À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire et représentation des solides, Le cube et le pavé droit, La pyramide et le cône de révolution, Le cylindre de révolution et la sphère. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Vocabulaire et représentation des solides
2 · Le cube et le pavé droit
3 · La pyramide et le cône de révolution
4 · Le cylindre de révolution et la sphère
5 · Sections planes d'un solide
6 · Volumes des solides usuels
7 · Aires latérales et totales
8 · Méthodes : résoudre un problème d'espace
1Vocabulaire et représentation des solides
Un solide est une figure géométrique à trois dimensions. On distingue :
- Sommets : points d'intersection d'arêtes.
- Arêtes : segments formant la frontière des faces.
- Faces : surfaces planes (ou courbes) délimitant le solide.
La formule d'Euler lie ces éléments pour les polyèdres convexes :
Formule d'Euler. Pour tout polyèdre convexe : S − A + F = 2, où S = nombre de sommets, A = nombre d'arêtes, F = nombre de faces.
Exemple. Le cube : S = 8, A = 12, F = 6. On vérifie : 8 − 12 + 6 = 2. ✓
On représente un solide en perspective cavalière : les arêtes cachées sont tracées en pointillés, les arêtes visibles en trait plein. Les faces parallèles restent parallèles dans le dessin.
Astuce. Pour lire une perspective cavalière, repère d'abord les arêtes en pointillés : elles révèlent les faces « derrière » le solide.
2Le cube et le pavé droit
Définition. Un pavé droit (ou rectangular cuboid) est un solide à 6 faces rectangulaires, toutes les arêtes formant des angles droits. Il possède 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces.
Un cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur.
| Solide | Formule du volume | Diagonale de l'espace |
|---|
| Pavé droit (a × b × c) | V = a × b × c | d = √(a² + b² + c²) |
| Cube (côté a) | V = a³ | d = a√3 |
Exemple. Un pavé droit de dimensions 3 cm × 4 cm × 5 cm. Volume : V = 3 × 4 × 5 = 60 cm³. Diagonale : d = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 cm.
Attention ! La diagonale de l'espace n'est pas la diagonale d'une face. La diagonale d'une face de dimensions a × b est √(a² + b²).
3La pyramide et le cône de révolution
Définition. Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui convergent vers un point appelé sommet (apex). La hauteur h est la distance de l'apex au plan de la base.
Une pyramide à base carrée de côté a et de hauteur h est la plus fréquente en 2nde.
Définition. Un cône de révolution est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés. Il possède un sommet, une base circulaire de rayon r et une génératrice l = √(r² + h²).
Exemple. Un cône de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 4 cm. Génératrice : l = √(9 + 16) = 5 cm.
Astuce. Penser au triangle rectangle : r (base), h (hauteur), l (hypoténuse). Pythagore s'applique !
4Le cylindre de révolution et la sphère
Définition. Un cylindre de révolution est un solide limité par deux disques parallèles et congruents (les bases) et une surface latérale courbe. Il est caractérisé par son rayon r et sa hauteur h.
Définition. Une sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance R du centre O. Elle n'a pas de face plane ; elle est déterminée uniquement par son rayon.
| Solide | Volume | Aire latérale |
|---|
| Cylindre | V = π r² h | Alat = 2π r h |
| Sphère | V = (4/3)π R³ | A = 4π R² |
Attention ! L'aire totale du cylindre inclut les deux disques : Atot = 2π r h + 2π r² = 2π r(h + r).
5Sections planes d'un solide
La section d'un solide par un plan est l'intersection (l'ensemble des points communs) du solide et du plan.
Propriété clé. Si un plan est parallèle à la base d'une pyramide (ou d'un cône), la section obtenue est une figure semblable à la base, et les rapports des longueurs sont égaux au rapport des distances à l'apex.
Exemples de sections remarquables :
- Cube coupé par un plan parallèle à une face → carré ; plan diagonal → rectangle ou hexagone régulier.
- Cylindre coupé par un plan perpendiculaire à l'axe → disque ; plan parallèle à l'axe → rectangle.
- Sphère coupée par tout plan → disque (cercle).
