Vision et image : lentille mince convergente et œil

a) Le foyer image F' est sur l'axe optique, après la lentille (du côté où sort la lumière), à la distance $O{F}^{\prime }=f^{\prime }=6,5$ cm. Le foyer objet F est le symétrique de F' par rapport à O : il est sur l'axe, 6,5 cm avant la lentille.

b) Un rayon incident parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image : le rayon issu de B atteint la lentille en un point I situé à la hauteur de B, puis repart en passant par F'.

c) Un rayon incident passant par le foyer objet émerge parallèlement à l'axe : le rayon issu de B passe par F, atteint la lentille en un point J, puis ressort parallèle à l'axe optique.

d) Le rayon passant par le centre optique n'est pas dévié : il continue en ligne droite. Lorsque l'image est réelle, tous les rayons émergents issus de B passent par le même point B'. Deux droites non parallèles se coupent en un seul point : l'intersection de deux rayons émergents suffit à placer B', le troisième sert de vérification.

a) Le Soleil est à environ 150 millions de kilomètres, distance immense devant la taille de la lentille : les rayons issus d'un même point du Soleil qui atteignent la lentille font entre eux un angle négligeable. Le Soleil se comporte comme un objet à l'infini.

b) Un faisceau parallèle à l'axe converge, après une lentille convergente, au foyer image F'. L'image du Soleil se forme donc dans le plan focal image, au voisinage de F'.

c) La tache la plus nette indique la position de F' : $f^{\prime }=O{F}^{\prime }=18,5$ cm, soit f' = 0,185 m.

d) Une lentille à bords épais est divergente : elle ne fait pas converger un faisceau parallèle, donc elle ne donne aucune image réelle du Soleil sur la feuille. La mesure est impossible avec elle.

a) L'image est recueillie sur un écran : les rayons émergents s'y croisent effectivement. L'image est donc réelle.

b) Avec l'axe vertical orienté vers le haut : $\overline{AB}=+3,0$ cm et, l'image étant renversée, $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-7,5$ cm. $\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{-7,5}{3,0}=-2,5$, soit γ = −2,5.

c) Avec l'axe optique orienté dans le sens de la lumière et d'origine O : $\overline{OA}=-14,0$ cm et $\overline{O{A}^{\prime }}=+35,0$ cm. Par Thalès, $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{35,0}{-14,0}=-2,5$. Les deux calculs donnent la même valeur : les mesures sont cohérentes.

d) $|\gamma |=2,5$, supérieur à 1 : l'image est agrandie 2,5 fois (et renversée, car $\gamma$ est négatif).

a) On trace l'axe et la lentille, on place F à 3,0 cm avant O et F' à 3,0 cm après O, puis A à 4,5 cm avant O et B à 1,0 cm au-dessus de A. Rayon 1 : issu de B parallèle à l'axe, il atteint la lentille en I (1,0 cm au-dessus de O) et émerge en passant par F'. Rayon 2 : issu de B, il passe par O sans être dévié. Leur intersection après la lentille est B' ; A' est le projeté de B' sur l'axe.

b) On mesure OA' ≈ 9,0 cm (image après la lentille) et B' est 2,0 cm sous l'axe : A'B' ≈ 2,0 cm.

c) L'image se forme après la lentille à l'intersection de rayons réels : elle est réelle. B' est sous l'axe : elle est renversée. Elle est deux fois plus grande que l'objet : agrandie. C'est cohérent avec le cours : $f^{\prime }=3,0$ cm < OA = 4,5 cm < 2f' = 6,0 cm, et l'image est bien au-delà de 6,0 cm.

d) Par les hauteurs : $\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{-2,0}{1,0}=-2,0$. Par les positions : $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{9,0}{-4,5}=-2,0$. Les deux valeurs concordent : γ = −2,0, les mesures sont validées.

