Le cosinus dans le triangle rectangle

Exercice 1 — Vocabulaire et définition
Corrigé : L'angle droit est en $M$, donc l'hypoténuse est $[NP]$ (en face de $M$). Le côté adjacent à $\widehat{MNP}$ est $[MN]$ (il touche $N$). La formule est $\cos(\widehat{MNP}) = \dfrac{MN}{NP}$ (adjacent ÷ hypoténuse). L'affirmation est fausse : le côté adjacent étant toujours plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$, jamais égal à $1{,}5$.

Exercice 2 — Calculer une longueur
Corrigé : 1) $AB$ est le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ : $\cos(50°) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{9}$, donc $AB = 9 \times \cos(50°) \approx 9 \times 0{,}643 \approx 5{,}8$ cm. 2) $DE$ est le côté adjacent à $\widehat{DEF}$ : $\cos(28°) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{7}{EF}$, donc $EF = \dfrac{7}{\cos(28°)} \approx \dfrac{7}{0{,}883} \approx 7{,}9$ cm.

Exercice 3 — Calculer un angle
Corrigé : $\cos(\widehat{GHI}) = \dfrac{GH}{HI} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$. Donc $\widehat{GHI} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$. On utilise la touche $\cos^{-1}$ (souvent obtenue avec Shift puis cos), qui renvoie l'angle à partir de la valeur de son cosinus.

Exercice 4 — Problème : la voile du bateau
Corrigé : 1) L'angle droit est en $R$, donc l'hypoténuse est $[ST]$ ($= 7{,}5$ m). Le côté adjacent à l'angle en $S$ est $[RS]$ ($= 6$ m). 2) $\cos(\widehat{RST}) = \dfrac{RS}{ST} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8$. 3) $\widehat{RST} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 37°$. L'angle au sommet $S$ mesure environ $37°$.