Limites de fonctions

Exercice 1 — Limites en ±∞ et en un point
Corrigé :
1. Terme dominant $2x^3 \to +\infty$. Limite : $+\infty$.
2. Terme dominant $3x^4 \to +\infty$ (degré pair). Limite : $+\infty$.
3. $x^2 \to 0^+$ donc $\frac{1}{x^2} \to +\infty$. Limite : $+\infty$.
4. $3-x \to 0^+$ et $2 > 0$, donc $\frac{2}{3-x} \to +\infty$. Limite : $+\infty$.

Exercice 2 — Lever des formes indéterminées
Corrigé :
1. FI $\frac{0}{0}$. On factorise : $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, donc $\frac{x^2-9}{x-3} = x+3 \to 6$. Limite : 6. (2 pts)
2. FI $\frac{\infty}{\infty}$. On divise par $x^2$ : $\frac{3+2/x-1/x^2}{1-5/x^2} \to \frac{3}{1} = 3$. Limite : 3. (2 pts)
3. FI $\infty - \infty$. Conjugué : $\sqrt{x^2+3x}-x = \frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1} \to \frac{3}{2}$. Limite : $\frac{3}{2}$. (2 pts)

Exercice 3 — Asymptotes d'une fonction rationnelle
Corrigé :
a) Racines de $x^2-x-2$ : $x = 2$ et $x = -1$. Donc $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. (1 pt)
b) $f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1$ pour $x \neq 2$. $\lim_{x\to 2} f(x) = 3$ (limite finie). La droite $x=2$ n'est pas une AV : c'est un trou dans la courbe (point exclu). (2 pts)
c) $f(x) = x+1 \to +\infty$ en $+\infty$. Pas d'asymptote horizontale. La droite $y = x+1$ est une asymptote oblique (en fait $f(x) = x+1$ exactement pour $x \neq 2$). (2 pts)

Exercice 4 — Théorèmes de comparaison et croissances comparées
Corrigé :
1. On sait $-1 \leq \cos x \leq 1$, donc $\frac{2}{x^2} \leq \frac{3+\cos x}{x^2} \leq \frac{4}{x^2}$. Or $\frac{2}{x^2} \to 0$ et $\frac{4}{x^2} \to 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to+\infty} \frac{3+\cos x}{x^2} = 0$. (2 pts)
2. Par croissances comparées, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0$. Avec $n = 4$ : $\lim_{x\to+\infty} x^4 e^{-x} = 0$. (2 pts)
3. $g(x) \to 0$ par valeurs positives ($g(x) > 0$). La fonction est décroissante pour $x$ grand (elle tend vers 0 en restant positive). (1 pt)