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Mathématiques · Classe de 2ⁿᵈᵉ

Géométrie dans le plan repéré

Distances, milieu, alignement et figures géométriques dans un repère orthonormé — programme de 2nde générale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Géométrie dans le plan repéré » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Le repère orthonormé du plan, Distance entre deux points, Milieu d'un segment, Vecteurs dans un repère. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Placer et lire des points dans un repère

/ 3 pts
  1. Donner les coordonnées du point A situé à 4 unités à droite et 3 unités au-dessus de l'origine.
  2. Dans quel quadrant se trouve B(−5 ; 2) ?
  3. Le point C(0 ; −6) se trouve-t-il sur l'axe Ox ou sur l'axe Oy ? Justifier.

Exercice 2 — Distance et milieu

/ 5 pts
  1. Calculer la distance AB avec A(−1 ; 2) et B(3 ; 5). Donner la valeur exacte.
  2. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
  3. On donne C(7 ; 2). Vérifier que BC = 5. Conclure sur la nature du triangle ABC (préciser l'angle droit si applicable).

Exercice 3 — Vecteurs et colinéarité

/ 4 pts
  1. Soit A(2 ; 1), B(8 ; 4), C(5 ; 6). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
  2. Calculer le déterminant de (AB ; AC). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
  3. Calculer la norme du vecteur AB.

Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère

/ 5 pts
  1. On donne A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(5 ; 3), D(1 ; 3). Calculer les longueurs AB, BC, CD, DA.
  2. Calculer les milieux des diagonales [AC] et [BD]. Que peut-on en déduire ?
  3. La pente de (AB) est 0. Quelle est la pente de (BC) ? Les droites (AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ?

Exercice 5 — Problème de synthèse — Un point sur un cercle

/ 3 pts
  1. On considère le cercle C de centre Ω(2 ; 3) et de rayon r = 5. Vérifier que le point P(6 ; 6) appartient au cercle C.
  2. Le point Q(2 ; 8) appartient-il aussi au cercle C ? Justifier.
  3. Donner les coordonnées d'un autre point évident du cercle (sur un axe de symétrie ou à une distance simple).
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Placer et lire des points dans un repère
Corrigé :
1. A(4 ; 3) — 4 unités sur Ox et 3 sur Oy depuis l'origine (1 pt).
2. B(−5 ; 2) : x < 0 et y > 0 → quadrant II (1 pt).
3. C(0 ; −6) : son abscisse est 0, donc C est sur l'axe Oy (axe des ordonnées) (1 pt).

Exercice 2 — Distance et milieu
Corrigé :
1. AB = √((3−(−1))²+(5−2)²) = √(16+9) = √25 = 5 (2 pts).
2. M = ((−1+3)/2 ; (2+5)/2) = (1 ; 3,5) (1 pt).
3. BC = √((7−3)²+(2−5)²) = √(16+9) = 5. AC = √((7−(−1))²+(2−2)²) = √64 = 8.
AB² + BC² = 25 + 25 = 50 ≠ 64 = AC². Mais AB=BC=5 → triangle ABC isocèle en B. Ce n'est pas rectangle (2 pts).

Exercice 3 — Vecteurs et colinéarité
Corrigé :
1. AB = (8−2 ; 4−1) = (6 ; 3) ; AC = (5−2 ; 6−1) = (3 ; 5) (1 pt).
2. det = 6×5 − 3×3 = 30 − 9 = 21 ≠ 0. Les points A, B, C ne sont pas alignés (2 pts).
3. ‖AB‖ = √(36+9) = √45 = 3√5 (1 pt).

Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère
Corrigé :
1. AB = 4 ; BC = √(1+9) = √10 ; CD = √(16+0) = 4 ; DA = √(1+9) = √10 (2 pts).
2. Milieu de AC = ((0+5)/2 ; (0+3)/2) = (2,5 ; 1,5). Milieu de BD = ((4+1)/2 ; (0+3)/2) = (2,5 ; 1,5). Mêmes milieux → ABCD est un parallélogramme (2 pts).
3. Pente de (BC) = (3−0)/(5−4) = 3. Pente (AB)=0, pente (BC)=3. Produit = 0 × 3 = 0 ≠ −1 → non perpendiculaires (1 pt).

Exercice 5 — Problème de synthèse — Un point sur un cercle
Corrigé :
1. ΩP = √((6−2)²+(6−3)²) = √(16+9) = √25 = 5 = r. P appartient au cercle (1 pt).
2. ΩQ = √((2−2)²+(8−3)²) = √(0+25) = 5 = r. Q appartient aussi au cercle (1 pt).
3. Par exemple le point R(2 ; −2) : ΩR = √(0+(−2−3)²) = √25 = 5 ✓. Ou S(−3 ; 3) : ΩS = √(25+0) = 5 ✓ (1 pt).

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