Sciences numériques et technologie (SNT) 2ⁿᵈᵉ
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Systèmes de positionnement (GPS)
Localisation, cartographie et mobilité — comment les satellites permettent de nous situer sur Terre
À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Systèmes de positionnement (GPS) » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en sciences numériques et technologie (SNT). Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : Coordonnées géographiques et représentation de la Terre, Principe général d'un système GNSS, La constellation de satellites GPS, La trilatération : calculer sa position. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en sciences numériques et technologie (SNT) en seconde.
Résous chaque problème, écris ta réponse puis clique sur « Vérifier ». Pose tes calculs au brouillon.
Facile
Problème 1 — Calcul de distance satellite-récepteurUn satellite GPS émet un signal à $t_{\text{émission}} = 0$ s. Le récepteur reçoit ce signal à $t_{\text{réception}} = 7{,}5 \times 10^{-2}$ s. La vitesse de la lumière est $c = 3 \times 10^8$ m/s.
Calcule le temps de trajet $\Delta t$ du signal (en secondes).
Δt = t_réception - t_émission = 7,5×10⁻² - 0 = 7,5×10⁻² s.En appliquant $d = c \times \Delta t$, calcule la distance $d$ en mètres.
d = 3×10⁸ × 7,5×10⁻² = 2,25×10⁷ m = 22 500 km.Convertis cette distance en kilomètres.
2,25×10⁷ m = 22 500 km.L'altitude des satellites GPS est ~20 200 km. Est-ce cohérent avec ta réponse ? Réponds par oui ou non et justifie en une phrase.
Oui, c'est cohérent. La distance calculée (22 500 km) est supérieure à l'altitude orbitale (20 200 km) car le signal ne voyage pas à la verticale parfaite mais en biais selon la position du satellite dans le ciel.Voir le corrigé
- 7.5e-2 — Δt = t_réception - t_émission = 7,5×10⁻² - 0 = 7,5×10⁻² s.
- 22500000 — d = 3×10⁸ × 7,5×10⁻² = 2,25×10⁷ m = 22 500 km.
- 22500 — 2,25×10⁷ m = 22 500 km.
- Réponse libre — exemple : Oui, c'est cohérent. La distance calculée (22 500 km) est supérieure à l'altitude orbitale (20 200 km) car le signal ne voyage pas à la verticale parfaite mais en biais selon la position du satellite dans le ciel.
Moyen
Problème 2 — Trilatération en 2D simplifiéeSur une carte en 2D, deux balises $A(0 ; 0)$ et $B(100 ; 0)$ (coordonnées en km) émettent des signaux. Un récepteur mesure : distance à $A$ = 60 km, distance à $B$ = 80 km.
Le récepteur se trouve à l'intersection de deux cercles. Quel est le rayon du cercle centré en $A$ ?
Le rayon du cercle centré en A est égal à la distance mesurée : 60 km.Vérification : est-ce que le point $P(36 ; 48)$ (en km) est à 60 km de $A(0;0)$ ? Calcule $AP = \sqrt{36^2 + 48^2}$.
AP = √(36² + 48²) = √(1296 + 2304) = √3600 = 60 km. Oui, P est bien sur le cercle centré en A.Calcule la distance $BP$ entre $P(36 ; 48)$ et $B(100 ; 0)$ en appliquant la formule de distance.
BP = √((100-36)² + (0-48)²) = √(64² + 48²) = √(4096 + 2304) = √6400 = 80 km. P est aussi sur le cercle centré en B !Conclusion : quelle est la position du récepteur (en km) ?
Le récepteur se trouve à P(36 ; 48) km car ce point est à 60 km de A et 80 km de B, donc à l'intersection des deux cercles.Voir le corrigé
- 60 — Le rayon du cercle centré en A est égal à la distance mesurée : 60 km.
- 60 — AP = √(36² + 48²) = √(1296 + 2304) = √3600 = 60 km. Oui, P est bien sur le cercle centré en A.
- 80 — BP = √((100-36)² + (0-48)²) = √(64² + 48²) = √(4096 + 2304) = √6400 = 80 km. P est aussi sur le cercle centré en B !
- (36 ; 48) — Le récepteur se trouve à P(36 ; 48) km car ce point est à 60 km de A et 80 km de B, donc à l'intersection des deux cercles.
Difficile
Problème 3 — Erreur d'horloge et précisionUn récepteur GPS dont l'horloge interne dérive de $\delta t = 2 \times 10^{-6}$ s (2 μs) par rapport aux horloges atomiques des satellites. La vitesse de la lumière est $c = 3 \times 10^8$ m/s.
Calcule l'erreur de distance $\delta d$ introduite par ce décalage d'horloge (en mètres).
δd = c × δt = 3×10⁸ × 2×10⁻⁶ = 600 m. Une erreur de 2 μs donne 600 m d'erreur sur la position !Sans correction du biais d'horloge, cette erreur s'applique à les pseudodistances calculées.
Toutes les pseudodistances sont affectées du même biais δt, car c'est l'horloge du récepteur qui est en faute.Explique en une phrase comment le 4e satellite permet d'éliminer cette erreur.
Le 4e satellite fournit une équation supplémentaire : le système dispose alors de 4 équations pour 4 inconnues (x, y, z et le biais d'horloge δt), ce qui permet de résoudre δt et d'en déduire la position exacte.Après correction, la précision du GPS civil est d'environ m.
En conditions normales, la précision du GPS civil (sans correction différentielle) est de l'ordre de 5 à 10 m.Voir le corrigé
- 600 — δd = c × δt = 3×10⁸ × 2×10⁻⁶ = 600 m. Une erreur de 2 μs donne 600 m d'erreur sur la position !
- toutes — Toutes les pseudodistances sont affectées du même biais δt, car c'est l'horloge du récepteur qui est en faute.
- Réponse libre — exemple : Le 4e satellite fournit une équation supplémentaire : le système dispose alors de 4 équations pour 4 inconnues (x, y, z et le biais d'horloge δt), ce qui permet de résoudre δt et d'en déduire la position exacte.
- 5 — En conditions normales, la précision du GPS civil (sans correction différentielle) est de l'ordre de 5 à 10 m.
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