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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle

Argument, module, formule d'Euler et applications : programme d'option Maths expertes Terminale.

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Module d'un nombre complexe, Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique, Formule d'Euler et forme exponentielle. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe

/ 4 pts
  1. Soit $z = -1 - i$. Calculer $|z|$.
  2. Déterminer l'argument principal de $z$.
  3. Écrire $z$ sous forme exponentielle.
  4. En déduire la forme algébrique de $z^8$.

Exercice 2 — Produit et quotient de complexes

/ 4 pts
  1. Soit $z_1 = 4e^{i5\pi/6}$ et $z_2 = 2e^{i\pi/6}$. Calculer $z_1 \cdot z_2$ sous forme exponentielle, puis algébrique.
  2. Calculer $z_1 / z_2$ sous forme exponentielle, puis algébrique.
  3. Que peut-on dire de la nature de $z_1/z_2$ ?

Exercice 3 — Formule de De Moivre

/ 5 pts
  1. En développant $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ par le binôme de Newton, exprimer $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$.
  2. En déduire une expression de $\cos(3\theta)$ uniquement en fonction de $\cos\theta$.
  3. Calculer $(\sqrt{3}+i)^6$ à l'aide de la forme exponentielle.

Exercice 4 — Racines cubiques d'un complexe

/ 4 pts
  1. Déterminer les trois racines cubiques de $w = 8i$.
  2. Écrire chaque racine sous forme algébrique.
  3. Vérifier que la somme des trois racines est nulle.

Exercice 5 — Linéarisation et application

/ 3 pts
  1. Linéariser $\cos^2\theta\sin\theta$ (exprimer comme somme de sinus ou cosinus de multiples de $\theta$).
  2. En déduire $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\sin\theta\,d\theta$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe
Corrigé :
1. $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.
2. $\cos\theta=-1/\sqrt{2}$, $\sin\theta=-1/\sqrt{2}$ → 3e quadrant → $\theta=-3\pi/4$.
3. $z=\sqrt{2}\,e^{-i3\pi/4}$.
4. $z^8=(\sqrt{2})^8 e^{-i6\pi}=16\cdot e^{0}=16$. Donc $z^8=16$ (réel).

Exercice 2 — Produit et quotient de complexes
Corrigé :
1. $z_1z_2=8\,e^{i(5\pi/6+\pi/6)}=8e^{i\pi}=-8$. C'est un réel négatif.
2. $z_1/z_2=2\,e^{i(5\pi/6-\pi/6)}=2e^{i4\pi/6}=2e^{i2\pi/3}$. Algébrique : $2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1+i\sqrt{3}$.
3. $z_1/z_2=-1+i\sqrt{3}$ est un complexe non réel (partie imaginaire $\neq 0$). Le quotient $z_1z_2$ est réel car $\arg(z_1z_2)=\pi$.

Exercice 3 — Formule de De Moivre
Corrigé :
1. $(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta$.
Partie réelle : $\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$.
Partie imaginaire : $\sin(3\theta)=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$.
2. On substitue $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ : $\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.
3. $\sqrt{3}+i=2e^{i\pi/6}$, donc $(\sqrt{3}+i)^6=2^6e^{i\pi}=64\cdot(-1)=-64$.

Exercice 4 — Racines cubiques d'un complexe
Corrigé :
$8i=8e^{i\pi/2}$. Module des racines : $8^{1/3}=2$. Arguments : $\frac{\pi/2+2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$.
$z_0=2e^{i\pi/6}=\sqrt{3}+i$.
$z_1=2e^{i5\pi/6}=-\sqrt{3}+i$.
$z_2=2e^{i3\pi/2}=2e^{-i\pi/2}=-2i$.
Somme : $(\sqrt{3}+i)+(-\sqrt{3}+i)+(-2i)=0+0i=0$. ✓

Exercice 5 — Linéarisation et application
Corrigé :
1. On utilise $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ :
$\cos^2\theta\sin\theta=\frac{\sin\theta+\cos 2\theta\sin\theta}{2}=\frac{\sin\theta+\frac{1}{2}(\sin 3\theta-\sin\theta)}{2}=\frac{\sin\theta}{4}+\frac{\sin 3\theta}{4}$.
Méthode alternative plus directe : Poser $u=\cos\theta$, $du=-\sin\theta\,d\theta$, alors $\int\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=-\int u^2\,du=-\frac{u^3}{3}+C=-\frac{\cos^3\theta}{3}+C$.
2. $\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\left[-\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2}=0-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$.

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