Vision et image : lentille mince convergente et œil

Rappel. Au collège, on a vu que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu transparent et homogène, et qu’on la représente par des rayons lumineux (Lumière : sources, propagation et vitesse, 5^e). Une lentille dévie les rayons parce qu’ils se réfractent en entrant dans le verre et en en sortant (Lumière : propagation, réfraction et dispersion).

Lentille mince convergente. Une lentille convergente est plus épaisse au centre qu’aux bords ; elle est mince si son épaisseur est faible devant son diamètre. Elle fait converger un faisceau de lumière parallèle. Symbole : un segment perpendiculaire à l’axe, terminé par deux pointes de flèche tournées vers l’extérieur. Une lentille plus épaisse sur les bords qu’au centre est divergente (pointes tournées vers l’intérieur) : elle écarte les rayons et ne donne pas d’image réelle d’un objet réel.

Centre optique et axe optique. Le centre optique O est le centre de la lentille. L’axe optique est la droite qui passe par O perpendiculairement à la lentille ; on l’oriente dans le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite.

Foyers et distance focale. Le foyer image F′ est le point de l’axe où convergent, après la lentille, les rayons arrivés parallèlement à l’axe. Le foyer objet F est le symétrique de F′ par rapport à O. La distance focale est f′ = OF′ = OF ; elle s’exprime en mètre (m) dans le Système international. Plus f′ est petite, plus la lentille est convergente : elle dévie davantage les rayons.

Plan focal image. C’est le plan perpendiculaire à l’axe qui passe par F′. Des rayons parallèles entre eux, même inclinés sur l’axe, convergent en un point de ce plan. Un objet très éloigné (« à l’infini ») envoie sur la lentille des rayons pratiquement parallèles : son image se forme dans le plan focal image. C’est ainsi qu’on mesure rapidement une distance focale.

Rayons parallèles à l’axe → F′ ; rayons parallèles inclinés → un point P du plan focal image.

Les trois rayons particuliers (modèle du rayon lumineux) :

1. un rayon qui passe par le centre optique O n’est pas dévié ;
2. un rayon incident parallèle à l’axe émerge en passant par le foyer image F′ ;
3. un rayon incident qui passe par le foyer objet F émerge parallèlement à l’axe.

Objet réel, image réelle. Un objet plan AB (A sur l’axe, AB perpendiculaire à l’axe) placé avant la lentille est un objet réel. Son image A′B′ est réelle si les rayons émergents issus de B se croisent effectivement en B′, après la lentille : on peut alors la recueillir sur un écran.

Construire l’image (à l’échelle) :

1. tracer l’axe et la lentille, placer O, F et F′ (OF = OF′ = f′ à l’échelle) ;
2. placer l’objet : A sur l’axe, B au-dessus ;
3. tracer depuis B deux rayons particuliers : le rayon parallèle à l’axe (il ressort par F′) et le rayon par O (tout droit) ;
4. B′ est à l’intersection des rayons émergents ; A′ est le projeté de B′ sur l’axe, car l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe est perpendiculaire à l’axe ;
5. mesurer OA′ et A′B′, convertir avec l’échelle, conclure : réelle ou non, droite ou renversée, agrandie ou réduite.

Deux rayons suffisent ; le troisième sert de vérification. Au laboratoire, on produit l’image sur un banc d’optique : objet lumineux, lentille, écran. On déplace l’écran jusqu’à ce que l’image soit nette, puis on mesure sa position et sa taille.

f′ = 4,0 cm ; objet de 2,0 cm à 10,0 cm avant O. Rouge : rayon parallèle à l’axe ; bleu : rayon par O ; vert : rayon par F.

La construction montre où se forme l’image selon la distance objet–lentille OA, comparée à f′ et à 2f′ :

Ce qu’il faut en retenir. Plus l’objet se rapproche de F, plus l’image s’éloigne de la lentille et plus elle est grande : c’est le principe du projecteur. Plus l’objet s’éloigne, plus l’image se rapproche de F′ et plus elle est petite : c’est la situation de l’appareil photo. Objet et image se déplacent dans le même sens.

