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Mathématiques · Classe de 3ᵉ

Homothétie & agrandissement-réduction

Centre, rapport k, image d'une figure, effet sur les longueurs, les aires et les volumes (programme de 3e)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Homothétie & agrandissement-réduction » en troisième permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de troisième et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Agrandir ou réduire : la même forme, L'homothétie : centre et rapport, Construire l'image d'une figure, Propriétés conservées par l'homothétie. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 45 min · Noté sur 20
45:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Vocabulaire et image d'un point

/ 4 pts
  1. On considère une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$. Sachant que $OP = 2{,}4$ cm, calcule $OP'$ et précise où se trouve $P'$. (2 pts)
  2. Cette homothétie est-elle un agrandissement ou une réduction ? Justifie. (2 pts)

Exercice 2 — Effet sur les longueurs et le périmètre

/ 4 pts
  1. Un triangle a des côtés de $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $k = 2{,}5$. Donne les longueurs des côtés de l'image. (2 pts)
  2. Calcule le périmètre du triangle de départ, puis celui de son image. (2 pts)

Exercice 3 — Effet sur l'aire

/ 4 pts
  1. Un disque a une aire de $50$ cm². On l'agrandit avec un rapport $k = 4$. Quelle est l'aire de l'image ? (2 pts)
  2. Une autre figure a une aire de $12$ cm² qui devient $108$ cm² après transformation. Retrouve le rapport $k$. (2 pts)

Exercice 4 — Effet sur le volume

/ 5 pts
  1. Un cube a un volume de $64$ cm³. On le réduit avec un rapport $k = \dfrac{1}{2}$. Quel est le volume de l'image ? (2 pts)
  2. Un solide voit son volume passer de $7$ cm³ à $189$ cm³. Calcule d'abord le coefficient multiplicateur du volume, puis le rapport $k$. (3 pts)

Exercice 5 — Problème : maquette à l'échelle

/ 3 pts
  1. Un architecte réalise la maquette d'une tour au $\dfrac{1}{500}$ (rapport $k = \dfrac{1}{500}$). La vraie tour mesure $150$ m de hauteur. Quelle est la hauteur de la maquette, en cm ? Et si la base réelle a une aire de $2\,500$ m², quelle est l'aire de la base sur la maquette, en cm² ? (3 pts)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Vocabulaire et image d'un point
Corrigé : $OP' = |k| \times OP = 3 \times 2{,}4 = \mathbf{7{,}2}$ cm. Comme $k > 0$, le point $P'$ se trouve sur la demi-droite $[OP)$, du même côté que $P$ par rapport à $O$, et les points $O$, $P$, $P'$ sont alignés. Puisque $k = 3 > 1$, il s'agit d'un agrandissement : la figure devient $3$ fois plus grande.

Exercice 2 — Effet sur les longueurs et le périmètre
Corrigé : Chaque côté est multiplié par $k = 2{,}5$ : $3 \times 2{,}5 = 7{,}5$ cm ; $4 \times 2{,}5 = 10$ cm ; $5 \times 2{,}5 = 12{,}5$ cm. Périmètre de départ : $3 + 4 + 5 = 12$ cm. Périmètre de l'image : $7{,}5 + 10 + 12{,}5 = 30$ cm, soit $12 \times 2{,}5 = \mathbf{30}$ cm (le périmètre est aussi multiplié par $k$).

Exercice 3 — Effet sur l'aire
Corrigé : Les aires sont multipliées par $k^2 = 4^2 = 16$ : aire image $= 50 \times 16 = \mathbf{800}$ cm². Pour la seconde figure, $k = \sqrt{\dfrac{\text{aire image}}{\text{aire départ}}} = \sqrt{\dfrac{108}{12}} = \sqrt{9} = \mathbf{3}$. Vérification : $12 \times 3^2 = 12 \times 9 = 108$ cm² ✓.

Exercice 4 — Effet sur le volume
Corrigé : Les volumes sont multipliés par $k^3$. Pour le cube : $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, donc volume image $= 64 \div 8 = \mathbf{8}$ cm³. Pour le second solide : coefficient $= \dfrac{189}{7} = 27$, donc $k^3 = 27$ et $k = \sqrt[3]{27} = \mathbf{3}$. C'est un agrandissement (les longueurs sont triplées).

Exercice 5 — Problème : maquette à l'échelle
Corrigé : Hauteur : $150$ m $= 15\,000$ cm ; $15\,000 \times \dfrac{1}{500} = \mathbf{30}$ cm. Pour l'aire, on multiplie par $k^2 = \left(\dfrac{1}{500}\right)^2 = \dfrac{1}{250\,000}$. La base réelle : $2\,500$ m² $= 25\,000\,000$ cm² ; aire sur la maquette $= 25\,000\,000 \times \dfrac{1}{250\,000} = \mathbf{100}$ cm².

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