Sciences numériques et technologie (SNT) 2ⁿᵈᵉ

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Systèmes de positionnement (GPS)

Coordonnées géographiques, GPS et Galileo, trilatération, trames NMEA, précision de la géolocalisation (SNT de 2nde)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Systèmes de positionnement (GPS) » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en sciences numériques et technologie (SNT). Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Coordonnées géographiques, GPS, Galileo et les autres systèmes, Le principe : des distances et une trilatération. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser sciences numériques et technologie (SNT) en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Repérer un lieu sur le globe

Facile

Les coordonnées sont exprimées dans le système WGS 84.

a) Quelle ligne de référence sert à mesurer la latitude ? Entre quelles valeurs une latitude est-elle comprise ?
b) Quelle ligne de référence sert à mesurer la longitude ? Entre quelles valeurs une longitude est-elle comprise ?
c) Où se trouve le point de latitude 0° et de longitude 0° ?
d) Buenos Aires est située à 34,6037° S et 58,3816° O. Écrire ses coordonnées sous la forme d'un couple de nombres signés (latitude ; longitude), comme le font les logiciels de cartographie.

a) La latitude se mesure à partir de l'équateur. Elle est comprise entre 0° et 90° Nord ou 0° et 90° Sud (90° correspondant à un pôle).

b) La longitude se mesure à partir du méridien de Greenwich (méridien d'origine). Elle est comprise entre 0° et 180° Est ou 0° et 180° Ouest.

c) Ce point est à la fois sur l'équateur (latitude 0°) et sur le méridien de Greenwich (longitude 0°) : il se trouve dans l'océan Atlantique, dans le golfe de Guinée, au large de l'Afrique de l'Ouest.

d) Par convention, une latitude Sud et une longitude Ouest sont comptées négativement. Les coordonnées de Buenos Aires s'écrivent donc (−34,6037 ; −58,3816).

Exercice 2 — Convertir en degrés décimaux

Facile

On donne les coordonnées de deux villes en degrés, minutes, secondes.

a) Convertir la latitude 43° 36′ 18″ N en degrés décimaux (4 décimales).
b) Convertir la longitude 1° 26′ 38″ E en degrés décimaux (4 décimales).
c) Convertir la latitude 50° 37′ 48″ N en degrés décimaux (4 décimales).
d) Parmi les deux latitudes des questions a) et c), laquelle correspond au lieu le plus proche du pôle Nord ? Justifier.

On utilise $D D = D + \frac{M}{60} + \frac{S}{3600}$ , car 1° = 60′ et 1° = 3 600″.

a) $\frac{36}{60} = 0, 6$ et $\frac{18}{3600} = 0, 005$ , donc $43 + 0, 6 + 0, 005 =$ 43,6050° N.

b) $\frac{26}{60} \approx 0, 433333$ et $\frac{38}{3600} \approx 0, 010556$ , donc $1 + 0, 433333 + 0, 010556 \approx 1, 443889$ , soit 1,4439° E.

c) $\frac{37}{60} \approx 0, 616667$ et $\frac{48}{3600} \approx 0, 013333$ ; leur somme vaut exactement 0,63, donc 50,6300° N.

d) Les deux latitudes sont Nord ; plus la latitude Nord est grande, plus le lieu est proche du pôle Nord (90° N). Comme 50,6300 > 43,6050, c'est le lieu de la question c).

Exercice 3 — Le principe du GPS en questions

Facile

a) Citer quatre systèmes de positionnement par satellites et l'État ou l'ensemble d'États qui les a développés.
b) Quelles informations un satellite GPS diffuse-t-il en permanence ?
c) Vrai ou faux ? « Pour se localiser, mon téléphone envoie un signal au satellite, qui lui répond. » Justifier.
d) Pourquoi les satellites de positionnement embarquent-ils des horloges atomiques ?

a) GPS (États-Unis), Galileo (Union européenne), GLONASS (Russie), BeiDou (Chine). On les regroupe sous le nom de GNSS.

b) Chaque satellite diffuse un signal contenant l'heure précise d'émission et sa position sur son orbite (éphémérides).

c) Faux. Le GPS fonctionne à sens unique : les satellites émettent, le téléphone ne fait que recevoir. Il calcule lui-même sa position à partir des signaux reçus ; aucun satellite ne connaît la position des utilisateurs.

d) La distance est calculée par $d = c \times Δ t$ avec $c = 3, 00 \times 10^{8}$ m/s. Une erreur minuscule sur l'heure donne une grosse erreur sur la distance : une microseconde d'écart fausse déjà la distance de 300 m. Il faut donc des horloges extrêmement stables, c'est-à-dire atomiques.

