Le théorème de Pythagore

Exercice 1 — Vocabulaire et énoncé
Corrigé : L'angle droit est en $N$, donc l'hypoténuse est le côté opposé : $[MP]$. Le théorème s'écrit $MP^2 = MN^2 + NP^2$ (carré de l'hypoténuse = somme des carrés des deux autres). L'affirmation est fausse : l'hypoténuse est toujours le plus long côté d'un triangle rectangle, elle ne peut donc pas être plus courte qu'un autre côté.

Exercice 2 — Calculer l'hypoténuse
Corrigé : 1) Comme $ABC$ est rectangle en $A$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$, donc $BC = \sqrt{1681} = 41$ cm. 2) $ST^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$, donc l'hypoténuse $ST = \sqrt{52} \approx 7{,}2$ cm.

Exercice 3 — Calculer un côté de l'angle droit
Corrigé : $EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$, d'où $DF = \sqrt{576} = 24$ cm. On soustrait parce qu'on cherche un côté de l'angle droit (plus court que l'hypoténuse) : on retire le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.

Exercice 4 — Problème : prouver un angle droit
Corrigé : 1) Le plus grand côté est $[GI]$ : $GI^2 = 34^2 = 1156$. 2) $GH^2 + HI^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$. 3) Comme $GI^2 = GH^2 + HI^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ (l'angle droit est opposé au plus grand côté $[GI]$). L'angle en $H$ est donc bien droit.