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Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Dérivation — fonctions dérivées et applications

Fonctions dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, variations et extremums — programme de 1re spécialité maths

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Dérivation — fonctions dérivées et applications » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Dérivées des fonctions usuelles, Opérations sur les dérivées : somme et produit par une constante, Dérivée d'un produit et d'un quotient, Dérivée d'une fonction composée. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calcul de dérivées

/ 6 pts
  1. Calculer la dérivée de $f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 2$ et donner $f'(1)$.
  2. Calculer la dérivée de $g(x) = (x^2 - 3)(2x + 1)$ en appliquant la formule du produit, puis simplifier.
  3. Calculer la dérivée de $h(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}$ ($x \neq \frac{3}{2}$).
  4. Calculer la dérivée de $k(x) = \sqrt{3x + 2}$ pour $x > -\frac{2}{3}$.

Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction polynôme

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$ et factoriser.
  3. 2. Résoudre $f'(x) = 0$ et dresser le tableau de signe de $f'$.
  4. 3. Dresser le tableau de variations de $f$ avec les valeurs de $f$ aux points critiques.

Exercice 3 — Équations de tangentes

/ 4 pts
  1. Soit $g(x) = x^3 - 6x + 4$.
  2. 1. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x = 2$.
  3. 2. Déterminer les abscisses des points où la tangente est horizontale (pente nulle) et préciser la nature de ces points (extremum ou point d'inflexion).

Exercice 4 — Problème d'optimisation

/ 5 pts
  1. Un producteur de boîtes de conserve fabrique des boîtes cylindriques de volume fixe $V = 500\pi$ cm³. Pour réduire les coûts, on veut minimiser la surface totale $S$ (en cm²) de la boîte (deux disques + cylindre latéral).
  2. On note $r$ le rayon de la base (cm) et $h$ la hauteur (cm).
  3. 1. À partir de la contrainte de volume $\pi r^2 h = 500\pi$, exprimer $h$ en fonction de $r$.
  4. 2. Écrire $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ en fonction de $r$ seulement (on peut simplifier par $2\pi$, étudier $s(r) = r^2 + r \cdot \frac{500}{r^2}= r^2 + \frac{500}{r}$).
  5. 3. Calculer $s'(r)$ et trouver la valeur de $r$ qui minimise $s$ pour $r > 0$.
  6. 4. Vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum et donner la valeur de $h$ correspondante.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calcul de dérivées
Corrigé :
1. $f'(x) = 12x^2 - 14x + 5$. $f'(1) = 12 - 14 + 5 = 3$.
2. $u = x^2-3$, $v=2x+1$, $u'=2x$, $v'=2$. $g'(x)=2x(2x+1)+(x^2-3)\cdot 2 = 4x^2+2x+2x^2-6 = 6x^2+2x-6$.
3. $u=x+1$, $v=2x-3$, $u'=1$, $v'=2$. $h'(x) = \frac{1\cdot(2x-3)-(x+1)\cdot 2}{(2x-3)^2} = \frac{2x-3-2x-2}{(2x-3)^2} = \frac{-5}{(2x-3)^2}$.
4. $u=3x+2$, $u'=3$. $k'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.

Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction polynôme
Corrigé :
1. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$.
2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -1$. Tableau de signes : $f' > 0$ sur $]-\infty;-1[$, $f'<0$ sur $]-1;2[$, $f'>0$ sur $]2;+\infty[$.
3. $f(-1) = -2-3+12+5 = 12$ (maximum local) ; $f(2) = 16-12-24+5=-15$ (minimum local). $f$ croît jusqu'à $-1$, décroît jusqu'à $2$, puis croît.

Exercice 3 — Équations de tangentes
Corrigé :
1. $g(2) = 8-12+4=0$ ; $g'(x)=3x^2-6$ ; $g'(2)=12-6=6$. Tangente : $y=6(x-2)+0 = 6x-12$.
2. $g'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2=6 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$.
En $x=-\sqrt{2}$ : $g'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local ($g(-\sqrt{2})=4+4\sqrt{2}$).
En $x=\sqrt{2}$ : $g'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local ($g(\sqrt{2})=4-4\sqrt{2}$).

Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1. $\pi r^2 h = 500\pi \Rightarrow h = \frac{500}{r^2}$.
2. $s(r) = r^2 + \frac{500}{r}$ (on a divisé par $2\pi$, ce qui ne change pas l'extremum).
3. $s'(r) = 2r - \frac{500}{r^2}$. $s'(r)=0 \Leftrightarrow 2r = \frac{500}{r^2} \Leftrightarrow r^3 = 250 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{250} \approx 6{,}3$ cm.
4. $s'(r) < 0$ pour $r < \sqrt[3]{250}$ et $s'(r)>0$ pour $r > \sqrt[3]{250}$ → minimum. $h = \frac{500}{(\sqrt[3]{250})^2} = \frac{500}{250^{2/3}} = 2\sqrt[3]{250} \approx 12{,}6$ cm (soit $h = 2r$, la boîte optimale est telle que hauteur = diamètre).

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