On compare d à f' = 12 cm et à 2f' = 24 cm.

a) d = 40 cm est supérieure à 2f' : l'image est réelle, renversée, réduite, située après la lentille entre F' (12 cm) et le point à 24 cm.

b) d = 2f' : l'image est à 24 cm après la lentille, réelle, renversée et de même taille que l'objet ($\gamma =-1$).

c) f' < d < 2f' : l'image est réelle, renversée, agrandie, située au-delà de 24 cm après la lentille.

d) d = f' : l'objet est dans le plan focal objet. Les rayons issus de B émergent parallèles entre eux : l'image est rejetée à l'infini, aucune image nette sur un écran à distance finie.

e) d = 7 cm est inférieure à f' : l'objet est entre F et O, les rayons émergents divergent et ne se croisent pas après la lentille. Aucune image réelle : rien sur l'écran (on obtiendrait une image virtuelle, étudiée en 1re).

a) Le rayon issu de B est parallèle à l'axe : il reste à la hauteur de B jusqu'à la lentille. Le point I est donc à la même distance de l'axe que B, d'où OI = AB (ABIO est un rectangle).

b) Le rayon émergent issu de I passe par F' puis par B' : I, F' et B' sont alignés. O, F' et A' sont alignés sur l'axe. Les droites (OI) et (A'B') sont parallèles, toutes deux perpendiculaires à l'axe. Le théorème de Thalès dans les triangles F'OI et F'A'B' donne $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{OI}=\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{F^{\prime }O}$. Comme OI = AB : $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}$.

c) $F^{\prime }{A}^{\prime }=O{A}^{\prime }-O{F}^{\prime }=7,0-5,0=2,0$ cm. Donc $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB\times \frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=4,0\times \frac{2,0}{5,0}=1,6$ cm : A'B' = 1,6 cm.

d) L'image réelle est renversée : $\gamma =\frac{-1,6}{4,0}=-0,40$. Or $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$, donc $\overline{OA}=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\gamma }=\frac{7,0}{-0,40}=-17,5$ cm. γ = −0,40 et l'objet est à 17,5 cm avant la lentille.

a) Le rayon issu du sommet B du pylône passant par O n'est pas dévié et atteint la rétine en B'. Les triangles OAB et OA'B' sont en configuration de Thalès (AB et A'B' perpendiculaires à l'axe) : $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{O{A}^{\prime }}{OA}$. Donc $A^{\prime }{B}^{\prime }=28\times \frac{16,8\times {10}^{-3}}{350}=1,34\times {10}^{-3}$ m, soit A'B' ≈ 1,34 mm.

b) B est au-dessus de l'axe ; le rayon BO traverse l'axe en O, donc B' est en dessous : l'image est renversée. C'est le cerveau qui interprète les signaux transmis par la rétine et restitue une perception à l'endroit.

c) Même raisonnement, avec OA = 38 cm = 380 mm : $A^{\prime }{B}^{\prime }=4,2\times \frac{16,8}{380}=0,19$ mm, soit A'B' ≈ 0,19 mm.

d) Pour voir net la lettre, le cristallin se bombe : seule sa distance focale change. Le centre optique O et la distance cristallin–rétine restent les mêmes, et un rayon passant par O n'est jamais dévié, quelle que soit la distance focale. La relation de Thalès utilisée reste donc valable.

a) Première erreur : un rayon incident parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image F', situé après la lentille, et non par F. Seconde erreur : c'est le rayon passant par le foyer objet F, situé avant la lentille, qui ressort parallèle à l'axe. Un rayon issu de B ne peut d'ailleurs pas passer par F' avant d'avoir traversé la lentille.

b) L'image est recueillie sur un écran : c'est une image réelle d'un objet réel. Les rayons issus de B se croisent en B' après avoir traversé la lentille, de l'autre côté de l'axe : l'image est renversée, donc $\gamma$ est nécessairement négatif. Un $\gamma$ positif est impossible ici.

