Systèmes de positionnement (GPS)

Exercice 1 — Coordonnées géographiques
Corrigé :
1. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du point, compris entre −90° (pôle Sud) et +90° (pôle Nord). La longitude est l'angle mesuré depuis le méridien de Greenwich, compris entre −180° et +180°. (1 pt chacun)
2. $43 + \frac{18}{60} = 43 + 0{,}30 = \mathbf{43{,}30°N}$. (1 pt)
3. WGS84 (World Geodetic System 1984) est un système de référence géodésique mondial qui modélise la Terre comme un ellipsoïde légèrement aplati aux pôles. Il est utilisé par le GPS car il donne un référentiel commun pour toutes les positions sur Terre. (1 pt)

Exercice 2 — Calcul de distance par temps de trajet
Corrigé :
a) $d = c \times \Delta t = 3 \times 10^8 \times 6{,}4 \times 10^{-2} = 3 \times 6{,}4 \times 10^{8-2} = 19{,}2 \times 10^6 = \mathbf{1{,}92 \times 10^7}$ m. (2 pts : 1 pt formule + 1 pt calcul)
b) $d = 1{,}92 \times 10^7$ m $= \mathbf{19 200}$ km. (1 pt)
c) $\Delta t = \frac{d}{c} = \frac{19 200 \times 10^3}{3 \times 10^8} = \frac{1{,}92 \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0{,}064$ s $= \mathbf{6{,}4 \times 10^{-2}}$ s. (2 pts)

Exercice 3 — La trilatération et l'erreur d'horloge
Corrigé :
a) Chaque satellite transmet son heure d'émission et sa position. Le récepteur calcule le temps de trajet du signal ($\Delta t$) puis la distance $d = c \times \Delta t$. Il se trouve alors sur une sphère de rayon $d$ centrée sur ce satellite. L'intersection de 3 sphères donne (théoriquement) un point en 3D. (2 pts)
b) L'horloge du récepteur (à quartz) est imprécise, contrairement aux horloges atomiques des satellites. Elle introduit un biais d'horloge $\delta t$ qui fausse toutes les distances calculées. Le 4e satellite fournit une 4e équation, permettant de résoudre le système à 4 inconnues : $x$, $y$, $z$ et $\delta t$. (2 pts)
c) $\delta d = c \times \delta t = 3 \times 10^8 \times 1{,}5 \times 10^{-6} = \mathbf{450}$ m. (1 pt)

Exercice 4 — Les systèmes GNSS et leurs enjeux
Corrigé :
a) Les quatre systèmes GNSS principaux sont : GPS (États-Unis), GLONASS (Russie), Galileo (Union européenne), BeiDou (Chine). (0,5 pt par système, total 2 pts)
b) Arguments valides : (1) Souveraineté stratégique : le GPS est contrôlé par l'armée américaine, qui peut le dégrader ou le couper pour des utilisateurs non américains. (2) Gestion civile : Galileo est géré par des organismes civils, garantissant l'accès pour tous les usages. (3) Précision supérieure : Galileo offre ~1 m en service ouvert. (4) Indépendance économique : ne pas dépendre d'un système étranger pour les infrastructures critiques. (2 pts pour 2 arguments valides)
c) Le spoofing (leurrage) consiste à émettre de faux signaux GPS imitant les signaux réels, pour faire croire à un récepteur qu'il se trouve à un endroit différent de sa vraie position. Pour les infrastructures critiques (aviation, navigation maritime, réseaux financiers), cela peut entraîner des accidents, des erreurs de routage ou des fraudes. (2 pts)