Énergie mécanique : conservation et dissipation

1. a)$E_c=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 0,140\times (11,0{)}^2$ = 8,47 J. (1)
2. b)Au sommet la vitesse est nulle : $E_{pp}=mgh=0,140\times 9,81\times 5,60$ = 7,69 J. (1)
3. c)$\Delta E_m=W(\overrightarrow{f})$ = 7,69 − 8,47 = −0,78 J : l'air a dissipé 0,78 J, soit 9,2 % de l'énergie initiale. (1)
4. d)Conservation de $E_m$ : $h=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{121}{19,62}$ = 6,17 m, soit 57 cm de plus que la hauteur réelle. (1)

Erreur fréquente — Au sommet, la vitesse est nulle mais l'énergie mécanique ne l'est pas : elle est entièrement potentielle.

1. a)$T_0=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0,180}{45}}=2\pi \sqrt{4,00\times {10}^{-3}}$ = 0,397 s. (1)
2. b)Au lâcher $v=0$ : $E_m=\frac{1}{2}k{X}_m^2=\frac{1}{2}\times 45\times (7,0\times {10}^{-2}{)}^2$ = 0,110 J, valeur constante. (1)
3. c)Au passage par l'équilibre, $E_m=\frac{1}{2}m{v}_{max}^2$ : $v_{max}=\sqrt{\frac{2\times 0,1103}{0,180}}$ = 1,11 m·s⁻¹. (1)
4. d)$v$$=\sqrt{\frac{k}{m}(X_m^2-x^2)}$$=\sqrt{250\times (4,9-2,5)\times {10}^{-3}}$$=\sqrt{0,600}$ = 0,775 m·s⁻¹. (1)

Le point clé — Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve : elle se calcule une fois pour toutes à la position la plus commode.

1. a)$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0,45}{9,81}}=2\pi \sqrt{4,587\times {10}^{-2}}$ = 1,35 s. (1)
2. b)$h=\ell (1-\cos {\theta }_m)=0,45\times 0,0341$ = 1,533×10⁻² m, donc $E_m=mgh=0,38\times 9,81\times 1,533\times {10}^{-2}$ = 5,72×10⁻² J. (1)
3. c)$E_m^{\prime }$$=mg\ell (1-\cos 9,0^{\circ })$$=0,38\times 9,81\times 0,45\times 1,231\times {10}^{-2}$ = 2,07×10⁻² J ; dissipée : 5,72 − 2,07 = 3,65×10⁻² J, soit 64 % de l'énergie initiale. (1)
4. d)Oui : l'amortissement est faible (l'amplitude reste du même ordre), donc la pseudo-période reste proche de $T_0$. La mesure donne $T$ = 13,5/10 = 1,35 s, en accord avec 1,35 s. (1)

Attention — L'amplitude peut chuter fortement sans que la pseudo-période change de façon mesurable.

1. a)Les élongations extrêmes décroissent en valeur absolue, donc $E_m=\frac{1}{2}k{X}^2$ décroît : l'énergie est dissipée par les frottements. Le parcours est horaire, car dans la partie haute du portrait la vitesse est positive, donc la position augmente. (1)
2. b)$k$$=\frac{4{\pi }^{2}m}{T^2}$$=\frac{4{\pi }^2\times 0,55}{(0,85{)}^2}$$=\frac{21,71}{0,7225}$ = 30,0 N·m⁻¹. (1)
3. c)$E_{m1}=\frac{1}{2}\times 30,0\times (9,0\times {10}^{-2}{)}^2$ = 0,122 J ; $E_{m4}=\frac{1}{2}\times 30,0\times (5,0\times {10}^{-2}{)}^2$ = 3,75×10⁻² J. (1)
4. d)Fraction dissipée : $1-\frac{3,75\times {10}^{-2}}{0,1215}$ = 0,69, soit 69 %. Deux passages consécutifs sont séparés d'une demi-pseudo-période, donc du passage 1 au passage 4 il s'écoule 1,5 T = 1,3 s. (1)

Repère — Sur un portrait de phase, deux élongations extrêmes consécutives sont séparées d'une demi-pseudo-période, pas d'une pseudo-période.

1. a)$E_c(A)=\frac{1}{2}m{v}_A^2=\frac{1}{2}\times 0,72\times (6,0{)}^2$ = 13,0 J. (1)
2. b)$E_c(B)=E_c(A)-mgh+W(\overrightarrow{f})$ = 12,96 − 0,72×9,81×1,50 − 1,20 = 12,96 − 10,59 − 1,20 = 1,17 J, donc $v_B=\sqrt{\frac{2\times 1,165}{0,72}}$ = 1,8 m·s⁻¹. (1)
3. c)Il faut $E_c(B)=0$ : $\frac{1}{2}m{v}^2$ = 10,59 + 1,20 = 11,79 J, donc $v=\sqrt{\frac{2\times 11,79}{0,72}}=\sqrt{32,8}$ = 5,7 m·s⁻¹. (1)
4. d)Cette relation découle de la conservation de l'énergie mécanique : elle néglige le travail des frottements, pourtant donné (−1,20 J). Il faut écrire $\Delta E_m=W(\overrightarrow{f})$, ce qui donne 1,8 m·s⁻¹ et non 2,6 m·s⁻¹ : l'élève surestime la vitesse de 44 %. (1)

À retenir — Dès qu'une énergie dissipée est donnée dans l'énoncé, la conservation de l'énergie mécanique est interdite.