Collège · 4ᵉ · Mathématiques
Le théorème de Pythagore
Calculer une longueur dans un triangle rectangle et démontrer qu'un triangle est rectangle (programme de 4e)
À propos de cette page
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vocabulaire et énoncé
/ 4 pts- On considère le triangle $MNP$ rectangle en $N$. Indique quel côté est l'hypoténuse, en justifiant.
- Écris l'égalité donnée par le théorème de Pythagore pour ce triangle.
- Vrai ou faux : « Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse peut être plus courte qu'un des deux autres côtés. » Justifie.
Exercice 2 — Calculer l'hypoténuse
/ 5 pts- Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 9$ cm et $AC = 40$ cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse $BC$.
- Dans un triangle $RST$ rectangle en $R$, les côtés de l'angle droit mesurent $4$ cm et $6$ cm. Calcule l'hypoténuse, arrondie au dixième de cm.
Exercice 3 — Calculer un côté de l'angle droit
/ 5 pts- Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$, l'hypoténuse $EF = 26$ cm et le côté $DE = 10$ cm. Calcule la longueur $DF$.
- Explique en une phrase pourquoi on soustrait (et non on additionne) dans ce calcul.
Exercice 4 — Problème : prouver un angle droit
/ 6 pts- Un carreleur trace un triangle $GHI$ avec $GH = 16$ cm, $HI = 30$ cm et $GI = 34$ cm. Il veut savoir si l'angle en $H$ est droit.
- 1) Quel est le plus grand côté ? Calcule son carré.
- 2) Calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
- 3) Conclus : le triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Vocabulaire et énoncé
Corrigé : L'angle droit est en $N$, donc l'hypoténuse est le côté opposé : $[MP]$. Le théorème s'écrit $MP^2 = MN^2 + NP^2$ (carré de l'hypoténuse = somme des carrés des deux autres). L'affirmation est fausse : l'hypoténuse est toujours le plus long côté d'un triangle rectangle, elle ne peut donc pas être plus courte qu'un autre côté.
Exercice 2 — Calculer l'hypoténuse
Corrigé : 1) Comme $ABC$ est rectangle en $A$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$, donc $BC = \sqrt{1681} = 41$ cm. 2) $ST^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$, donc l'hypoténuse $ST = \sqrt{52} \approx 7{,}2$ cm.
Exercice 3 — Calculer un côté de l'angle droit
Corrigé : $EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$, d'où $DF = \sqrt{576} = 24$ cm. On soustrait parce qu'on cherche un côté de l'angle droit (plus court que l'hypoténuse) : on retire le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.
Exercice 4 — Problème : prouver un angle droit
Corrigé : 1) Le plus grand côté est $[GI]$ : $GI^2 = 34^2 = 1156$. 2) $GH^2 + HI^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$. 3) Comme $GI^2 = GH^2 + HI^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ (l'angle droit est opposé au plus grand côté $[GI]$). L'angle en $H$ est donc bien droit.
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