Exercice 4 — De la durée à la distance

Moyen

On prend $c = 3, 00 \times 10^{8}$ m/s pour la vitesse de propagation des signaux.

a) Le signal d'un satellite GPS parvient à un récepteur 0,0752 s après son émission. Calculer la distance entre le satellite et le récepteur, en km.
b) Un satellite Galileo orbite à 23 222 km d'altitude. Calculer, en millisecondes, la durée de trajet de son signal lorsqu'il se trouve exactement à la verticale du récepteur (au zénith).
c) L'horloge d'un récepteur retarde de 2,5 µs. Quelle erreur cela provoque-t-il sur chaque distance calculée ?
d) Pour obtenir une précision de 3 m sur une distance, quelle erreur maximale peut-on tolérer sur la mesure de la durée ? Exprimer le résultat en nanosecondes et commenter.

a) $d = c \times Δ t = 3, 00 \times 10^{8} \times 0, 0752 = 2, 256 \times 10^{7}$ m, soit 22 560 km.

b) Au zénith, la distance est égale à l'altitude : $d = 23 222$ km $= 2, 3222 \times 10^{7}$ m. Donc $Δ t = \frac{d}{c} = \frac{2, 3222 \times 10^{7}}{3, 00 \times 10^{8}} \approx 0, 0774$ s, soit environ 77,4 ms.

c) 2,5 µs $= 2, 5 \times 10^{- 6}$ s. L'erreur de distance vaut $3, 00 \times 10^{8} \times 2, 5 \times 10^{- 6} =$ 750 m pour chaque satellite.

d) On cherche $Δ t$ tel que $c \times Δ t = 3$ m : $Δ t = \frac{3}{3, 00 \times 10^{8}} = 1, 0 \times 10^{- 8}$ s = 10 ns. Une horloge à quartz de téléphone ne tient pas une telle précision : c'est pourquoi le récepteur utilise un 4^e satellite pour calculer et corriger son décalage d'horloge.

Exercice 5 — Décoder une trame GGA

Moyen

Un récepteur fournit la trame suivante (relevé effectué en juillet, en France) :
$GPGGA,154208.00,4411.2340,N,00058.5620,E,1,09,0.9,48.6,M,50.1,M,,*51

a) À quelle heure la mesure a-t-elle été faite, en heure UTC puis en heure légale française ?
b) Donner la latitude en degrés décimaux (4 décimales).
c) Donner la longitude en degrés décimaux (4 décimales).
d) Quel système de positionnement a fourni la trame ? Combien de satellites ont été utilisés, à quelle altitude se trouve le récepteur, et la position est-elle valide ?

a) Le champ 1 « 154208.00 » se lit hhmmss : 15 h 42 min 08 s UTC. En juillet, la France est à l'heure d'été (UTC + 2) : il était 17 h 42 min 08 s.

b) « 4411.2340,N » : 44° et 11,2340′. Or $\frac{11, 2340}{60} \approx 0, 187233$ , donc la latitude vaut 44,1872° N (positive).

c) « 00058.5620,E » : pour la longitude, les degrés occupent 3 chiffres, soit 000°, et il reste 58,5620′. $\frac{58, 5620}{60} \approx 0, 976033$ , donc la longitude vaut 0,9760° E (positive).

d) Le préfixe GP indique le GPS. Le champ 7 donne 9 satellites, les champs 9 et 10 une altitude de 48,6 m. La qualité (champ 6) vaut 1 : la position est valide.

