Trigonométrie

Exercice 1 — Conversions et valeurs remarquables
Conversions :
$120° = \dfrac{2\pi}{3}$ rad ; $315° = \dfrac{7\pi}{4}$ rad ; $-30° = -\dfrac{\pi}{6}$ rad.
Valeurs :
$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (car $3\pi/4 = \pi - \pi/4$) ; $\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \pi/6) = -\dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 — Identité de Pythagore
1. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$. Comme $x \in [\pi/2, \pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
2. $\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{4}{9}+\dfrac{5}{9} = 1$ ✓
3. $\sin(\pi-x) = \sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\cos(\pi+x) = -\cos x = \dfrac{2}{3}$.

Exercice 3 — Graphe et variations
Tableau de variations de $\sin$ sur $[0,2\pi]$ :
$0 \to \pi/2$ : croissante (de 0 à 1) ; $\pi/2 \to 3\pi/2$ : décroissante (de 1 à -1) ; $3\pi/2 \to 2\pi$ : croissante (de -1 à 0).
Signe négatif : $\sin x < 0$ pour $x \in ]\pi, 2\pi[$.
Croissance : Sur $[0, \pi/2]$, $\cos x \geq 0$, donc $\sin'(x) = \cos x \geq 0$ : la dérivée positive implique que $\sin$ est croissante.

Exercice 4 — Résolution d'équations
1. $\cos(\pi/3)=1/2$, donc $\cos(\pi-\pi/3)=\cos(2\pi/3)=-1/2$. Solutions : $x = \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
2. $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$. Solutions : $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
3. $2\cos x + \sqrt{2}=0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sur $[0,2\pi]$ : $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4}$.

Exercice 5 — Étude d'une fonction composée
a) Par dérivée composée : $f'(x) = -2\sin(2x)$.
b) $f'(x)=0 \Rightarrow \sin(2x)=0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = 0, \pi/2, \pi$ sur $[0,\pi]$.
c) Sur $[0, \pi/2]$ : $\sin(2x)\geq 0$ donc $f'(x)\leq 0$ : $f$ décroissante (de $f(0)=1$ à $f(\pi/2)=\cos\pi=-1$). Sur $[\pi/2, \pi]$ : $f$ croissante (de $-1$ à $\cos(2\pi)=1$).