Vision et image : lentille mince convergente et œil
Lentille mince convergente, foyers et distance focale ; rayons particuliers et construction de l’image réelle d’un objet plan ; position et nature de l’image ; grandissement par le théorème de Thalès ; modèle de l’œil réduit, accommodation et appareil photo.
À propos de cette page
Six problèmes corrigés, du plus simple au plus difficile : photographier la pleine Lune, le vidéoprojecteur de la classe, la mise au point d’un appareil photo, la mesure d’une distance focale par une image de même taille, une maquette d’œil sur le banc d’optique et l’étude expérimentale d’une lentille inconnue.
6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je fais un schéma : axe orienté dans le sens de la lumière, lentille, O, F, F′, objet et écran, avec les distances de l’énoncé.
Je repère ce que l’énoncé impose : image sur un écran (donc réelle et renversée), objet très éloigné (image dans le plan focal image), distance lentille–écran fixe.
Je choisis les triangles de Thalès utiles : sommet O pour relier γ aux positions, sommet F′ pour faire intervenir f′.
Je calcule une grandeur avant de m’en servir, avec toutes les longueurs dans la même unité et des valeurs non arrondies pour la suite.
Je contrôle avec le tableau du cours (comparaison avec f′ et 2f′) : image agrandie ou réduite, position cohérente.
Problème 1 · Photographier la pleine Lune★★★Facile
On photographie la pleine Lune, de diamètre 3 475 km, située à 384 400 km de la Terre (distance moyenne). L’objectif de l’appareil est modélisé par une lentille mince convergente ; le capteur mesure 24 mm × 36 mm.
1. La Lune se comporte comme un objet à l’infini : son image se forme dans le plan image de l’objectif.
Les rayons issus d’un point de la Lune arrivent parallèles : ils convergent dans le plan focal image.
2. Objectif de distance focale 200 mm : distance objectif–capteur pour une image nette : mm
Le capteur doit être dans le plan focal image : à f′ = 200 mm de l’objectif.
3. Diamètre de l’image de la Lune sur le capteur : ≈ mm
Rayon par O non dévié et Thalès : A′B′ = 3 475 × 200 ÷ 384 400 ≈ 1,81 mm (les kilomètres se simplifient).
4. Avec un téléobjectif de 600 mm, ce diamètre devient ≈ mm
A′B′ = 3 475 × 600 ÷ 384 400 ≈ 5,42 mm : trois fois plus, car la taille de l’image est proportionnelle à f′.
5. Distance focale qu’il faudrait pour que l’image de la Lune occupe toute la hauteur de 24 mm : ≈ m
f′ = 24 × 384 400 ÷ 3 475 ≈ 2 655 mm ≈ 2,65 m.
Problème 2 · Le vidéoprojecteur de la salle de classe★★★Moyen
L’objectif d’un vidéoprojecteur est modélisé par une lentille mince convergente de centre optique O et de foyer image F′. La matrice lumineuse qui forme l’image à projeter joue le rôle d’objet AB ; elle mesure 1,8 cm de large. L’écran est à 4,20 m de l’objectif et l’image nette projetée mesure 1,26 m de large.
1. L’image est recueillie sur un écran : c’est une image .
Les rayons s’y croisent effectivement : image réelle.
2. Pour cela, la matrice doit être placée plus loin de l’objectif que le foyer .
Une lentille convergente ne donne une image réelle d’un objet réel que si l’objet est au-delà du foyer objet F.
3. L’image est renversée. Grandissement : γ =
1,26 m = 126 cm ; |γ| = 126 ÷ 1,8 = 70 ; image renversée : γ = −70.
4. Pour que les élèves voient l’image à l’endroit, l’image affichée sur la matrice est mise .
L’objectif renverse l’image : il suffit que la matrice affiche l’image à l’envers (haut-bas et gauche-droite inversés).
5. Distance entre la matrice et l’objectif : cm
cm : la matrice est à 6,00 cm de l’objectif.
