Vision et image : lentille mince convergente et œil

1. L'image est recueillie sur un écran : les rayons s'y croisent effectivement, c'est une image réelle. Une lentille convergente ne donne une image réelle d'un objet réel que si l'objet est placé au-delà du foyer objet F (plus loin de la lentille que F).

2. On convertit dans la même unité : 1,26 m = 126 cm. $|\gamma |=\frac{126}{1,8}=70$ ; l'image est renversée donc γ = −70.

3. L'image est renversée par rapport à la matrice : il suffit que l'image affichée sur la matrice soit elle-même à l'envers (inversée haut-bas et gauche-droite) pour que l'image projetée apparaisse à l'endroit.

4. $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$ avec $\overline{O{A}^{\prime }}=+420$ cm, donc $\overline{OA}=\frac{420}{-70}=-6,00$ cm. La matrice est à 6,00 cm de l'objectif.

5. Le rayon issu de B parallèle à l'axe traverse la lentille en I avec OI = AB, puis passe par F' et B'. Thalès dans les triangles F'OI et F'A'B' : $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=70$, donc $F^{\prime }{A}^{\prime }=70f^{\prime }$. Comme F' est entre O et A' : $O{A}^{\prime }=O{F}^{\prime }+F^{\prime }{A}^{\prime }=f^{\prime }+70f^{\prime }=71f^{\prime }$. D'où $f^{\prime }=\frac{420}{71}=5,92$ cm : f' ≈ 5,92 cm.

Contrôle : la matrice (6,00 cm) est juste au-delà de F (5,92 cm), entre f' et 2f' : l'image est bien réelle, renversée et très agrandie, conformément au cours.

6. Si l'écran recule, F'A' augmente alors que OF' est fixe : $|\gamma |=\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}$ augmente, l'image nette est plus grande. Par ailleurs $OA=\frac{O{A}^{\prime }}{|\gamma |}$, et d'après le cours, plus l'image est lointaine, plus l'objet doit être proche de F : il faut rapprocher l'objectif de la matrice, sans jamais descendre à f'.

1. Un objet très lointain se comporte comme un objet à l'infini : les rayons issus d'un de ses points arrivent parallèles et convergent dans le plan focal image. Le capteur doit donc être dans ce plan : l'objectif est à 50 mm du capteur.

2. L'image nette est maintenant à 50,6 mm de l'objectif : $50,6-50,0=0,6$ mm. On a éloigné l'objectif du capteur de 0,6 mm (en l'avançant vers la personne). Le déplacement est très faible car la personne est loin devant f'.

3. Le rayon issu du sommet de la personne passant par O n'est pas dévié ; Thalès dans les triangles OAB et OA'B' : $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{50,6}{-4000}=-0,01265$. Donc $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-0,01265\times 1800=-22,8$ mm : image renversée de 22,8 mm.

4. Côté de 36 mm vertical : 22,8 mm est inférieur à 36 mm, la personne est entière, avec de la marge. Côté de 24 mm vertical : 22,8 mm est encore inférieur à 24 mm, elle tient tout juste (environ 0,6 mm de marge en haut et en bas si elle est bien centrée) : cadrage très serré.

5. Appareil photo : la distance focale de l'objectif est fixe, c'est la distance objectif–capteur qui varie. Œil : la distance cristallin–rétine est fixe, c'est la distance focale du cristallin qui varie (accommodation). Dans les deux cas, le but est le même : amener l'image sur l'écran (capteur ou rétine).

1. Diaphragme ↔ iris ; lentille convergente ↔ cristallin ; écran ↔ rétine. Changer de lentille modélise la variation de distance focale du cristallin.

2. Un objet très éloigné donne une image dans le plan focal image. Pour qu'elle soit sur l'écran, il faut que F' soit sur l'écran : f' = 22,0 cm, valeur disponible (entre 14,0 et 30,0 cm). C'est la situation de l'œil normal au repos.

3. L'image doit se former sur l'écran : $\overline{O{A}^{\prime }}=+22,0$ cm, et $\overline{OA}=-110$ cm. $\gamma =\frac{22,0}{-110}=-0,200$. $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-0,200\times 5,5=-1,1$ cm : γ = −0,200, image renversée de 1,1 cm.

