Équations et inéquations

Résous chaque équation en détaillant les étapes. Quand la solution n'est pas entière, donne-la sous forme de fraction irréductible ou de nombre décimal exact.

1. $8x - 7 = 3x + 13$
2. $5(x - 3) = 2x + 6$
3. $\dfrac{x}{3} + 4 = x - 2$
4. $4x + 5 = 4x - 1$. Que peut-on dire de cette équation ?

Pour résoudre l'équation $3(x - 2) = 2x + 1$, une élève a calculé les deux membres pour plusieurs valeurs de $x$.

1. Vérifie par le calcul la colonne $x = 7$.
2. Que peut-on déduire du tableau au sujet de l'équation $3(x - 2) = 2x + 1$ ? Ce tableau suffit-il à prouver qu'il n'y a pas d'autre solution ?
3. Résous l'équation par le calcul.
4. Résous l'inéquation $3(x - 2) \gt 2x + 1$. Est-ce cohérent avec le tableau ?

On considère $E = (3x + 2)(x - 5) - (x - 5)(x + 4)$ et $F = 9x^2 - 25$.

1. Factorise $E$.
2. Résous l'équation $E = 0$.
3. Factorise $F$ puis résous $F = 0$.
4. Un élève affirme que l'équation $(x - 5)(x - 1) = 3$ a pour solutions $8$ et $4$. Explique son erreur et vérifie avec $x = 8$.

1. Résous $5x - 9 \leq 2x + 6$ et représente les solutions sur une droite graduée.
2. Résous $-3x + 4 \gt 13$.
3. Le nombre $-3$ est-il solution de l'inéquation précédente ? Justifie.
4. Résous $2(x + 1) \geq 2x - 5$. Que remarque-t-on ?

Une association organise un repas. La location de la salle coûte $350$ € et le traiteur facture $18{,}50$ € par convive. Chaque convive paie $26$ €. La salle ne peut accueillir que $110$ personnes.

1. Exprime la dépense totale et la recette en fonction du nombre $x$ de convives.
2. À partir de combien de convives l'association ne perd-elle pas d'argent ?
3. L'association souhaite un bénéfice d'au moins $500$ €. Est-ce possible avec cette salle ? Justifie.
4. Pour atteindre ce bénéfice avec $110$ convives, à quel prix minimal, arrondi au centime, faudrait-il fixer le repas ? Toute trace de recherche sera prise en compte.