6. Triangles de sommet F′ : OA′ = 71 × f′. Distance focale : f′ ≈ cm
F′A′ = 70 × f′ et OA′ = f′ + F′A′ = 71 × f′ ; f′ = 420 ÷ 71 ≈ 5,92 cm. La matrice (6,00 cm) est juste au-delà de F : image très agrandie, comme prévu.
7. On recule le vidéoprojecteur : l’image nette sera plus .
F′A′ augmente alors que OF′ est fixe : |γ| = F′A′ ÷ OF′ augmente, l’image est plus grande.
8. Pour garder une image nette, il faut l’objectif de la matrice.
Plus l’image est lointaine, plus l’objet doit être proche de F : il faut rapprocher l’objectif de la matrice, sans descendre à f′.
Problème 3 · Appareil photo et mise au point★★★Moyen
L’objectif d’un appareil photo est modélisé par une lentille mince convergente de distance focale f′ = 50 mm. Le capteur, rectangle de 24 mm × 36 mm, joue le rôle d’écran. Pour faire la mise au point, on déplace l’objectif par rapport au capteur, qui reste fixe dans le boîtier.
1. Pour un paysage très lointain, l’objectif doit être à mm du capteur.
Objet à l’infini : image dans le plan focal image. Le capteur doit y être : objectif à 50 mm du capteur.
2. On photographie une personne de 1,80 m debout à 4,00 m ; on admet que son image nette se forme à 50,6 mm de l’objectif. Déplacement de l’objectif : mm
50,6 − 50,0 = 0,6 mm : déplacement très faible, car la personne est loin devant f′.
3. Pour cela, on l’objectif du capteur.
L’image passe de 50 mm à 50,6 mm de l’objectif : on éloigne l’objectif du capteur (on l’avance vers la personne).
4. Hauteur de l’image de la personne sur le capteur : ≈ mm
, donc A′B′ = 0,01265 × 1 800 ≈ 22,8 mm, image renversée.
5. Côté de 24 mm tenu vertical, personne centrée : marge en haut et en bas ≈ mm
(24 − 22,8) ÷ 2 = 0,6 mm : la personne tient tout juste, cadrage très serré.
6. L’appareil photo garde fixe sa distance ; l’œil, lui, la fait varier.
Problème 4 · Mesurer une distance focale avec une image de même taille★★★Moyen
Au banc d’optique, on place un objet lumineux AB de 2,5 cm, une lentille mince convergente et un écran. On déplace la lentille et l’écran jusqu’à obtenir une image nette, renversée et de même taille que l’objet. La distance entre l’objet et l’écran vaut alors 72,0 cm.
1. Grandissement : γ =
Image renversée, de même taille : γ = −1.
2. Avec γ = OA′ ÷ OA = −1, la lentille est au du segment qui joint l’objet à l’écran.
: l’objet et l’image sont à la même distance de O, de part et d’autre. La lentille est au milieu.
3. Distance objet–lentille : cm
72,0 ÷ 2 = 36,0 cm.
4. Une image de même taille s’obtient quand l’objet est à 2f′ : f′ = cm
2f′ = 36,0 cm, donc f′ = 18,0 cm.
5. On rapproche l’objet à 27,0 cm de la lentille ; l’écran est alors à 54,0 cm. Avec les triangles de sommet F′, |γ| = F′A′ ÷ OF′ =
F′A′ = 54,0 − 18,0 = 36,0 cm ; |γ| = 36,0 ÷ 18,0 = 2,0. Contrôle par les positions : 54,0 ÷ 27,0 = 2,0.
6. Hauteur de la nouvelle image : cm
A′B′ = 2,0 × 2,5 = 5,0 cm, image renversée et agrandie, comme prévu pour un objet entre f′ et 2f′.
Problème 5 · Une maquette d’œil sur le banc d’optique★★★Difficile
Pour étudier l’accommodation, on construit une maquette d’œil : un diaphragme réglable, une lentille mince convergente interchangeable de centre optique O, et un écran fixe placé à 22,0 cm de O. On dispose de lentilles de distances focales comprises entre 14,0 cm et 30,0 cm.
