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Mathématiques · Classe de 2ⁿᵈᵉ

Vecteurs

Définition, opérations et applications des vecteurs du plan — programme de 2nde générale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Vecteurs » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Notion de vecteur, Vecteurs égaux et vecteur nul, Relation de Chasles, Addition de vecteurs. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Coordonnées et opérations de base

/ 4 pts
  1. Soient A(−1 ; 3), B(5 ; 7) et C(2 ; −1). Calcule les coordonnées de $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$. (1,5 pt)
  2. Vérifie la relation de Chasles : $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$. (0,5 pt)
  3. Calcule les coordonnées de $2\vec{AB} - \vec{AC}$. (1 pt)
  4. Calcule la norme de $\vec{AB}$ (valeur exacte). (1 pt)

Exercice 2 — Parallélogramme et milieu

/ 4 pts
  1. Soient A(0 ; 2), B(4 ; 6), C(7 ; 4). Calcule les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. (2 pt)
  2. Vérifie ton résultat en montrant que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. (2 pt)

Exercice 3 — Colinéarité et alignement

/ 5 pts
  1. Soient les vecteurs $\vec{u}(6 ; -9)$ et $\vec{v}(-4 ; 6)$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. (1,5 pt)
  2. Soient A(1 ; 4), B(3 ; 8), C(6 ; 14). Démontrer que A, B, C sont alignés. (2 pt)
  3. Soient D(2 ; 1), E(5 ; 4), F(k ; 10). Trouver la valeur de $k$ pour que D, E, F soient alignés. (1,5 pt)

Exercice 4 — Problème — Application des vecteurs

/ 5 pts
  1. Un point M a pour coordonnées M(2 ; 5). On applique la translation de vecteur $\vec{t}(3 ; -7)$. Donne les coordonnées de l'image M'. (1 pt)
  2. Le point N(10 ; 1) est l'image de P par la même translation $\vec{t}$. Donne les coordonnées de P. (1 pt)
  3. Soient A(1 ; 0) et B(4 ; 3). Calcule les coordonnées du point C tel que $\vec{BC} = 2\vec{AB}$. (2 pt)
  4. A, B, C calculé en 3) sont-ils alignés ? Justifie. (1 pt)

Exercice 5 — Centre de gravité (bonus)

/ 2 pts
  1. Le centre de gravité G du triangle ABC vérifie $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$. Avec A(−3 ; 5), B(7 ; 1), C(2 ; -3), calcule les coordonnées de G. (1 pt)
  2. Montre que $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ est bien vérifiée. (1 pt)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Coordonnées et opérations de base
Corrigé :
1a. $\vec{AB}=(5-(-1);7-3)=(6;4)$. $\vec{AC}=(2-(-1);-1-3)=(3;-4)$. $\vec{BC}=(2-5;-1-7)=(-3;-8)$.
1b. $\vec{AC}+\vec{CB}=(3;-4)+(3;8)=(6;4)=\vec{AB}$. ✓
1c. $2\vec{AB}-\vec{AC}=(12;8)-(3;-4)=(9;12)$.
1d. $||\vec{AB}||=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Exercice 2 — Parallélogramme et milieu
Corrigé :
2a. $\vec{AB}=(4;4)$. Dans ABCD parallélogramme : $\vec{DC}=\vec{AB}$. Donc $D=C-\vec{AB}=(7-4;4-4)=(3;0)$. D(3 ; 0).
2b. Milieu de [AC] : $\left(\frac{0+7}{2};\frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2};3\right)$.
Milieu de [BD] : $\left(\frac{4+3}{2};\frac{6+0}{2}\right)=\left(\frac{7}{2};3\right)$. Les milieux coïncident ✓, donc ABCD est bien un parallélogramme.

Exercice 3 — Colinéarité et alignement
Corrigé :
3a. Déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $6\times6-(-9)\times(-4)=36-36=0$. Déterminant nul → $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires. (On pouvait aussi noter $\vec{v}=-\frac{2}{3}\vec{u}$.)
3b. $\vec{AB}=(2;4)$, $\vec{AC}=(5;10)$. Déterminant : $2\times10-4\times5=20-20=0$. Déterminant nul → A, B, C alignés.
3c. $\vec{DE}=(3;3)$, $\vec{DF}=(k-2;9)$. Déterminant : $3\times9-3(k-2)=27-3k+6=33-3k=0 \Rightarrow \boxed{k=11}$.

Exercice 4 — Problème — Application des vecteurs
Corrigé :
4a. $M'=(2+3;5-7)=(5;-2)$.
4b. $\vec{PN}=\vec{t}=(3;-7)$. Donc $P=N-\vec{t}=(10-3;1+7)=(7;8)$.
4c. $\vec{AB}=(3;3)$, donc $2\vec{AB}=(6;6)$. $C=B+2\vec{AB}=(4+6;3+6)=(10;9)$.
4d. $\vec{AB}=(3;3)$, $\vec{AC}=(9;9)=3\vec{AB}$. Déterminant : $3\times9-3\times9=0$ → A, B, C alignés. (On pouvait aussi noter $\vec{AC}=3\vec{AB}$ directement.)

Exercice 5 — Centre de gravité (bonus)
Corrigé :
5a. $G=\left(\frac{-3+7+2}{3};\frac{5+1+(-3)}{3}\right)=\left(\frac{6}{3};\frac{3}{3}\right)=(2;1)$.
5b. $\vec{GA}=(-3-2;5-1)=(-5;4)$. $\vec{GB}=(7-2;1-1)=(5;0)$. $\vec{GC}=(2-2;-3-1)=(0;-4)$.
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=(-5+5+0;4+0-4)=(0;0)=\vec{0}$. ✓

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