Dérivation — nombre dérivé et tangente

Exercice 1 — Taux de variation et limite
Corrigé :
a) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{2(a+h)^2-3-(2a^2-3)}{h} = \dfrac{2a^2+4ah+2h^2-3-2a^2+3}{h} = \dfrac{4ah+2h^2}{h} = 4a+2h$.
b) $f'(a) = \lim_{h\to 0}(4a+2h) = 4a$.
c) $f'(2) = 8$ ; $f'(-1) = -4$.

Exercice 2 — Dérivabilité et point anguleux
Corrigé :
a) $f(2) = |0| = 0$.
Pour $h>0$ : $f(2+h)=|2h|=2h$, taux $= 2h/h = 2$.
Pour $h<0$ : $f(2+h)=|2h|=-2h$ (car $h<0$), taux $= -2h/h = -2$.
b) Les limites à droite ($2$) et à gauche ($-2$) sont différentes : $f$ n'est pas dérivable en $2$. Graphiquement, la courbe a un point anguleux (en forme de V) en $x=2$.

Exercice 3 — Équation de tangente
Corrigé :
a) $f'(1) = 3-1 = 2$ ; $f(1) = 1-1 = 0$.
b) Tangente en $a=1$ : $y = 2(x-1)+0 = 2x-2$.
c) Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Exercice 4 — Dérivée de $\sqrt{x}$ par définition
Corrigé :
a) Taux $= \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}$.
b) $\dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \dfrac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$.
c) $f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ ; $f'(16) = \dfrac{1}{8}$.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
La tangente en $a$ a pour équation $y = 2a(x-a)+a^2 = 2ax - a^2$.
Elle passe par $P(3,5)$ : $5 = 2a(3) - a^2 = 6a - a^2$.
$a^2 - 6a + 5 = 0 \Rightarrow (a-1)(a-5) = 0 \Rightarrow a = 1$ ou $a = 5$.
Il y a donc deux tangentes à la parabole passant par $P$ : en $a=1$ ($y=2x-1$) et en $a=5$ ($y=10x-25$).