- Cône coupé par un plan parallèle à la base → disque ; plan oblique → ellipse, parabole ou hyperbole.
Exemple. Une pyramide de hauteur H = 12 cm et base carrée de côté a = 6 cm est coupée par un plan parallèle à la base, à 4 cm du sommet. Le rapport est k = 4/12 = 1/3. Le côté de la section vaut 6 × (1/3) = 2 cm.
Astuce. Pour déterminer la forme d'une section, demande-toi d'abord si le plan est parallèle, perpendiculaire ou oblique par rapport aux éléments caractéristiques du solide.
6Volumes des solides usuels
La connaissance des formules de volume est indispensable au lycée. Voici un tableau récapitulatif :
| Solide | Volume | Paramètres |
|---|
| Pavé droit | V = l × L × h | longueur, largeur, hauteur |
| Cube | V = a³ | côté a |
| Prisme droit | V = Abase × h | aire de base, hauteur |
| Pyramide | V = (1/3) × Abase × h | aire de base, hauteur |
| Cylindre | V = π r² h | rayon, hauteur |
| Cône | V = (1/3) π r² h | rayon, hauteur |
| Sphère | V = (4/3) π R³ | rayon R |
Règle mnémotechnique. Pyramide et cône = « tiers de leur double » : V = (1/3) × Vprisme associé.
Exemple. Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 9 cm. V = (1/3) × 6² × 9 = (1/3) × 36 × 9 = 108 cm³.
7Aires latérales et totales
L'aire latérale est la surface des faces latérales (sans les bases). L'aire totale inclut les bases.
| Solide | Aire latérale | Aire totale |
|---|
| Cube (côté a) | 4a² | 6a² |
| Pavé droit | 2h(l + L) | 2(lL + lh + Lh) |
| Cylindre | 2π r h | 2π r(h + r) |
| Cône (r, l = génératrice) | π r l | π r(l + r) |
| Sphère | — | 4π R² |
Attention ! Pour le cône, l désigne la génératrice (longueur de la surface latérale), pas la hauteur h. On a l = √(r² + h²).
Exemple. Un cône de rayon r = 5 cm, hauteur h = 12 cm. Génératrice : l = √(25 + 144) = 13 cm. Aire latérale = π × 5 × 13 = 65π ≈ 204,2 cm².
8Méthodes : résoudre un problème d'espace
Voici une méthode générale pour aborder un problème de géométrie dans l'espace :
- Étape 1 : Identifier le solide et ses éléments (rayon, hauteur, côtés, diagonales…).
- Étape 2 : Extraire les triangles rectangles cachés (souvent dans une face ou une coupe). Appliquer le théorème de Pythagore ou la trigonométrie.
- Étape 3 : Choisir la bonne formule (volume ou aire) et substituer les valeurs numériques.
- Étape 4 : Contrôler l'homogénéité (cm³ pour un volume, cm² pour une aire) et arrondir si demandé.
Astuce. Trace toujours une figure annotée. Dans un cône ou une pyramide, la hauteur, le rayon/apothème et la génératrice forment un triangle rectangle : Pythagore s'applique directement.
Exemple résolu. Une sphère est inscrite dans un cube de côté 8 cm. Quel est le volume de la sphère ?
La sphère inscrite touche les 6 faces : son diamètre = côté du cube = 8 cm, donc R = 4 cm.
V = (4/3)π × 4³ = (4/3)π × 64 = (256/3)π ≈ 268,1 cm³.
Attention ! Ne pas confondre sphère inscrite (touche les faces, R = a/2) et sphère circonscrite (passe par les sommets, R = a√3/2) d'un cube de côté a.
★À retenir
À retenir :
• Formule d'Euler pour les polyèdres : S − A + F = 2.
• Volume pyramide/cône = (1/3) × aire base × hauteur.
• Volume cylindre = π r² h ; Volume sphère = (4/3)π R³.
• Aire latérale du cône = π r l (l = génératrice = √(r² + h²)).
• Section parallèle à la base → figure semblable à la base ; rapport k = distance au sommet / hauteur totale.
• Dans un cône ou une pyramide : (rayon ou apothème, hauteur, génératrice) = triangle rectangle → Pythagore.