Automatismes : fonctions et lectures graphiques

1. a)$5x-2x=7+8$, soit $3x=15$, donc $x=5$. Contrôle : $5\times 5-8=2\times 5+7$. (1)
2. b)$-4x>12$ ; on divise par $-4$, négatif, donc le sens change : $x<-3$. $S=]-\infty ;-3[$. (1)
3. c)$2,25>0$ et $1,5^2=2,25$ : deux solutions, $x=-1,5$ ou $x=1,5$. (1)
4. d)Produit nul : $2x-3=0$ ou $x+6=0$, soit $x=1,5$ ou $x=-6$. (1)
5. e)$m={\displaystyle \frac{-5-3}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2$. (1)
6. f)$y=-3\times (-2)+5=6+5=11$ : le point est $(-2;11)$. (1)

Repère — Diviser par un négatif change le sens ; x² = c (c > 0) a deux solutions ; un produit nul se résout facteur par facteur.

1. a)$f(3)=3$. La droite $y=-1$ coupe la courbe aux points d’abscisses $-1$, $1$ et $6$ : les antécédents de $-1$ sont $-1$, $1$ et $6$. (1)
2. b)La courbe est sur ou au-dessus de la droite $y=-1$ pour $x\in [-2;-1]$ et pour $x\in [1;6]$ : $S=[-2;-1]\cup [1;6]$. (1)
3. c)D’après la courbe :

   $x$	$-2$		$0$		$3$		$6$
   $f(x)$	$2$	↘	$-2$	↗	$3$	↘	$-1$

   (1)
4. d)$1$ est compris entre $2$ et $-2$ (une solution sur $[-2;0]$), entre $-2$ et $3$ (une solution sur $[0;3]$), entre $3$ et $-1$ (une solution sur $[3;6]$) : l’équation $f(x)=1$ a trois solutions. (1)

Méthode — Les solutions se lisent sur l’axe des abscisses ; le tableau de variations donne leur nombre.

1. a)$3x+4,5=0$ donne $x=-1,5$ ; $6-5x=0$ donne $x={\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$. $S=\{-1,5;1,2\}$. (1)
2. b)$3x+4,5$ est négatif avant $-1,5$ et positif après ; $6-5x$ est positif avant $1,2$ et négatif après.

   $x$	$-\infty$		$-1,5$		$1,2$		$+\infty$
   $3x+4,5$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $6-5x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $P(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

   (1)
3. c)D’après le tableau, $S=]-1,5;1,2[$. (1)
4. d)Forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=2>0$ et les racines $-1$ et $3$ : l’expression est négative entre les racines et nulle en ces valeurs. $S=[-1;3]$. (1)

Piège — Dans 6 − 5x, le coefficient de x est négatif : le facteur est positif avant sa racine.

1. a)$D$ coupe l’axe des ordonnées en $(0;1)$ : $p=1$. En partant de ce point, on avance de $2$ et on monte de $1$ jusqu’en $(2;2)$ : $m={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$. Équation : $y=0,5x+1$. (1)
2. b)Le coefficient directeur $0,5$ est strictement positif : la fonction $x\mapsto 0,5x+1$ est croissante sur $ℝ$. (1)
3. c)$m={\displaystyle \frac{-2-4}{4-1}}={\displaystyle \frac{-6}{3}}=-2$. (1)
4. d)$p=4-(-2)\times 1=6$, donc $\Delta :y=-2x+6$. Contrôle avec $F$ : $-2\times 4+6=-2$. (1)
5. e)On place $G(0;-2)$, puis on avance de $1$ et on monte de $3$ : on obtient le point $(1;1)$. La droite $\Delta ’$ passe par ces deux points ; son équation est $y=3x-2$. (1)
6. f)On résout $0,5x+1=-2x+6$ : $0,5x+2x=6-1$, soit $2,5x=5$, donc $x=2$, et $y=0,5\times 2+1=2$. Les droites $D$ et $\Delta$ se coupent au point $(2;2)$ (contrôle avec $\Delta$ : $y=-2\times 2+6=2$). (1)

Méthode — p = y_A − m × x_A, puis un contrôle avec le second point.