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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Convexité

Convexité, concavité et points d'inflexion — étude via la dérivée seconde (programme Maths complémentaires Tle)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Convexité » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels : dérivabilité et sens de variation, Définition géométrique de la convexité, Dérivée seconde et convexité, Points d'inflexion. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Convexité d'une fonction polynomiale

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
  2. Dresser le tableau de signe de $f''(x)$.
  3. En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
  4. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Exercice 2 — Convexité de $e^x$ et inégalité

/ 5 pts
  1. Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = e^x$. Conclure sur la convexité de $f$.
  2. Écrire l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 0$.
  3. En utilisant la propriété de convexité, démontrer que $e^x \geq x + 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  4. Vérifier l'inégalité numériquement pour $x = 1$ et $x = -1$.
  5. Déduire que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Exercice 3 — Points d'inflexion et paramètre

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
  2. Montrer que $f$ admet toujours exactement un point d'inflexion. Donner son abscisse en fonction de $a$.
  3. Déterminer $a$ et $b$ sachant que le point d'inflexion a pour abscisse $1$ et que $f(1) = 4$.
  4. Vérifier que $f''$ change bien de signe en $x=1$ pour la valeur de $a$ trouvée.

Exercice 4 — Tableau de convexité complet

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
  2. Résoudre $f''(x) = 0$ et dresser un tableau de convexité complet.
  3. Calculer les coordonnées du point d'inflexion $I$.
  4. Écrire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $I$.

Exercice 5 — Étude complète et interprétation

/ 3 pts
  1. Soit $g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$. Calculer $g''(x)$.
  2. Montrer que $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (étudier le discriminant de $g''$).
  3. Conclure : la courbe de $g$ admet-elle un point d'inflexion ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Convexité d'une fonction polynomiale
Corrigé :
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
$f''(x)=6x-12=6(x-2)$.
Tableau de signe : $f''(x) < 0$ sur $]-\infty;2[$ et $f''(x) > 0$ sur $]2;+\infty[$.
• $f$ est concave sur $]-\infty;2[$, convexe sur $]2;+\infty[$.
• $f''(2)=0$ et $f''$ change de signe en $x=2$ : point d'inflexion.
$f(2)=8-24+18+2=4$. Point d'inflexion : $I(2,4)$.

Exercice 2 — Convexité de $e^x$ et inégalité
Corrigé :
1. $f''(x)=e^x > 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
2. Tangente en $a=0$ : $y = f(0) + f'(0)(x-0) = 1 + x$.
3. $f$ convexe $\Rightarrow$ courbe au-dessus de ses tangentes : $e^x \geq 1 + x$. ■
4. $x=1$ : $e \approx 2{,}718 \geq 2$. ✓ ; $x=-1$ : $e^{-1} \approx 0{,}368 \geq 0$. ✓
5. De $e^x \geq x+1$, en prenant $x > -1$ on a $x+1 > 0$ donc $e^x > 0$. Pour $x \leq -1$ : $e^x > 0$ car c'est une valeur de l'exponentielle.

Exercice 3 — Points d'inflexion et paramètre
Corrigé :
$f''(x) = 6x + 2a$. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x_0 = -a/3$.
$f''$ est un polynôme du 1er degré, donc il change toujours de signe en $x_0$ : il y a toujours exactement un point d'inflexion d'abscisse $x_0 = -a/3$.
Condition $x_0=1$ : $-a/3=1 \Rightarrow a=-3$.
Condition $f(1)=4$ : $1 + a + b + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow -3 + b = 2 \Rightarrow b = 5$.
Vérification : $f''(x) = 6x - 6$. Pour $x < 1$ : $f'' < 0$ (concave). Pour $x > 1$ : $f'' > 0$ (convexe). ✓

Exercice 4 — Tableau de convexité complet
Corrigé :
$f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
$f''(x) = 2x - 4 = 2(x-2)$.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=2$. $f''<0$ sur $]-\infty;2[$ (concave), $f''>0$ sur $]2;+\infty[$ (convexe).
$f(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$. Point $I\left(2 ; \frac{5}{3}\right)$.
$f'(2) = 4-8+3 = -1$. Tangente : $y = -(x-2) + \frac{5}{3} = -x + \frac{11}{3}$.

Exercice 5 — Étude complète et interprétation
Corrigé :
$g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.
$g''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2$.
$(x-1)^2 \geq 0$ pour tout $x$, donc $g''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0$ : $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
$g''(1) = 0$ mais $g''$ ne change pas de signe (elle reste $\geq 0$) : il n'y a pas de point d'inflexion.

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