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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Dérivation — approfondissement

Étude approfondie des fonctions dérivées : règles de composition, dérivées successives et applications à l'optimisation (programme officiel Maths complémentaires Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Dérivation — approfondissement » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels : dérivées usuelles et règles de base, Dérivée d'une fonction composée (règle des chaînes), Dérivées successives — dérivée seconde, Signe de la dérivée et variations. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

/ 4 pts
  1. Calculer la dérivée de $f(x) = e^{x^2 - 3x}$.
  2. Calculer la dérivée de $g(x) = \ln\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)$.
  3. Calculer la dérivée de $h(x) = [\cos(2x)]^3$.

Exercice 2 — Dérivée seconde et convexité

/ 4 pts
  1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ pour $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
  2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donner les coordonnées du point d'inflexion.
  3. En quel(s) point(s) $f$ admet-elle des extrema locaux ? Utiliser $f''$ pour préciser leur nature.

Exercice 3 — Problème d'optimisation

/ 6 pts
  1. Un agriculteur dispose de $120$ m de clôture pour délimiter un rectangle subdivisé en deux parties égales par une clôture médiane parallèle à la largeur.
  2. Appeler $x$ la largeur (en m) et exprimer la longueur $y$ en fonction de $x$ en utilisant la contrainte.
  3. Exprimer l'aire totale $A(x)$ en fonction de $x$ seul.
  4. Montrer que le domaine d'étude est $]0; 40[$, puis trouver la valeur de $x$ qui maximise $A$.
  5. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction

/ 6 pts
  1. Soit $f(x) = (x-1)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
  2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
  3. Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité de $f$. Donner les coordonnées du point d'inflexion.
  4. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
  5. Tracer l'allure de la courbe en justifiant les éléments essentiels.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Corrigé :
1. $f'(x) = (2x-3)\,e^{x^2-3x}$ (dérivée de l'exposant : $u=x^2-3x$, $u'=2x-3$).
2. $g(x)=\tfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$ donc $g'(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
3. $h'(x) = 3[\cos(2x)]^2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -6\sin(2x)\cos^2(2x)$.

Exercice 2 — Dérivée seconde et convexité
Corrigé :
1. $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, $f''(x)=6x-12=6(x-2)$.
2. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2$. $f''<0$ sur $]-\infty;2[$ (concave), $f''>0$ sur $]2;+\infty[$ (convexe). Point d'inflexion : $(2, f(2))=(2, 8-24+18-4)=(2,-2)$.
3. $f'(1)=0$ et $f''(1)=6(1-2)=-6<0$ → maximum local en $x=1$, $f(1)=0$. $f'(3)=0$ et $f''(3)=6(3-2)=6>0$ → minimum local en $x=3$, $f(3)=27-54+27-4=-4$.

Exercice 3 — Problème d'optimisation
Corrigé :
La contrainte en clôture : 3 côtés « largeur » ($3x$) + 2 côtés « longueur » ($2y$) = 120, donc $3x+2y=120 \Rightarrow y=\frac{120-3x}{2}=60-\frac{3x}{2}$.
Pour que $y>0$ : $x<40$ (et $x>0$). Domaine : $]0;40[$.
$A(x) = x\cdot y = x\left(60-\tfrac{3x}{2}\right) = 60x - \tfrac{3x^2}{2}$.
$A'(x)=60-3x=0 \Rightarrow x=20$. $A''(x)=-3<0$ → maximum.
Dimensions optimales : $x=20$ m, $y=60-30=30$ m. Aire maximale : $A(20)=20\times 30=600$ m².

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
Corrigé :
$f(x)=(x-1)e^x$.
$f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. Signe de $f'$ : $e^x>0$ toujours, donc $f'(x)>0 \Leftrightarrow x>0$ ; $f'(x)<0 \Leftrightarrow x<0$. Minimum en $x=0$ : $f(0)=-1$. $f$ décroissante sur $]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$.
$f''(x)=(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x$. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$. $f''<0$ sur $]-\infty;-1[$ (concave), $f''>0$ sur $]-1;+\infty[$ (convexe). Point d'inflexion en $(-1, f(-1))=(-1, -2e^{-1})$.
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$ (car $xe^x\to 0$ et $-e^x\to 0$) ; $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
La courbe part de $0$ en $-\infty$, décroît jusqu'au minimum $-1$ en $x=0$, puis croît vers $+\infty$. Point d'inflexion en $(-1;-2/e)$.

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