Automatismes : fonctions et lectures graphiques

Équation du premier degré. Pour résoudre $ax+b=cx+d$, on regroupe les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, puis on divise par le coefficient de $x$. On a le droit d’ajouter ou de soustraire un même nombre aux deux membres, et de les multiplier ou de les diviser par un même nombre non nul.

Inéquation du premier degré. Mêmes règles, avec une exception : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité. Les solutions forment un intervalle.

Équations $x^2=a$ et ${\displaystyle \frac{a}{x}}=b$. Si $a>0$, l’équation $x^2=a$ a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ; si $a=0$, une seule, $0$ ; si $a<0$, aucune, car un carré n’est jamais négatif. Pour $b\ne 0$, l’équation ${\displaystyle \frac{a}{x}}=b$ (avec $x\ne 0$) équivaut à $x={\displaystyle \frac{a}{b}}$.

Équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$.

Signe de $ax+b$ (avec $a\ne 0$). L’expression s’annule en $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ ; elle a le signe de $a$ à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

Courbe représentative. La courbe $C_f$ d’une fonction $f$ est formée des points $M(x;f(x))$ : l’abscisse est le nombre de départ, l’ordonnée est son image.

Image et antécédents. L’image de $a$ se lit sur l’axe des ordonnées : c’est l’ordonnée du point de $C_f$ d’abscisse $a$ ; un nombre a une seule image. Les antécédents de $b$ se lisent sur l’axe des abscisses : ce sont les abscisses des points de $C_f$ d’ordonnée $b$ ; il peut y en avoir aucun, un ou plusieurs.

Équation de courbe. Le point $A(a;b)$ est sur la courbe d’équation $y=f(x)$ si et seulement si $f(a)=b$ : on remplace $x$ par $a$ et on compare le résultat à $b$.

Signe d’une fonction. $f(x)>0$ là où $C_f$ est au-dessus de l’axe des abscisses, $f(x)<0$ là où elle est au-dessous, $f(x)=0$ aux points où elle coupe (ou touche) cet axe. On résume ces lectures dans un tableau de signes.

Variations. $f$ est croissante sur un intervalle où sa courbe monte (de gauche à droite), décroissante là où elle descend. Autrement dit, $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a<b$ de $I$, $f(a)⩽f(b)$ : elle conserve l’ordre ; elle est décroissante si, pour tous $a<b$ de $I$, $f(a)⩾f(b)$ : elle inverse l’ordre. Le tableau de variations porte sur la 1^re ligne les bornes et les abscisses où le sens change, et sur la 2^e une flèche par intervalle avec les images au bout des flèches. Le maximum (le minimum) de $f$ est la plus grande (la plus petite) ordonnée des points de la courbe.

Fonction affine. Une fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels, est affine ; si $p=0$, elle est linéaire ($f(x)=mx$) ; si $m=0$, elle est constante. Sa courbe est une droite, d’équation $y=mx+p$. Une expression comme $3x^2+1$ ou ${\displaystyle \frac{2}{x}}$ n’est pas affine : sa courbe n’est pas une droite.

Ordonnée à l’origine. $f(0)=p$ : la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0;p)$.

Coefficient directeur. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ varie de $m$. Pour deux points $A$ et $B$ de la droite, avec $x_A\ne x_B$ : $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$ (variation des ordonnées divisée par variation des abscisses).

Sens de variation. Si $m>0$, $f$ est croissante sur $ℝ$ ; si $m<0$, elle est décroissante sur $ℝ$ ; si $m=0$, elle est constante.

Point d’une droite. Le point $A(a;b)$ est sur la droite d’équation $y=mx+p$ si et seulement si $b=ma+p$.

Équation $f(x)=k$. Ses solutions sont les abscisses des points d’intersection de la courbe $C_f$ et de la droite horizontale d’équation $y=k$.

Inéquation $f(x)<k$ (ou $f(x)>k$). Ses solutions sont les abscisses des points de $C_f$ situés strictement au-dessous (ou au-dessus) de la droite $y=k$. Avec $⩽$ ou $⩾$, on ajoute les abscisses des points d’intersection : crochets fermés.

Deux courbes. Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $C_f$ et de $C_g$ ; celles de $f(x)<g(x)$ sont les abscisses des points où $C_f$ est au-dessous de $C_g$.

Avec un tableau de variations. Sur chaque flèche, $f$ est strictement monotone et sa courbe se trace d’un seul trait. Si $k$ est strictement compris entre les nombres écrits aux deux bouts d’une flèche, l’équation $f(x)=k$ a exactement une solution sur cet intervalle ; si $k$ est en dehors, aucune ; si $k$ est l’un de ces nombres, il est atteint en une valeur de la 1^re ligne. Le tableau permet aussi d’encadrer $f(x)$ entre son minimum et son maximum.

Avec la fonction carré. Pour $c>0$, la parabole d’équation $y=x^2$ est au-dessous de la droite $y=c$ exactement entre ses deux points d’intersection : $x^2⩽c$ équivaut à $-\sqrt{c}⩽x⩽\sqrt{c}$, et $x^2⩾c$ équivaut à $x⩽-\sqrt{c}$ ou $x⩾\sqrt{c}$.

Règle des signes. Un produit de nombres non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair ; il est nul dès que l’un des facteurs est nul.

Tableau de signes d’un produit. 1. Chercher la valeur qui annule chaque facteur. 2. Ranger ces valeurs dans l’ordre croissant sur la ligne des $x$. 3. Remplir une ligne par facteur (le facteur $ax+b$ a le signe de $a$ à droite de sa racine). 4. Dernière ligne : règle des signes, colonne par colonne, et un $0$ sous chaque valeur qui annule un facteur.

Expression factorisée du second degré. Pour $a\ne 0$ et $x_1<x_2$, l’expression $a(x-x_1)(x-x_2)$ a le signe de $a$ à l’extérieur des racines $x_1$ et $x_2$, et le signe contraire entre elles : entre les racines, un seul des deux facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ est négatif.

Inéquation produit. On compare à $0$, on factorise si besoin, on dresse le tableau de signes et on lit les intervalles du bon signe ; les valeurs qui annulent le produit sont incluses si l’inégalité est large.

Équation réduite. Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une unique équation de la forme $y=mx+p$ : c’est la courbe de la fonction affine $x\mapsto mx+p$. Une droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation $y=p$ (alors $m=0$). Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation $x=c$ : elle n’a pas de coefficient directeur.

Lire l’équation réduite. $p$ est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Pour $m$, on part d’un point de la droite, on avance de $1$ (ou de $n$ unités) vers la droite et on compte de combien on monte ou on descend pour revenir sur la droite : $m={\displaystyle \frac{\text{déplacement vertical}}{\text{déplacement horizontal}}}$, négatif si la droite descend.

Tracer une droite. Donnée par $y=mx+p$ : on place le point $(0;p)$, puis on avance de $1$ et on monte de $m$ (ou on avance de $n$ et on monte de $n\times m$). Donnée par un point $A$ et son coefficient directeur $m$ : on place $A$, puis on avance de $1$ et on monte de $m$. Deux points suffisent pour tracer.

Calculer l’équation. Avec un point $A$ et $m$ : $p=y_A-m{x}_A$. Avec deux points $A$ et $B$ : on calcule d’abord $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$, puis $p$ avec l’un des deux points.