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Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Échantillonnage et estimation

Fluctuation d'échantillonnage, intervalle de confiance et estimation d'une proportion (programme de 1re générale, spécialité maths)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Échantillonnage et estimation » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Population, échantillon et proportion, Variable aléatoire associée à l'échantillonnage, Fluctuation d'échantillonnage, Simulation et loi de la fréquence. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Vocabulaire et proportion

/ 3 pts
  1. Un laboratoire veut tester l'efficacité d'un médicament. Il recrute 300 volontaires parmi les 12 000 patients enregistrés dans son fichier. a) Quelle est la taille de la population ? Quelle est la taille de l'échantillon ?
  2. b) Sur les 300 volontaires, 210 ont une amélioration des symptômes. Calcule la fréquence observée $f$.
  3. c) On estime que dans la population générale $p = 0{,}65$ des patients réagissent positivement. L'intervalle de fluctuation à 95 % est $\left[0{,}65 - \frac{1}{\sqrt{300}} ; 0{,}65 + \frac{1}{\sqrt{300}}\right]$. Calcule la valeur approchée de $\frac{1}{\sqrt{300}}$ à $10^{-3}$ près.

Exercice 2 — Variable aléatoire et loi binomiale

/ 4 pts
  1. Une pépinière affirme que 80 % des graines de tournesol qu'elle vend germent ($p = 0{,}8$). Un jardinier plante $n = 25$ graines.
  2. a) Quelle est la loi suivie par le nombre $X$ de graines qui germent ? Justifie.
  3. b) Calcule l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.
  4. c) Calcule l'espérance et l'écart-type de la fréquence $F_{25} = X/25$.
  5. d) Que peut-on dire de la valeur de $E(F_{25})$ par rapport à $p$ ?

Exercice 3 — Intervalle de fluctuation et décision

/ 5 pts
  1. Un fabricant de piles affirme que 95 % de ses piles ($p = 0{,}95$) durent plus de 10 heures. Un distributeur contrôle un lot de $n = 100$ piles et en trouve 88 qui durent plus de 10 heures.
  2. a) Calcule la fréquence observée $f$.
  3. b) Calcule l'intervalle de fluctuation à 95 % (en utilisant la formule $[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$). Donne les valeurs approchées des bornes.
  4. c) La fréquence observée est-elle dans l'intervalle de fluctuation ?
  5. d) Que peut conclure le distributeur ? Doit-il refuser le lot ? Justifie.

Exercice 4 — Intervalle de confiance et estimation

/ 5 pts
  1. Dans le cadre d'une enquête nationale sur les pratiques sportives, un organisme interroge $n = 1600$ personnes. Il obtient une fréquence observée $f = 0{,}38$ (38 % pratiquent un sport régulièrement).
  2. a) Calcule $\frac{1}{\sqrt{1600}}$.
  3. b) Donne l'intervalle de confiance à 95 % pour la proportion $p$ de sportifs réguliers dans la population.
  4. c) Un rapport gouvernemental annonce que $p = 0{,}42$. Cette valeur est-elle compatible avec les résultats du sondage ? Justifie.
  5. d) L'organisme souhaite refaire le sondage avec une précision de ±1 %. Combien de personnes doit-il interroger au minimum ?

