Équations et inéquations

Exercice 1 — Résoudre des équations du premier degré
Corrigé :
$6x - 5 = 2x + 11$ : $6x - 2x = 11 + 5$, donc $4x = 16$ et $x = 4$. (2 pts)

$3(x - 2) = x + 4$ : $3x - 6 = x + 4$, donc $2x = 10$ et $x = 5$. (2 pts)

$\dfrac{x}{4} - 1 = 2$ : $\dfrac{x}{4} = 3$, donc $x = 12$. (1 pt)

Exercice 2 — Équation-produit
Corrigé :
$(2x + 8)(x - 5) = 0$ : un produit est nul si l'un des facteurs est nul. $2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4$ ; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$. Solutions : $x = -4$ et $x = 5$. (2 pts)

$x^2 - 36$ : $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$. L'équation $(x-6)(x+6) = 0$ donne $x = 6$ ou $x = -6$. (2 pts)

Exercice 3 — Inéquation et droite graduée
Corrigé :
$4x - 3 \leqslant 9$ : $4x \leqslant 12$, donc $x \leqslant 3$. (1,5 pt)

$-3x + 2 > 11$ : $-3x > 9$ ; on divise par $-3$ en inversant le sens : $x < -3$. (1,5 pt)

Test de $x = -2$ : $-3 \times (-2) + 2 = 6 + 2 = 8$, et $8 > 11$ est faux. De plus $-2 < -3$ est faux. Donc $x = -2$ n'est pas solution. (1 pt)

Exercice 4 — Mise en équation (problème)
Corrigé :
Soit $x$ le nombre de places enfants. Les $2$ places adultes coûtent $2 \times 15 = 30$ €, les places enfants $9x$ €. L'équation est $9x + 30 = 66$. (2 pts)

$9x = 66 - 30 = 36$, donc $x = \dfrac{36}{9} = 4$. La famille a acheté 4 places enfants. (Vérif : $4 \times 9 + 30 = 66$.) (2 pts)

Exercice 5 — Raisonnement et choix d'une formule
Corrigé :
Prix A $= 12x$ ; prix B $= 25 + 7x$. (1 pt)

B est plus avantageuse quand $25 + 7x < 12x$, soit $25 < 5x$, donc $x > 5$. Le nombre de jours étant entier, la formule B devient plus avantageuse à partir de 6 jours. (2 pts)