c) $\overline{OA}=-12,6$ cm et $\overline{O{A}^{\prime }}=+15,8$ cm. $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{15,8}{-12,6}=-1,25$. Donc $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\gamma \times \overline{AB}=-1,25\times 2,6=-3,3$ cm. γ ≈ −1,25 ; image renversée de 3,3 cm. La hauteur de l'élève était juste, mais pas le sens.

d) $f^{\prime }=7,0$ cm et $2f^{\prime }=14,0$ cm : l'objet vérifie f' < OA = 12,6 cm < 2f'. D'après le cours, l'image se forme au-delà de 2f', donc à plus de 14,0 cm de la lentille, c'est-à-dire plus loin que l'objet (12,6 cm). Alors $|\gamma |=\frac{O{A}^{\prime }}{OA}$ est supérieur à 1 : l'image est agrandie.

a) Un rayon incident passant par le foyer objet émerge parallèlement à l'axe : après J, le rayon reste à la distance OJ de l'axe. B, au-dessus de l'axe, envoie par F un rayon qui descend et coupe la lentille sous l'axe ; B' est sur ce rayon émergent, donc à la distance OJ sous l'axe : A'B' = OJ.

b) B, F et J sont alignés ; A, F et O sont alignés sur l'axe ; (AB) et (OJ) sont parallèles (perpendiculaires à l'axe). Le théorème de Thalès dans les triangles FAB et FOJ donne $\frac{OJ}{AB}=\frac{FO}{FA}$. Or $FA=32-16=16$ cm et $FO=16$ cm, donc $\frac{OJ}{AB}=1$ et A'B' = OJ = AB.

c) L'image a la même taille que l'objet et elle est renversée (B' sous l'axe) : γ = −1. Avec $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$ : $\overline{O{A}^{\prime }}=-1\times (-32)=+32$ cm. L'image est 32 cm après la lentille, symétrique de l'objet par rapport à O.

d) À 16 cm, l'objet est dans le plan focal objet : les rayons issus de B émergent tous parallèles entre eux. Ils ne se coupent pas à distance finie : l'image est rejetée à l'infini, on n'observe qu'une tache floue sur l'écran. À 10 cm, l'objet est entre F et O : les rayons émergents divergent et ne se croisent jamais après la lentille. Aucune image réelle : quelle que soit la position de l'écran, rien de net n'y apparaît.

a) $\overline{OA}=-25,0$ cm et $\overline{O{A}^{\prime }}=+100$ cm, donc $\gamma =\frac{100}{-25,0}=-4,0$. $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-4,0\times 1,2=-4,8$ cm : image renversée de 4,8 cm.

b) Le rayon parallèle à l'axe reste à la hauteur de B : OI = AB. Il émerge en passant par F' puis B' ; I, F', B' sont alignés, O, F', A' aussi, et (OI) est parallèle à (A'B'). Thalès dans les triangles F'OI et F'A'B' : $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{F^{\prime }O}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{OI}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=|\gamma |$. D'où $\frac{F^{\prime }{A}^{\prime }}{O{F}^{\prime }}=|\gamma |=4,0$.

c) F' est entre O et A' (l'image est au-delà du foyer), donc $O{A}^{\prime }=O{F}^{\prime }+F^{\prime }{A}^{\prime }=O{F}^{\prime }+4,0\times O{F}^{\prime }=5\times O{F}^{\prime }$. Ainsi $f^{\prime }=O{F}^{\prime }=\frac{O{A}^{\prime }}{5}=\frac{100}{5}=20$ cm : f' = 20 cm = 0,20 m.

d) $2f^{\prime }=40$ cm : l'objet vérifie f' = 20 cm < 25,0 cm < 2f' = 40 cm. Le cours prévoit une image réelle, renversée, agrandie, située au-delà de 40 cm. C'est bien le cas : image à 100 cm, renversée, quatre fois plus grande. Le résultat est cohérent.