Exercice 6 — Degrés, minutes, secondes et distances

Moyen

On admet que la Terre est une sphère dont un méridien complet (tour passant par les deux pôles) mesure 40 000 km.

a) Convertir la latitude 42,6977° N en degrés, minutes, secondes (secondes arrondies à l'unité).
b) Convertir la longitude 2,8956° E en degrés, minutes, secondes (secondes arrondies à l'unité).
c) Montrer qu'une minute de latitude correspond à une distance d'environ 1,85 km.
d) Deux bateaux se trouvent sur le même méridien, aux latitudes 45,20° N et 47,35° N. Calculer la distance qui les sépare, arrondie au kilomètre.

a) Degrés : 42. Puis $0, 6977 \times 60 = 41, 862$ , donc 41′. Puis $0, 862 \times 60 = 51, 72$ , soit 52″ après arrondi. Latitude : 42° 41′ 52″ N.

b) Degrés : 2. Puis $0, 8956 \times 60 = 53, 736$ , donc 53′. Puis $0, 736 \times 60 = 44, 16$ , soit 44″. Longitude : 2° 53′ 44″ E.

c) Un méridien complet correspond à 360° et mesure 40 000 km, donc 1° de latitude correspond à $\frac{40 000}{360} \approx 111, 11$ km. Comme 1° = 60′, une minute correspond à $\frac{111, 11}{60} \approx 1, 852$ km, soit environ 1,85 km. C'est la définition historique du mille marin.

d) Sur un même méridien, l'écart de latitude vaut $47, 35 - 45, 20 = 2, 15 °$ . La distance vaut $2, 15 \times 111, 11 \approx 238, 9$ km, soit environ 239 km.

Exercice 7 — Un footing qui zigzague

Moyen

Léa court avec son téléphone. Dans un parc dégagé, sa trame GGA indique 11 satellites et un HDOP de 0,8. Dans une rue étroite bordée d'immeubles, elle indique 5 satellites et un HDOP de 4,6 ; la trace affichée traverse alors les immeubles. On admet que l'erreur horizontale est d'environ HDOP × 3,5 m.

a) Expliquer deux phénomènes qui dégradent la position dans la rue étroite.
b) Estimer l'erreur horizontale dans le parc, puis dans la rue.
c) Dans le métro, le téléphone ne reçoit plus aucun signal GNSS. Expliquer pourquoi, et indiquer comment il peut malgré tout afficher une position approximative.
d) Proposer une évolution technique du récepteur qui améliorerait la précision en ville.

a) 1. Les masques : les immeubles cachent une partie du ciel, donc moins de satellites sont visibles (5 au lieu de 11), et ceux qui restent sont regroupés dans l'axe de la rue, d'où une mauvaise géométrie (HDOP élevé). 2. Les multitrajets : les signaux se réfléchissent sur les façades et arrivent en retard ; la durée mesurée est trop longue, donc la distance calculée est fausse.

b) Parc : $0, 8 \times 3, 5 =$ 2,8 m. Rue : $4, 6 \times 3, 5 =$ 16,1 m. Une erreur de 16 m suffit à placer la trace sur les bâtiments voisins.

c) Les signaux des satellites, très faibles, ne traversent pas le sol et le béton : aucun satellite n'est reçu. Le téléphone peut alors estimer sa position à partir des bornes Wi-Fi ou des antennes-relais du réseau mobile qu'il détecte, dont les positions sont connues ; la précision est moindre (dizaines de mètres, voire plus).

d) Par exemple : recevoir plusieurs constellations (GPS, Galileo, GLONASS, BeiDou) pour disposer de plus de satellites visibles, et utiliser deux fréquences, ce qui corrige en partie l'effet de l'ionosphère et aide à repérer les signaux réfléchis.

