À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Statistiques : moyenne et écart-type » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Série statistique, effectifs et fréquences, La moyenne, Médiane et quartiles, Étendue : une première mesure de dispersion. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Série statistique, effectifs et fréquences
2 · La moyenne
3 · Médiane et quartiles
4 · Étendue : une première mesure de dispersion
5 · Variance et écart-type
6 · Interpréter et comparer des séries
1Série statistique, effectifs et fréquences
On étudie une série statistique : une liste de valeurs prises par un caractère sur un ensemble d'individus (notes d'une classe, tailles, températures…). Le nombre total d'individus est l'effectif total $N$.
Définitions. Quand une valeur $x_i$ apparaît plusieurs fois, on note $n_i$ son effectif (combien de fois elle apparaît). Sa fréquence est $$f_i = \frac{n_i}{N}$$ souvent donnée en pourcentage. La somme des effectifs vaut $N$ et la somme des fréquences vaut $1$ (soit $100\,\%$).
Exemple. Dans une classe de $25$ élèves, on relève les notes suivantes :
| Note $x_i$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ |
|---|
| Effectif $n_i$ | $3$ | $7$ | $9$ | $4$ | $2$ |
On a bien $3+7+9+4+2 = 25 = N$. La fréquence de la note $12$ est $f = \dfrac{9}{25} = 0{,}36$, soit $36\,\%$.
2La moyenne
Définition. La moyenne d'une série, notée $\bar{x}$ (« x barre »), s'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total $N$. Avec des effectifs : $$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N}$$ On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par $N$.
Exemple 1 (sans effectifs). Série $4,\ 7,\ 8,\ 11,\ 10$ ($N = 5$).
$\bar{x} = \dfrac{4+7+8+11+10}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$.
Exemple 2 (avec effectifs). Pour les notes du tableau précédent :
$\bar{x} = \dfrac{3 \times 8 + 7 \times 10 + 9 \times 12 + 4 \times 14 + 2 \times 16}{25} = \dfrac{24 + 70 + 108 + 56 + 32}{25} = \dfrac{290}{25} = 11{,}6$.
Astuce. La moyenne est le point d'« équilibre » de la série. Si on ajoute (ou retire) un même nombre à toutes les valeurs, la moyenne augmente (ou diminue) d'autant.
3Médiane et quartiles
Médiane. On range les valeurs par ordre croissant. La médiane $\text{Me}$ partage la série en deux groupes de même effectif :
• si $N$ est impair, c'est la valeur centrale (rang $\frac{N+1}{2}$) ;
• si $N$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
Quartiles. Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série triée telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_3$ correspond à au moins $75\,\%$ des valeurs. Entre $Q_1$ et $Q_3$ se trouvent donc environ $50\,\%$ des données.
Attention ! Il faut toujours trier les valeurs avant de chercher la médiane ou les quartiles. C'est l'erreur la plus fréquente.
Exemple. Série triée ($N = 8$) : $6,\ 9,\ 11,\ 12,\ 14,\ 15,\ 18,\ 20$.
Médiane : $N$ pair, valeurs centrales (rangs $4$ et $5$) : $\text{Me} = \dfrac{12 + 14}{2} = 13$.
$Q_1$ : $\frac{N}{4} = 2$, on prend la $2^{\text{e}}$ valeur $\Rightarrow Q_1 = 9$.
$Q_3$ : $\frac{3N}{4} = 6$, on prend la $6^{\text{e}}$ valeur $\Rightarrow Q_3 = 15$.
Astuce. Règle de calcul des rangs : pour $Q_1$, on calcule $\frac{N}{4}$ ; pour $Q_3$, on calcule $\frac{3N}{4}$. Si le résultat n'est pas entier, on arrondit au rang entier supérieur.
4Étendue : une première mesure de dispersion
Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : l'une regroupée, l'autre étalée. Pour décrire cet « étalement », on a besoin d'indicateurs de dispersion. Le plus simple est l'étendue.
Étendue. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $$e = x_{\max} - x_{\min}$$
Exemple. Série $5,\ 7,\ 7,\ 9,\ 12$ : $e = 12 - 5 = 7$.
Attention ! L'étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes : elle est très sensible aux valeurs aberrantes. Une seule valeur très grande peut la faire exploser sans que la série soit réellement dispersée. C'est pourquoi on lui préfère souvent l'écart-type.
5Variance et écart-type
Pour mesurer finement la dispersion autour de la moyenne, on regarde l'écart de chaque valeur à $\bar{x}$. Comme ces écarts peuvent être positifs ou négatifs, on les met au carré.
Variance. La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $$V = \frac{n_1 (x_1 - \bar{x})^2 + \dots + n_p (x_p - \bar{x})^2}{N}$$ Écart-type. L'écart-type est $\sigma = \sqrt{V}$. Il s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend facile à interpréter.
Exemple. Série $5,\ 7,\ 7,\ 9,\ 12$ ($N = 5$).
Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{5+7+7+9+12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$.
Carrés des écarts : $(5-8)^2 = 9$ ; $(7-8)^2 = 1$ ; $(7-8)^2 = 1$ ; $(9-8)^2 = 1$ ; $(12-8)^2 = 16$.
Variance : $V = \dfrac{9+1+1+1+16}{5} = \dfrac{28}{5} = 5{,}6$.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{5{,}6} \approx 2{,}37$.
Astuce calculatrice. En 1re, on calcule $\bar{x}$ et $\sigma$ directement à la calculatrice (menu Statistiques, touche $\sigma_x$). On réserve le calcul « à la main » aux petites séries pour bien comprendre la formule.
Attention ! L'écart-type est toujours positif ou nul : c'est une racine carrée. Il vaut $0$ uniquement si toutes les valeurs sont identiques (aucune dispersion).
6Interpréter et comparer des séries
Pour décrire une série, on associe toujours un indicateur de position (moyenne ou médiane) à un indicateur de dispersion (étendue, écart-type ou intervalle interquartile).
Lecture de l'écart-type.
• Petit $\sigma$ $\Rightarrow$ valeurs regroupées près de la moyenne : série homogène.
• Grand $\sigma$ $\Rightarrow$ valeurs étalées : série hétérogène.
Exemple. Deux classes passent le même test sur $20$ :
Classe A : $\bar{x}_A = 12{,}5$ et $\sigma_A = 1{,}4$.
Classe B : $\bar{x}_B = 12{,}5$ et $\sigma_B = 3{,}2$.
Conclusion : même moyenne, mais la classe A est plus homogène (écart-type plus faible) ; les notes de la classe B sont plus dispersées.
Astuce. Pour comparer deux séries, on compare d'abord les moyennes (qui est « au-dessus » ?), puis les écarts-types (qui est « plus régulière » ?). Une comparaison portant seulement sur la moyenne est trompeuse.
★À retenir
À retenir — Moyenne et écart-type :
• Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{N}$ (avec effectifs : somme des $n_i x_i$ divisée par $N$).
• Médiane : valeur centrale de la série triée ; $50\,\%$ des données en dessous. Quartiles $Q_1$ ($25\,\%$) et $Q_3$ ($75\,\%$).
• Étendue $e = x_{\max} - x_{\min}$ : simple mais sensible aux valeurs extrêmes.
• Variance $V = $ moyenne des $(x_i - \bar{x})^2$ ; écart-type $\sigma = \sqrt{V}$ (même unité que les données).
• Petit $\sigma$ = série homogène, grand $\sigma$ = série dispersée.
• Toujours associer un indicateur de position et un indicateur de dispersion.