4. Le rayon issu de B parallèle à l'axe traverse la lentille en I avec OI = AB et émerge par F' puis B'. Thalès dans les triangles F'OI et F'A'B' : $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=0,200$. F' étant entre O et A' : $O{A}^{\prime }=O{F}^{\prime }+F^{\prime }{A}^{\prime }=f^{\prime }+0,200f^{\prime }=1,2f^{\prime }$. Donc $22,0=1,2f^{\prime }$ et $f^{\prime }=\frac{22,0}{1,2}=18,3$ cm : f' ≈ 18,3 cm.

5. Objet à l'infini : f' = 22,0 cm ; objet à 1,10 m : f' = 18,3 cm. Quand l'objet se rapproche, la distance focale nécessaire diminue : la lentille doit être plus convergente. C'est l'accommodation : dans l'œil, le cristallin se bombe, la rétine ne bouge pas.

6. Pour l'objet à 35,0 cm : $|\gamma |=\frac{22,0}{35,0}=0,629$, et le même raisonnement donne $22,0=(1+0,629)f^{\prime }$, d'où $f^{\prime }=\frac{22,0}{1,629}=13,5$ cm. Cette valeur est inférieure à 14,0 cm, la plus petite disponible : impossible. Avec la lentille de 14,0 cm, pas assez convergente, l'image nette se forme derrière l'écran : sur l'écran, on n'obtient qu'une image floue. L'objet est plus proche que le punctum proximum de la maquette, le point le plus proche qu'elle peut voir net : comme un œil qui a atteint sa limite d'accommodation.

1. Par les hauteurs, $\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}$ avec $\overline{AB}=+2,5$ cm et des hauteurs d'image négatives (images renversées) : n° 1 : $\frac{-5,0}{2,5}=-2,0$ ; n° 2 : $-1,0$ ; n° 3 : $\frac{-1,3}{2,5}=-0,52$ ; n° 4 : $\frac{-0,63}{2,5}=-0,25$. Par les positions, $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$ : n° 1 : $\frac{33,0}{-16,5}=-2,00$ ; n° 2 : $-1,00$ ; n° 3 : $\frac{16,5}{-33,0}=-0,500$ ; n° 4 : $\frac{13,8}{-55,0}=-0,251$. Les deux méthodes concordent à la précision des mesures (écart de 0,02 au plus sur la n° 3) : les mesures sont cohérentes.

2. Mesure n° 2 : $\gamma =-1,0$, image de même taille, et OA = OA' = 22,0 cm. D'après le cours, cela se produit uniquement quand l'objet est à 2f' de la lentille (l'image est alors à 2f' de l'autre côté). Donc $2f^{\prime }=22,0$ cm et f' = 11,0 cm.

3. Thalès dans les triangles F'OI et F'A'B' (avec OI = AB) donne $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=|\gamma |$. Mesure n° 1 : $F^{\prime }{A}^{\prime }=O{A}^{\prime }-O{F}^{\prime }=33,0-11,0=22,0$ cm, donc $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=\frac{22,0}{11,0}=2,0=|\gamma |$. La valeur f' = 11,0 cm est confirmée.

4. Dans le tableau, quand OA augmente (16,5 → 22,0 → 33,0 → 55,0 cm), OA' diminue (33,0 → 22,0 → 16,5 → 13,8 cm). L'image se rapproche de la lentille quand l'objet s'éloigne : l'affirmation est fausse. L'élève a oublié que l'image et l'objet varient en sens contraires.

5. Un objet très éloigné envoie des faisceaux parallèles qui convergent dans le plan focal image : l'image tend vers F', à 11,0 cm de la lentille. Mesure n° 4 : l'objet est à 55,0 cm (cinq fois f') et l'image à 13,8 cm, déjà proche de 11,0 cm, et de plus en plus petite.

6. 8,5 cm est inférieur à f' = 11,0 cm : l'objet est entre F et O. Les rayons émergents divergent et ne se croisent pas après la lentille : aucune image réelle, donc rien de net sur l'écran, quelle que soit sa position.