À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Fonctions de référence et variations » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Sens de variation et extremums, La fonction affine $f(x)=ax+b$, La fonction carré $f(x)=x^2$, La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Sens de variation et extremums
2 · La fonction affine $f(x)=ax+b$
3 · La fonction carré $f(x)=x^2$
4 · La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$
5 · La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$
6 · Lecture graphique : images et antécédents
7 · Résoudre graphiquement une (in)équation
1Sens de variation et extremums
Étudier une fonction, c'est d'abord décrire comment ses valeurs $f(x)$ évoluent quand $x$ augmente. On parle de sens de variation.
Définition. Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle.
• $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ avec $a < b$, on a $f(a) \le f(b)$ (la courbe monte).
• $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$, on a $f(a) \ge f(b)$ (la courbe descend).
On résume ces informations dans un tableau de variations, où une flèche $\nearrow$ indique « croissante » et $\searrow$ « décroissante ».
Extremums. Sur un intervalle $I$ :
• le maximum de $f$ est la plus grande valeur atteinte par $f(x)$ ;
• le minimum est la plus petite valeur atteinte.
Exemple. Si $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ puis croissante sur $[2\,;\,+\infty[$, alors $f$ admet un minimum en $x=2$. Sa courbe forme un creux à cet endroit.
Astuce. Pour retenir le sens : on lit toujours le tableau de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens des $x$ croissants.
2La fonction affine $f(x)=ax+b$
Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des réels.
• $a$ est le coefficient directeur (la pente) ;
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur en $x=0$).
Sa courbe est une droite, et elle est définie sur $\mathbb{R}$.
Variations.
• Si $a > 0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a < 0$ : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a = 0$ : $f$ est constante (droite horizontale).
Exemple. Pour $f(x) = 2x - 1$ : $a = 2 > 0$, donc $f$ est croissante. La droite passe par $(0\,;\,-1)$ et $(1\,;\,1)$.
Méthode — Trouver $a$ et $b$ avec deux points. Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ avec $x_A \ne x_B$ : $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{puis} \qquad b = y_A - a\,x_A$$
3La fonction carré $f(x)=x^2$
Définition. La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Son image est toujours positive ou nulle : $x^2 \ge 0$.
Variations. La fonction carré est :
• décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ ;
• croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
Elle admet un minimum égal à $0$ en $x=0$.
Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ |
|---|
| $f(x)=x^2$ | | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | |
Symétrie. Comme $(-x)^2 = x^2$, on a $f(-x) = f(x)$ : la courbe (appelée parabole) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Attention ! Deux nombres opposés ont la même image : $f(-3) = f(3) = 9$. Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$, ne pas oublier de regarder de quel côté de $0$ se trouve chaque nombre.
4La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$
Définition. La fonction inverse est définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tous les réels sauf $0$, car on ne divise pas par $0$).
Variations. La fonction inverse est :
• décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ ;
• décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Elle n'a ni minimum, ni maximum.
Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ |
|---|
| $\dfrac{1}{x}$ | | $\searrow$ | $\|$ | $\searrow$ | |
Symétrie. Comme $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$, on a $f(-x) = -f(x)$ : la courbe (appelée hyperbole) est symétrique par rapport à l'origine $O$.
Attention ! $f$ est décroissante sur chacun des deux intervalles, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ entier : on ne peut pas comparer $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ avec un seul tableau. Il faut calculer.
5La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$
Définition. La fonction racine carrée est définie par $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ (on ne prend pas la racine d'un nombre négatif).
Variations. La fonction racine carrée est croissante sur tout son domaine $[0\,;\,+\infty[$. Son minimum est $0$, atteint en $x=0$.
Tableau de variations :
| $x$ | $0$ | | $+\infty$ |
|---|
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $0$ | $\nearrow$ | |
Quelques valeurs. $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$. La courbe monte mais de moins en moins vite.
Astuce. Pour $x \ge 0$ : si $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. La racine carrée « conserve l'ordre ». Exemple : $\sqrt{5} < \sqrt{8}$ car $5 < 8$.
6Lecture graphique : images et antécédents
La courbe d'une fonction permet de lire directement des informations.
Image de $a$. On part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : c'est $f(a)$.
Antécédents de $k$. On trace la droite horizontale $y = k$ ; les abscisses des points d'intersection avec la courbe sont les antécédents de $k$.
Exemple avec $f(x)=x^2$.
• Image de $-2$ : $f(-2) = 4$.
• Antécédents de $9$ : on résout $x^2 = 9$, donc $x = 3$ ou $x = -3$ → deux antécédents.
• Antécédents de $-1$ : $x^2 = -1$ est impossible → aucun antécédent (car $x^2 \ge 0$).
| Fonction | Domaine | Courbe | Variations |
|---|
| $f(x)=ax+b$ | $\mathbb{R}$ | Droite | Croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$ |
| $f(x)=x^2$ | $\mathbb{R}$ | Parabole | $\searrow$ sur $]-\infty;0]$, $\nearrow$ sur $[0;+\infty[$ |
| $f(x)=\frac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ | Hyperbole | $\searrow$ sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $[0;+\infty[$ | Demi-courbe | $\nearrow$ sur $[0;+\infty[$ |
7Résoudre graphiquement une (in)équation
Résoudre $f(x)=k$. On trace la droite $y=k$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe de $f$.
Résoudre $f(x) \le k$ (ou $\ge k$). On repère les portions de courbe situées sous (ou au-dessus de) la droite $y=k$, et on lit l'intervalle des abscisses correspondant.
Exemple 1. Résoudre $x^2 = 4$. La droite $y=4$ coupe la parabole en $x=-2$ et $x=2$ : solutions $\{-2\,;\,2\}$.
Exemple 2. Résoudre $x^2 \le 4$. La parabole est sous la droite $y=4$ pour $x$ compris entre $-2$ et $2$ : solution $[-2\,;\,2]$.
Exemple 3. Résoudre $\dfrac{1}{x}=2$. On obtient $x = \dfrac{1}{2}$.
Attention ! Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée. Pour une valeur exacte, on revient à l'expression de la fonction et on résout par le calcul.
★À retenir
En bref :
• Affine $f(x)=ax+b$ : droite sur $\mathbb{R}$, croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$.
• Carré $f(x)=x^2$ : parabole sur $\mathbb{R}$, $\searrow$ sur $]-\infty;0]$ puis $\nearrow$ sur $[0;+\infty[$, minimum $0$ en $0$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
• Inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ : hyperbole sur $\mathbb{R}^*$, décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, symétrie par rapport à $O$.
• Racine $f(x)=\sqrt{x}$ : définie sur $[0;+\infty[$, croissante, minimum $0$ en $0$.
• Lecture graphique : image $\to$ abscisse vers la courbe puis ordonnée ; antécédents de $k$ $\to$ intersections avec $y=k$.
• Résoudre $f(x)=k$ : intersections avec $y=k$ ; $f(x)\le k$ : portions sous la droite.