Exercice 8 — Trilatération dans un plan

Difficile

Pour comprendre la trilatération, on étudie une version plane. Un récepteur capte les signaux de trois balises radio synchronisées, émis à la vitesse $c = 3, 00 \times 10^{8}$ m/s.
Document 1 — Position des balises (repère orthonormé, unité : le kilomètre) : A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 9).
Document 2 — Durées de trajet mesurées

Balise	A	B	C
Durée (µs)	16,7	16,7	24,0

1. Calculer, au dixième de kilomètre, les distances $d_{A}$ , $d_{B}$ et $d_{C}$ du récepteur à chaque balise.
2. Montrer que les points $P_{1} (4; 3)$ et $P_{2} (4; - 3)$ sont tous deux situés à 5,0 km de A et de B.
3. Expliquer pourquoi les balises A et B ne suffisent pas à localiser le récepteur.
4. Déterminer, à l'aide de la balise C, la position du récepteur.
5. Avec des satellites, le récepteur est dans l'espace. Expliquer pourquoi trois distances donnent deux positions possibles, et pourquoi on utilise en pratique au moins quatre satellites.

1. On applique $d = c \times Δ t$ avec 1 µs = $10^{- 6}$ s. $d_{A} = d_{B} = 3, 00 \times 10^{8} \times 16, 7 \times 10^{- 6} = 5 010$ m, soit 5,0 km. $d_{C} = 3, 00 \times 10^{8} \times 24, 0 \times 10^{- 6} = 7 200$ m, soit 7,2 km.

2. Avec la formule de la distance dans un repère orthonormé :
$P_{1} A = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ ; $P_{1} B = \sqrt{(4 - 8)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$ .
$P_{2} A = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = 5$ ; $P_{2} B = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 3)^{2}} = 5$ .
Les deux points sont donc à 5,0 km de A et de B.

3. Le récepteur est sur le cercle de centre A et de rayon 5,0 km, et sur celui de centre B et de même rayon. Ces deux cercles se coupent en deux points, $P_{1}$ et $P_{2}$ : deux balises laissent une ambiguïté.

4. $P_{1} C = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (3 - 9)^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7, 21$ km. $P_{2} C = \sqrt{4^{2} + (- 3 - 9)^{2}} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} \approx 12, 65$ km. La distance mesurée vaut 7,2 km : seul $P_{1}$ convient. Le récepteur est en $P_{1} (4; 3)$ .

5. Dans l'espace, une distance place le récepteur sur une sphère. Deux sphères se coupent selon un cercle, et ce cercle coupe la troisième sphère en deux points ; l'un est aberrant (loin de la surface terrestre) et on l'écarte. Mais ce raisonnement suppose une horloge parfaite, ce qui n'est pas le cas du récepteur : son décalage d'horloge est une quatrième inconnue, en plus des trois coordonnées. Il faut donc une quatrième mesure, donc au moins quatre satellites.

Exercice 9 — Décoder une trame en Python

Difficile

Document — Programme d'un élève

trame = '$GPGGA,063015.00,3345.6480,S,15112.3060,E,1,06,1.8,21.7,M,22.4,M,,*47'
champs = trame.split(',')

def latitude_decimale(champ, hemisphere):
    degres = int(champ[0:2])
    minutes = float(champ[2:])
    lat = degres + minutes / 60
    if hemisphere == 'S':
        lat = -lat
    return round(lat, 4)

La méthode split(',') découpe la chaîne à chaque virgule et renvoie la liste des morceaux, numérotés à partir de 0.

1. Que contiennent champs[2], champs[3] et champs[7] ?
2. Quelle valeur renvoie latitude_decimale(champs[2], champs[3]) ? Détailler l'exécution.
3. Un élève appelle latitude_decimale(champs[4], champs[5]) pour obtenir la longitude et obtient 16.8718. Expliquer l'erreur.
4. Écrire une fonction longitude_decimale(champ, direction) correcte, puis donner la valeur qu'elle renvoie pour cette trame.
5. Écrire une instruction qui affiche « Position non valide » lorsque le champ de qualité de la trame vaut 0.

1. La liste commence par champs[0] = '$GPGGA', puis champs[1] = l'heure. Donc champs[2] = '3345.6480' (latitude), champs[3] = 'S' (hémisphère), champs[7] = '06' (nombre de satellites). Ce sont des chaînes de caractères.

2. champ[0:2] = '33', donc degres = 33. champ[2:] = '45.6480', donc minutes = 45.648. Puis lat = 33 + 45.648/60 = 33 + 0.7608 = 33.7608. L'hémisphère vaut 'S', donc lat devient −33.7608. La fonction renvoie −33.7608.