1. Le diaphragme de la maquette modélise l’ de l’œil.
Diaphragme ↔ iris ; lentille ↔ cristallin ; écran ↔ rétine. Changer de lentille modélise la variation de distance focale du cristallin.
2. On vise un objet très éloigné. Distance focale de la lentille à choisir, en mètre : f′ = m
Image dans le plan focal image, qui doit être sur l’écran : f′ = 22,0 cm = 0,220 m, valeur disponible. C’est l’œil normal au repos.
3. On place un objet AB de 5,5 cm à 1,10 m de la lentille. Grandissement nécessaire pour que l’image soit sur l’écran : γ =
: γ = −0,200.
4. Hauteur de l’image : cm
A′B′ = 0,200 × 5,5 = 1,1 cm, image renversée.
5. Triangles de sommet F′ : 22,0 = 1,2 × f′. Distance focale nécessaire : f′ ≈ cm
6. Quand l’objet se rapproche, la distance focale nécessaire .
22,0 cm pour l’infini, 18,3 cm à 1,10 m : elle diminue, la lentille doit être plus convergente. C’est l’accommodation.
7. Pour un objet à 35,0 cm, le même raisonnement donne f′ ≈ cm
|γ| = 22,0 ÷ 35,0 ; 22,0 = (1 + 22,0 ÷ 35,0) × f′, d’où f′ = 22,0 × 35,0 ÷ 57,0 ≈ 13,5 cm, moins que 14,0 cm : impossible avec les lentilles disponibles.
8. Avec la lentille de 14,0 cm, pas assez convergente, l’image nette se forme l’écran.
Moins convergente que nécessaire, la lentille forme l’image plus loin : derrière l’écran, qui ne reçoit qu’une image floue. L’objet est plus proche que le punctum proximum de la maquette.
Problème 6 · Étude expérimentale d’une lentille inconnue★★★Difficile
Au laboratoire, on étudie une lentille mince convergente de distance focale inconnue. Un objet lumineux AB de 2,5 cm est placé à différentes distances de la lentille ; pour chaque position, on cherche l’image nette sur un écran et on mesure sa hauteur. Toutes les images obtenues sont renversées.
Mesure
n° 1
n° 2
n° 3
n° 4
Distance objet–lentille (cm)
16,5
22,0
33,0
55,0
Distance lentille–écran (cm)
33,0
22,0
16,5
13,8
Hauteur de l’image (cm)
5,0
2,5
1,3
0,63
1. Mesure n° 3, γ calculé avec les hauteurs :
γ = −1,3 ÷ 2,5 = −0,52 (image renversée).
2. Mesure n° 3, γ calculé avec les positions :
γ = 16,5 ÷ (−33,0) = −0,500. L’écart de 0,02 vient de la précision de la mesure de hauteur : les mesures sont cohérentes.
3. Numéro de la mesure pour laquelle l’image a la même taille que l’objet : n°
Mesure n° 2 : 2,5 cm pour l’objet comme pour l’image, et 22,0 cm de part et d’autre.
4. Distance focale de la lentille : f′ = cm
Image de même taille : objet à 2f′. 2f′ = 22,0 cm, donc f′ = 11,0 cm.
5. Vérification avec la mesure n° 1 : F′A′ ÷ OF′ =
F′A′ = 33,0 − 11,0 = 22,0 cm ; F′A′ ÷ OF′ = 22,0 ÷ 11,0 = 2,0 = |γ| (5,0 ÷ 2,5). f′ = 11,0 cm est confirmée.
6. D’après le tableau, quand l’objet s’éloigne, l’image se de la lentille.
OA passe de 16,5 à 55,0 cm pendant que OA′ passe de 33,0 à 13,8 cm : l’image se rapproche de la lentille.
7. Objet placé à 8,5 cm de la lentille : nombre de positions de l’écran donnant une image nette :
8,5 cm < f′ = 11,0 cm : objet entre F et O, rayons émergents divergents. Aucune image réelle, donc 0 position.
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