Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Fonctions de référence et variations
Fonctions affine, carré, inverse et racine — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations
/ 4 pts- Une droite passe par les points $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,10)$.
- a. Calculer le coefficient directeur $a$ de cette droite.
- b. En déduire l'ordonnée à l'origine $b$ et l'équation $y = ax + b$.
- c. La droite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
- d. Calculer l'antécédent de $16$ par la fonction affine correspondante.
Exercice 2 — Fonction carré — Variations et (in)équations
/ 5 pts- On considère $f(x) = x^2$.
- a. Donner le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (avec le minimum).
- b. Comparer $f(-5)$ et $f(4)$ en justifiant.
- c. Résoudre $f(x) = 49$.
- d. Résoudre $f(x) \le 36$ et donner l'ensemble solution.
Exercice 3 — Fonction inverse — Domaine et variations
/ 4 pts- On considère $g(x) = \dfrac{1}{x}$.
- a. Donner l'ensemble de définition de $g$.
- b. Donner le sens de variation de $g$ sur chacun de ses intervalles.
- c. Comparer $g\!\left(\frac{1}{4}\right)$ et $g(3)$ sans calculatrice, en justifiant.
- d. Résoudre $g(x) = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 4 — Fonction racine et lecture graphique
/ 4 pts- On considère $h(x) = \sqrt{x}$.
- a. Donner l'ensemble de définition et le sens de variation de $h$.
- b. Calculer $h(0)$, $h(16)$ et $h(81)$.
- c. Comparer $\sqrt{20}$ et $\sqrt{30}$ sans calculatrice.
- d. Résoudre $\sqrt{x} = 9$.
Exercice 5 — Problème de modélisation
/ 3 pts- Une coopérative fixe le prix de vente $p$ (en €) d'un article selon le nombre $n$ produit par $p(n) = \dfrac{72}{n}$ (avec $n \gt 0$).
- a. Calculer le prix pour $n = 6$ articles.
- b. Pour combien d'articles le prix est-il de $4$ € ?
- c. Le prix $p$ est-il croissant ou décroissant en fonction de $n$ ? Interpréter.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations
a. $a = \dfrac{10-4}{3-1} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}$.
b. $b = 4 - 3\times 1 = 1$. Équation : $\mathbf{y = 3x + 1}$.
c. $a = 3 \gt 0$, donc la droite est croissante.
d. $3x + 1 = 16 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow \mathbf{x = 5}$.
Exercice 2 — Fonction carré — Variations et (in)équations
a. $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ puis croissante sur $[0;+\infty[$ ; minimum $0$ en $x=0$.
b. $f(-5) = 25$ et $f(4) = 16$, donc $\mathbf{f(-5) \gt f(4)}$ (les deux sont de part et d'autre de $0$ et $|-5| \gt 4$).
c. $x^2 = 49 \Rightarrow x = 7$ ou $x = -7$ : $\mathbf{\{-7\,;\,7\}}$.
d. $x^2 \le 36 \Leftrightarrow -6 \le x \le 6$ : ensemble solution $\mathbf{[-6\,;\,6]}$.
Exercice 3 — Fonction inverse — Domaine et variations
a. $D_g = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
b. $g$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et décroissante sur $]0;+\infty[$.
c. Sur $]0;+\infty[$, $g$ est décroissante et $\frac{1}{4} \lt 3$, donc $\mathbf{g\!\left(\frac{1}{4}\right) \gt g(3)}$ (en effet $g(\frac14)=4$ et $g(3)=\frac13$).
d. $\frac{1}{x} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = -2}$.
Exercice 4 — Fonction racine et lecture graphique
a. $D_h = [0;+\infty[$ ; $h$ est croissante sur ce domaine.
b. $h(0) = 0$, $h(16) = 4$, $h(81) = 9$.
c. $h$ croissante et $20 \lt 30$, donc $\mathbf{\sqrt{20} \lt \sqrt{30}}$.
d. $\sqrt{x} = 9 \Rightarrow \mathbf{x = 81}$.
Exercice 5 — Problème de modélisation
a. $p(6) = \dfrac{72}{6} = \mathbf{12}$ €.
b. $\dfrac{72}{n} = 4 \Rightarrow n = \dfrac{72}{4} = \mathbf{18}$ articles.
c. $p(n) = \dfrac{72}{n}$ est de la forme $\dfrac{k}{n}$ avec $k = 72 \gt 0$ : c'est une fonction décroissante sur $]0;+\infty[$. Plus on produit d'articles, moins chaque article est cher (économie d'échelle).
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonctions de référence et variations » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations/ 4 pts
- Exercice 2 — Fonction carré — Variations et (in)équations/ 5 pts
- Exercice 3 — Fonction inverse — Domaine et variations/ 4 pts
- Exercice 4 — Fonction racine et lecture graphique/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de modélisation/ 3 pts
Notions évaluées
Sens de variation et extremums, La fonction affine $f(x)=ax+b$, La fonction carré $f(x)=x^2$, La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$, La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$, Lecture graphique : images et antécédents.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions de référence et variations » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonctions de référence et variations » du programme officiel de mathématiques en première, soit Sens de variation et extremums, La fonction affine $f(x)=ax+b$, La fonction carré $f(x)=x^2$, La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$.
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