Homothétie & agrandissement-réduction

On considère un point $O$ et un triangle $ABC$ tels que $OA = 3{,}2$ cm, $OB = 28$ mm, $AB = 2{,}6$ cm et l'angle BAC $= 54°$. L'aire du triangle $ABC$ vaut $3{,}12$ cm². On note $A'B'C'$ l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2{,}5$.

1. Calcule $OA'$ et $OB'$ (en cm). Où sont placés $A'$ et $B'$ par rapport à $O$ ?
2. Calcule la longueur $A'B'$ et donne la mesure de l'angle B'A'C'. Justifie.
3. Calcule l'aire du triangle $A'B'C'$.
4. Un élève affirme que $AA' = 2{,}5 \times OA$. A-t-il raison ? Calcule $AA'$.

Un magasin vend des maquettes. Le tableau donne, pour chacune, une dimension réelle et la dimension correspondante sur la maquette.

1. Calcule l'échelle de la maquette de voiture, puis celle de l'avion. Laquelle est la plus réduite ?
2. Calcule la hauteur de la maquette de la tour.
3. La carrosserie de la voiture réelle a une surface de $9{,}6$ m². Quelle surface de peinture faut-il prévoir pour la maquette, en cm² ?
4. Le pot de peinture de la maquette contient $12$ mL et couvre $0{,}5$ mL par cm² de surface. Un seul pot suffit-il ? Justifie.

Une bougie a la forme d'un cône de $12$ cm de hauteur et de volume $360$ cm³. Un artisan fabrique des bougies de même forme mais de tailles différentes. La cire a une masse volumique de $0{,}9$ g/cm³.

1. Une petite bougie est obtenue par une réduction de rapport $0{,}75$. Calcule sa hauteur et son volume.
2. Calcule la masse de cire de la grande bougie et celle de la petite, arrondies au gramme.
3. L'artisan veut une bougie de $45$ cm³. Quel rapport de réduction doit-il utiliser ? Quelle sera sa hauteur ?
4. Une bougie de $12$ cm brûle en $30$ h. En supposant que la durée est proportionnelle au volume, combien de temps brûle la bougie de $45$ cm³ ?

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. « Une homothétie de rapport $3$ triple l'aire d'une figure. »
2. « L'image d'un cercle de rayon $2$ cm par une homothétie de rapport $-2$ est un cercle de rayon $4$ cm. »
3. « Si l'on réduit une figure avec $k = \dfrac{1}{2}$ puis que l'on agrandit l'image avec $k = 2$, on retrouve une figure de même taille. »
4. « Deux solides de même forme dont les hauteurs sont $5$ cm et $15$ cm ont des volumes dans le rapport $1$ à $9$. »

Deux boîtes de conserve cylindriques ont exactement la même forme. La petite mesure $8$ cm de haut, contient $40$ cL et coûte $1{,}20$ €. La grande mesure $12$ cm de haut et coûte $3{,}60$ €. L'étiquette de la petite boîte a une aire de $150$ cm².

1. Quel est le rapport d'agrandissement de la petite boîte vers la grande ?
2. Quelle est la contenance de la grande boîte ?
3. Quelle boîte est la plus avantageuse ? Compare les prix au litre.
4. Quelle est l'aire de l'étiquette de la grande boîte ? Le fabricant utilise-t-il proportionnellement plus ou moins de papier par litre pour la grande boîte ?