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 3 pts
  1. Un éditeur de jeux vidéo veut savoir si une nouvelle fonctionnalité plaît à ses joueurs. Il interroge $n = 2500$ joueurs et $f = 0{,}72$ disent l'apprécier.
  2. a) Donne l'intervalle de confiance à 95 % pour la proportion $p$ de joueurs qui apprécient la fonctionnalité.
  3. b) L'éditeur estime que la fonctionnalité sera maintenue si plus de 70 % des joueurs l'apprécient. Peut-il affirmer à 95 % que c'est le cas ? Justifie.
  4. c) Un concurrent affirme que seulement 68 % des joueurs apprécient ce type de fonctionnalité. Cette affirmation est-elle compatible avec le sondage ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Vocabulaire et proportion
Corrigé :
a) Population : 12 000 patients. Échantillon : 300 volontaires (n = 300).
b) $f = \frac{210}{300} = 0{,}7$ soit 70 %.
c) $\frac{1}{\sqrt{300}} = \frac{1}{10\sqrt{3}} \approx \frac{1}{17{,}32} \approx 0{,}058.$ L'intervalle de fluctuation est donc $[0{,}65 - 0{,}058 ; 0{,}65 + 0{,}058] = [0{,}592 ; 0{,}708].$ La fréquence $f = 0{,}7$ est dans cet intervalle : la différence observée est compatible avec $p = 0{,}65$.

Exercice 2 — Variable aléatoire et loi binomiale
Corrigé :
a) Le jardinier plante 25 graines de manière indépendante, chacune germant avec probabilité $p = 0{,}8$. Donc $X \sim \mathcal{B}(25 ; 0{,}8)$.
b) $E(X) = np = 25 \times 0{,}8 = 20$ graines. $V(X) = np(1-p) = 25 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 4$.
c) $E(F_{25}) = E(X/25) = 20/25 = 0{,}8$. $V(F_{25}) = V(X)/25^2 = 4/625 = 0{,}0064$. Écart-type : $\sigma(F_{25}) = \sqrt{0{,}0064} = 0{,}08$.
d) $E(F_{25}) = 0{,}8 = p$ : la fréquence observée est un estimateur sans biais de $p$.

Exercice 3 — Intervalle de fluctuation et décision
Corrigé :
a) $f = 88/100 = 0{,}88$.
b) $\frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$. Intervalle de fluctuation : $[0{,}95 - 0{,}1 ; 0{,}95 + 0{,}1] = [0{,}85 ; 1{,}05]$. On borne par 1 (proportion max) : $[0{,}85 ; 1]$.
c) $f = 0{,}88$ et $0{,}85 \leq 0{,}88 \leq 1$ : oui, la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation.
d) La fréquence observée est compatible avec l'affirmation du fabricant ($p = 0{,}95$) au niveau 95 %. Le distributeur ne peut pas rejeter le lot sur la base de ce seul contrôle. Toutefois, $f = 0{,}88$ est inférieur à $p = 0{,}95$, ce qui pourrait justifier un contrôle plus approfondi.

Exercice 4 — Intervalle de confiance et estimation
Corrigé :
a) $\frac{1}{\sqrt{1600}} = \frac{1}{40} = 0{,}025$.
b) IC à 95 % : $[0{,}38 - 0{,}025 ; 0{,}38 + 0{,}025] = [0{,}355 ; 0{,}405]$.
c) $p = 0{,}42 > 0{,}405$ : la valeur $p = 0{,}42$ n'est pas dans l'intervalle de confiance. Elle n'est pas compatible avec les résultats du sondage au niveau 95 %. L'organisme peut remettre en cause le chiffre du rapport gouvernemental.
d) $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}01$ donc $\sqrt{n} \geq 100$ et $n \geq 10000$. Il faut interroger au minimum 10 000 personnes.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $\frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}02$. IC à 95 % : $[0{,}72 - 0{,}02 ; 0{,}72 + 0{,}02] = [0{,}70 ; 0{,}74]$.
b) La borne inférieure de l'IC est exactement 0,70. L'IC est $[0{,}70 ; 0{,}74]$ : toutes les valeurs sont $\geq 0{,}70$. On peut donc affirmer à 95 % que $p \geq 0{,}70$ (avec la limite que 0,70 est exactement la borne, ce qui mérite prudence). L'éditeur peut maintenir la fonctionnalité.
c) $0{,}68 < 0{,}70$ : la valeur 0,68 n'est pas dans l'IC $[0{,}70 ; 0{,}74]$. L'affirmation du concurrent n'est pas compatible avec les résultats du sondage à 95 %.

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