Nombres complexes et transformations du plan

Exercice 1 — Translations et rotations
Corrigé :
1. $z_B-z_A=(-1+i)-(2+3i)=-3-2i$. Distance : $AB=|-3-2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.
2. $a=e^{i\pi/2}=i$. $b=z_\Omega(1-a)=1\cdot(1-i)=1-i$. Donc $r:z'=iz+(1-i)$.
3. $z_{A'}=i(2+3i)+(1-i)=2i+3i^2+1-i=2i-3+1-i=i-2=-2+i$. L'image de $A$ est le point $(-2,1)$.

Exercice 2 — Homothétie et similitude
Corrigé :
1. $a=2$ (réel). $b=z_\Omega(1-2)=-(1+i)=-1-i$. Donc $h:z'=2z-1-i$.
2. $z_{B'}=2(-1+i)-1-i=-2+2i-1-i=-3+i$. Point $(-3,1)$.
3. $a=\sqrt{3}+i$. Rapport : $|\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$. Angle : $\arg(\sqrt{3}+i)=\pi/6$. Centre : $z_\Omega=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3}+i)}=\frac{2(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}-i}$. Multiplier par le conjugué : $\frac{2(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}+i)}{(1-\sqrt{3})^2+1}=\frac{2(1-\sqrt{3})^2+2(1-\sqrt{3})i}{(1-\sqrt{3})^2+1}$. Numériquement $(1-\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3}$, dénominateur $=5-2\sqrt{3}$. (Résultat simplifié : $z_\Omega=\frac{2(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})-i}$ ← il est acceptable de laisser sous cette forme ou de donner la valeur approchée.)

Exercice 3 — Détermination d'une similitude
Corrigé :
1. On a $az_A+b=z_{A'}$ donc $b=2$. Et $az_B+b=z_{B'}$ donc $ai+2=2+2i$, soit $ai=2i$, donc $a=2$.
$f:z'=2z+2$. Vérification : $f(0)=2$✓, $f(i)=2i+2=2+2i$✓.
2. Rapport : $|a|=|2|=2$. Angle : $\arg(2)=0$ (homothétie directe). Centre : $z_\Omega=\frac{2}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$. Point fixe : $(-2,0)$.
$f$ est donc une homothétie de centre $(-2,0)$ de rapport $2$.

Exercice 4 — Composition et configuration
Corrigé :
1. $(g\circ f)(z)=(1+i)(iz+1)-1=(1+i)iz+(1+i)-1=(i+i^2)z+i=(i-1)z+i$.
$a=i-1=-1+i$, $|a|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, $\arg(-1+i)=3\pi/4$. Centre : $z_\Omega=\frac{i}{1-(-1+i)}=\frac{i}{2-i}=\frac{i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2i+i^2}{5}=\frac{-1+2i}{5}$. C'est une similitude directe propre de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $3\pi/4$.
2. $\overrightarrow{AB}$ : affixe $z_B-z_A=i$. $\overrightarrow{AD}$ (en supposant $D=C$) : affixe $z_C-z_A=i-1$. $\frac{i-1}{i}=1-\frac{1}{i}=1+i$. $|1+i|=\sqrt{2}\neq 1$ : les côtés ne sont pas égaux, donc $A,B,C$ ne forment pas un carré. (On peut aussi vérifier : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont les mêmes modules $1$ et sont perpendiculaires puisque $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1}{i}=i$ qui a argument $\pi/2$. Mais il faut 4 points pour un carré.)