3. Pour la longitude, les degrés occupent trois chiffres (dddmm.mmmm). La fonction lit seulement deux chiffres : degres = 15 au lieu de 151, et minutes = float('112.3060') = 112.306 au lieu de 12.306. Elle calcule 15 + 112.306/60 ≈ 16.8718 : le résultat est faux, la bonne longitude est proche de 151°.

def longitude_decimale(champ, direction):
    degres = int(champ[0:3])
    minutes = float(champ[3:])
    lon = degres + minutes / 60
    if direction == 'W':
        lon = -lon
    return round(lon, 4)

Avec '15112.3060' et 'E' : 151 + 12.306/60 = 151 + 0.2051 = 151.2051 (Est, donc positif).

5. Le champ de qualité est champs[6], une chaîne de caractères :

if champs[6] == '0':
    print('Position non valide')

Il faut comparer à la chaîne '0' et non au nombre 0, puisque split renvoie des chaînes.

Exercice 10 — Deux téléphones, une même borne

Difficile

Une classe place deux téléphones sur une borne dont la position exacte est connue grâce à un relevé de géomètre. Toutes les dix minutes, elle note l'écart entre la position affichée et la position exacte.
Document 1 — Écarts mesurés (en mètres)

Relevé	1	2	3	4	5
Téléphone 1	6,8	9,1	4,7	11,6	7,3
Téléphone 2	2,4	3,1	1,9	2,8	3,6

Document 2 — Fiches techniques. Téléphone 1 : récepteur GPS seul, une fréquence. Téléphone 2 : récepteur GPS et Galileo, deux fréquences. La propagation dans l'ionosphère dépend de la fréquence du signal.
On prend 1° de latitude ≈ 111,1 km.

1. Calculer l'écart moyen de chaque téléphone.
2. Pour chaque téléphone, donner l'écart maximal et l'étendue des écarts. Quel téléphone donne les positions les plus régulières ?
3. En vous appuyant sur le document 2, proposer deux explications de la différence de précision.
4. Montrer qu'un écart de 0,0001° en latitude correspond à environ 11 m.
5. Le téléphone 1 affiche la latitude 43,2964871°. Un élève en conclut : « la position est connue au centimètre près ». Expliquer son erreur et indiquer combien de décimales ont réellement un sens.

1. Téléphone 1 : $\frac{6, 8 + 9, 1 + 4, 7 + 11, 6 + 7, 3}{5} = \frac{39, 5}{5} =$ 7,9 m. Téléphone 2 : $\frac{2, 4 + 3, 1 + 1, 9 + 2, 8 + 3, 6}{5} = \frac{13, 8}{5} =$ 2,76 m, soit environ 2,8 m.

2. Téléphone 1 : écart maximal 11,6 m, étendue $11, 6 - 4, 7 =$ 6,9 m. Téléphone 2 : écart maximal 3,6 m, étendue $3, 6 - 1, 9 =$ 1,7 m. Le téléphone 2 est à la fois plus précis en moyenne (environ 2,9 fois moins d'écart) et plus régulier.

3. 1. Recevoir GPS et Galileo multiplie le nombre de satellites visibles : la géométrie est meilleure et un satellite mal reçu pèse moins dans le calcul. 2. La traversée de l'ionosphère retarde le signal, et ce retard dépend de la fréquence : en comparant les deux fréquences, le téléphone 2 peut estimer ce retard et le corriger en partie, ce que le téléphone 1 ne peut pas faire.

4. $0, 0001 \times 111, 1 = 0, 01111$ km, soit 11,1 m ≈ 11 m.

5. Une unité de la 7^e décimale vaut $10^{- 7} \times 111 100 \approx 0, 011$ m, soit environ 1 cm : c'est la résolution de l'affichage, pas la précision de la mesure. Le document 1 montre que le téléphone 1 se trompe en moyenne de 7,9 m. D'après la question 4, la 4^e décimale correspond à environ 11 m : seules 4 décimales (43,2965°) ont réellement un sens, les suivantes sont du « bruit ».

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