac{-28}{70}}\times 0,5=-0,20$ m·s⁻¹, donc $v=9,80$ m·s⁻¹.
3. Vitesse affichée au deuxième tour : m·s⁻¹
   $F=-0,28\times 9,{80}^2\approx -26,9$ N, donc $\Delta v\approx {\displaystyle \frac{-26,9}{70}}\times 0,5\approx -0,19$ m·s⁻¹ et $v\approx 9,61$ m·s⁻¹.
4. La vitesse diminue de moins en moins vite, car la valeur des frottements devient plus .
   La valeur des frottements est proportionnelle à $v^2$ : quand $v$ diminue, $f$ diminue, donc la variation de vitesse à chaque tour aussi.
5. Avec une masse de 140 kg, la variation de vitesse du premier tour vaudrait m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{-28}{140}}\times 0,5=-0,10$ m·s⁻¹ : mêmes forces, masse doublée, variation de vitesse divisée par 2.

Un aimant de 50 g, posé sur une table, attire sans le toucher un trombone suspendu à un fil, avec une force horizontale de 0,15 N.

1. La force exercée par le trombone sur l’aimant est dirigée vers le .
   Principe des actions réciproques, même à distance : ${\overrightarrow{F}}_{\text{trombone/aimant}}=-{\overrightarrow{F}}_{\text{aimant/trombone}}$, de même valeur, 0,15 N. La force sur le trombone est dirigée vers l’aimant, celle sur l’aimant vers le trombone.
2. Ces deux forces ne se compensent pas : elles s’exercent sur deux différents.
   L’une s’exerce sur le trombone, l’autre sur l’aimant : elles ne figurent jamais dans le même bilan.
3. Si l’aimant pouvait glisser sans frottement sur la table, sa variation de vitesse en 0,10 s vaudrait m·s⁻¹
   Sur l’aimant, poids et réaction de la table se compensent ; il reste la force du trombone, 0,15 N : $\Delta v\approx {\displaystyle \frac{0,15\times 0,10}{0,050}}=0,30$ m·s⁻¹, vers le trombone.

Une personne de 54 kg est debout, immobile, sur le sol. $g=9,81$ N·kg⁻¹ ; masse de la Terre $M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg.

1. Valeur de la force exercée par la Terre sur la personne : N
   C’est son poids : $P=54\times 9,81=529,74$ N, soit environ 530 N, vertical vers le bas.
2. La force exercée par la personne sur la Terre est dirigée vers le .
   Même droite d’action (la verticale), même valeur, 530 N, sens opposé : vers le haut, appliquée au centre de la Terre.
3. ${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}}$ que cette force donnerait à la Terre : × 10⁻²³ m·s⁻²
   ${\displaystyle \frac{530}{5,97\times {10}^{24}}}\approx 8,9\times {10}^{-23}$ m·s⁻² : indécelable. Même force, effet négligeable, car la masse de la Terre est immense.
4. Le rapport entre l’effet sur la personne et l’effet sur la Terre vaut ${\displaystyle \frac{M_T}{m}}$, soit environ 10 puissance
   ${\displaystyle \frac{5,97\times {10}^{24}}{54}}\approx 1,1\times {10}^{23}$ : quand la personne saute, elle et la Terre subissent des forces de même valeur, mais la Terre ne bouge pratiquement pas.

Deux chariots A (0,40 kg) et B (0,72 kg) sont immobiles sur un rail horizontal à coussin d’air. A porte un petit ressort comprimé, en contact avec B. On libère le ressort : la poussée dure 0,12 s et A part à 0,90 m·s⁻¹. Frottements négligés.

1. Valeur de la force moyenne exercée par B sur A : N
   Pour A, les forces verticales se compensent : $F\approx m_A{\displaystyle \frac{\Delta v_A}{\Delta t}}=0,40\times {\displaystyle \frac{0,90}{0,12}}=3,0$ N.
2. Vitesse acquise par le chariot B : m·s⁻¹
   A exerce sur B une force de 3,0 N, de sens opposé : $\Delta v_B\approx {\displaystyle \frac{3,0\times 0,12}{0,72}}=0,50$ m·s⁻¹ ; B partait du repos et s’éloigne en sens opposé à A.
3. Rapport ${\displaystyle \frac{v_A}{v_B}}$ :
   ${\displaystyle \frac{0,90}{0,50}}=1,8$, égal à ${\displaystyle \frac{m_B}{m_A}}={\displaystyle \frac{0,72}{0,40}}$ : le chariot le plus léger part le plus vite.
4. Produit $m_B\times v_B$ : kg·m·s⁻¹
   $0,72\times 0,50=0,36$, égal à $m_A{v}_A=0,40\times 0,90=0,36$ : c’est la relation $m_A\Delta v_A\approx m_B\Delta v_B$ du cours.