Objet en F ou entre F et O. Objet en F : les rayons issus de B émergent parallèles entre eux, ils ne se coupent pas à distance finie. Objet entre F et O : les rayons émergents divergent et ne se croisent jamais après la lentille ; rien de net n’apparaît sur l’écran, quelle que soit sa position (on parle d’image virtuelle, étudiée en 1^re).

Toute la lentille sert. Chaque point de l’image reçoit des rayons passés par toute la lentille : si l’on cache une partie de la lentille, l’image reste entière mais devient moins lumineuse.

Mesures algébriques. On oriente l’axe optique dans le sens de la lumière, avec O pour origine, et la verticale vers le haut. $\overline{OA}$ est négatif pour un objet placé avant la lentille, $\overline{OA\prime }$ positif pour une image réelle ; $\overline{AB}$ est positif si B est au-dessus de l’axe.

Grandissement. $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{A\prime B\prime }}{\overline{AB}}}$, sans unité (quotient de deux longueurs dans la même unité). Si $\gamma$ est négatif, l’image est renversée ; si $|\gamma |>1$, elle est agrandie ; si $|\gamma |<1$, elle est réduite.

Déterminer γ avec les triangles de sommet O. Le rayon issu de B qui passe par O n’est pas dévié : B, O et B′ sont alignés, comme A, O et A′, et (AB) est parallèle à (A′B′). Le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OA′B′ donne, en mesures algébriques :

Pour une image réelle d’un objet réel, $\overline{OA}<0$ et $\overline{OA\prime }>0$ : $\gamma$ est négatif, l’image est toujours renversée.

Triangles OAB et OA′B′ : configuration de Thalès de sommet O.

Avec les triangles de sommet F′. Le rayon issu de B parallèle à l’axe atteint la lentille en I, avec OI = AB, puis passe par F′ et B′. Thalès dans les triangles F′OI et F′A′B′ donne, en longueurs : ${\displaystyle \frac{A\prime B\prime }{AB}}={\displaystyle \frac{F\prime A\prime }{OF\prime }}$, donc $F\prime A\prime =|\gamma |\times f\prime$. Comme F′ est entre O et A′ : $OA\prime =f\prime +F\prime A\prime =(1+|\gamma |)\times f\prime$. Cette relation sert quand on connaît la position de l’écran et la taille de l’image.

Triangles F′OI et F′A′B′ : configuration de Thalès de sommet F′.

Objet très éloigné. Son image est dans le plan focal image : OA′ ≈ f′, donc A′B′ ≈ AB × f′ ÷ OA. À distance égale, la taille de l’image est proportionnelle à la distance focale.

Vision nette. Un objet est vu net quand son image se forme sur la rétine. La distance cristallin–rétine est fixe (environ 17 mm dans le modèle réduit). L’image sur la rétine est réelle et renversée ; le cerveau interprète les signaux transmis par la rétine et nous fait percevoir le monde à l’endroit.

Accommodation. Œil normal au repos : son foyer image est sur la rétine, il voit net les objets éloignés sans effort (son punctum remotum, le point le plus éloigné vu net, est à l’infini). À objet fixé, une lentille plus convergente forme l’image plus près d’elle. Quand l’objet se rapproche, la contraction des muscles ciliaires permet au cristallin de se bomber : il devient plus convergent, sa distance focale diminue et l’image reste sur la rétine. Cette capacité est limitée : le point le plus proche vu net est le punctum proximum, à 25 cm environ pour un adulte (valeur conventionnelle ; il est plus proche chez l’enfant et s’éloigne avec l’âge).

Œil et appareil photo. Objectif ↔ cristallin, capteur ↔ rétine, diaphragme ↔ iris. Mais l’appareil fait la mise au point en déplaçant l’objectif (distance focale fixe), alors que l’œil modifie sa distance focale à distance cristallin–rétine fixe.