Collège · 4ᵉ · Mathématiques
Le cosinus dans le triangle rectangle
Définir le cosinus d'un angle aigu, calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle (programme de 4e)
À propos de cette page
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vocabulaire et définition
/ 4 pts- On considère le triangle $MNP$ rectangle en $M$. Pour l'angle $\widehat{MNP}$ (au sommet $N$), indique le côté adjacent et l'hypoténuse.
- Écris la formule donnant $\cos(\widehat{MNP})$ en fonction des côtés du triangle.
- Vrai ou faux : « Le cosinus d'un angle aigu peut être égal à $1{,}5$. » Justifie.
Exercice 2 — Calculer une longueur
/ 5 pts- Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{ABC} = 50°$ et l'hypoténuse $BC = 9$ cm. Calcule la longueur $AB$, arrondie au dixième de cm. (On donne $\cos 50° \approx 0{,}643$.)
- Dans $DEF$ rectangle en $D$, $\widehat{DEF} = 28°$ et le côté adjacent $DE = 7$ cm. Calcule l'hypoténuse $EF$, arrondie au dixième de cm. (On donne $\cos 28° \approx 0{,}883$.)
Exercice 3 — Calculer un angle
/ 5 pts- Dans $GHI$ rectangle en $G$, le côté adjacent à l'angle en $H$ mesure $GH = 4$ cm et l'hypoténuse $HI = 8$ cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{GHI}$.
- Explique en une phrase quelle touche de la calculatrice tu utilises pour passer du cosinus à l'angle.
Exercice 4 — Problème : la voile du bateau
/ 6 pts- Une voile triangulaire est modélisée par un triangle $RST$ rectangle en $R$. Le bord vertical (mât) mesure $RS = 6$ m, et le bord incliné (chute de la voile) mesure $ST = 7{,}5$ m. On s'intéresse à l'angle $\widehat{RST}$ au sommet $S$.
- 1) Quel côté est l'hypoténuse ? Quel côté est adjacent à $\widehat{RST}$ ?
- 2) Calcule la valeur de $\cos(\widehat{RST})$.
- 3) Déduis-en la mesure de l'angle $\widehat{RST}$, arrondie au degré.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Vocabulaire et définition
Corrigé : L'angle droit est en $M$, donc l'hypoténuse est $[NP]$ (en face de $M$). Le côté adjacent à $\widehat{MNP}$ est $[MN]$ (il touche $N$). La formule est $\cos(\widehat{MNP}) = \dfrac{MN}{NP}$ (adjacent ÷ hypoténuse). L'affirmation est fausse : le côté adjacent étant toujours plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$, jamais égal à $1{,}5$.
Exercice 2 — Calculer une longueur
Corrigé : 1) $AB$ est le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ : $\cos(50°) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{9}$, donc $AB = 9 \times \cos(50°) \approx 9 \times 0{,}643 \approx 5{,}8$ cm. 2) $DE$ est le côté adjacent à $\widehat{DEF}$ : $\cos(28°) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{7}{EF}$, donc $EF = \dfrac{7}{\cos(28°)} \approx \dfrac{7}{0{,}883} \approx 7{,}9$ cm.
Exercice 3 — Calculer un angle
Corrigé : $\cos(\widehat{GHI}) = \dfrac{GH}{HI} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$. Donc $\widehat{GHI} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$. On utilise la touche $\cos^{-1}$ (souvent obtenue avec Shift puis cos), qui renvoie l'angle à partir de la valeur de son cosinus.
Exercice 4 — Problème : la voile du bateau
Corrigé : 1) L'angle droit est en $R$, donc l'hypoténuse est $[ST]$ ($= 7{,}5$ m). Le côté adjacent à l'angle en $S$ est $[RS]$ ($= 6$ m). 2) $\cos(\widehat{RST}) = \dfrac{RS}{ST} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8$. 3) $\widehat{RST} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 37°$. L'angle au sommet $S$ mesure environ $37°$.
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