Symétrie centrale & parallélogramme

Exercice 1 — Symétrique d'un point
Corrigé : La symétrie centrale conserve les distances au centre, donc $OA' = OA = 6$ cm. Comme $O$ est le milieu de $[AA']$, on a $AA' = OA + OA' = 6 + 6 = 12$ cm. Enfin, $A$, $O$ et $A'$ sont alignés (avec $O$ entre $A$ et $A'$).

Exercice 2 — Propriétés conservées
Corrigé : La symétrie centrale conserve les longueurs : l'image du segment mesure $7$ cm. Elle conserve les angles : l'image de l'angle mesure $48°$. Enfin, l'image d'une droite par symétrie centrale lui est parallèle : $(d')$ est parallèle à $(d)$.

Exercice 3 — Côtés et angles d'un parallélogramme
Corrigé : Côtés opposés égaux : $CD = AB = 10$ cm et $AD = BC = 6$ cm. Périmètre : $P = 2 \times (10 + 6) = 2 \times 16 = 32$ cm. Angles : $\widehat{C} = \widehat{A} = 80°$ (opposés égaux) et $\widehat{B} = 180° - 80° = 100°$ (consécutif supplémentaire).

Exercice 4 — Diagonales et centre de symétrie
Corrigé : $O$ est le milieu de $[EG]$, donc $OE = \dfrac{16}{2} = 8$ cm. $O$ est le milieu de $[FH]$, donc $FH = 2 \times OF = 2 \times 5 = 10$ cm. Le symétrique de $E$ par rapport à $O$ est $G$, car $O$ est le milieu de la diagonale $[EG]$ : c'est donc le sommet opposé.

Exercice 5 — Reconnaître un parallélogramme
Corrigé : Si les diagonales d'un quadrilatère non croisé se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme : $RSTU$ est donc un parallélogramme. On en déduit $TU = RS = 9$ cm car les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux. Enfin, le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie : il possède trois axes de symétrie, mais aucun point autour duquel un demi-tour le superpose à lui-même.