Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Dérivée et applications
Dérivées usuelles, variations, extremums et optimisation — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Dérivée et applications » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Dérivées des fonctions usuelles, Dériver une somme et un produit par un nombre, Dérivée d'un produit (cas simple), Signe de la dérivée et sens de variation. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
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Dérivées des fonctions usuelles
On a vu au chapitre précédent que la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ donne la pente de la tangente en chaque point. On note $f'(x)$ le nombre dérivé en $x$. Plutôt que de tout recalculer à chaque fois, on retient les dérivées des fonctions de base.
Tableau des dérivées à connaître par cœur.
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (un nombre fixe) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $x^n$ (cas général) | $n\,x^{n-1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Exemple. Si $f(x) = x^4$, alors $f'(x) = 4x^3$.
Si $g(x) = x^2$, alors $g'(x) = 2x$.
Si $g(x) = x^2$, alors $g'(x) = 2x$.
Astuce pour $x^n$. On «fait descendre» l'exposant devant et on enlève $1$ à l'exposant : $x^5 \to 5x^4$, $x^7 \to 7x^6$.
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Dériver une somme et un produit par un nombre
Presque toutes les fonctions du programme sont des polynômes : des sommes de termes comme $3x^2$, $-5x$, $7$. Deux règles suffisent pour les dériver.
Règles de base. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un nombre.
- $(u + v)' = u' + v'$ : on dérive chaque terme séparément.
- $(k\,u)' = k\,u'$ : un nombre devant reste devant.
Exemple 1. Soit $f(x) = 3x^2 - 5x + 4$.
On dérive terme par terme : $(3x^2)' = 6x$, $(5x)' = 5$, $(4)' = 0$.
Donc $f'(x) = 6x - 5$.
On dérive terme par terme : $(3x^2)' = 6x$, $(5x)' = 5$, $(4)' = 0$.
Donc $f'(x) = 6x - 5$.
Exemple 2. Soit $g(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 9$.
$g'(x) = 6x^2 - 12x + 1$.
$g'(x) = 6x^2 - 12x + 1$.
Attention ! Ces deux règles marchent pour une somme ou une différence. Pour un produit de deux fonctions, ce n'est pas $u' \times v'$ : il faut la formule du produit (section suivante).
Le terme constant disparaît. Dans $f(x) = 3x^2 - 5x + 4$, le $+4$ donne $0$ : il n'a aucun effet sur $f'$.
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Dérivée d'un produit (cas simple)
Quand deux fonctions sont multipliées, on utilise une formule spéciale. En sans spé, on l'applique surtout à des cas simples — et souvent on peut développer d'abord pour s'en passer.
Dérivée d'un produit. Si $u$ et $v$ sont dérivables :
$$(u\,v)' = u'\,v + u\,v'$$
On dérive le premier facteur, on garde le second ; puis on garde le premier et on dérive le second ; on additionne.
$$(u\,v)' = u'\,v + u\,v'$$
On dérive le premier facteur, on garde le second ; puis on garde le premier et on dérive le second ; on additionne.
Exemple. Soit $h(x) = (2x+1)(x-3)$.
On pose $u = 2x+1$ et $v = x-3$, donc $u' = 2$ et $v' = 1$.
$h'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5$.
On pose $u = 2x+1$ et $v = x-3$, donc $u' = 2$ et $v' = 1$.
$h'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5$.
Vérification en développant. $h(x) = (2x+1)(x-3) = 2x^2 - 5x - 3$, donc $h'(x) = 4x - 5$. On retrouve bien le même résultat : développer d'abord est souvent plus simple !
Erreur classique. $(u\,v)' \neq u' \times v'$. Avec $u = 2x+1$ et $v = x-3$, on aurait obtenu $2 \times 1 = 2$, ce qui est faux.
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Signe de la dérivée et sens de variation
C'est l'idée la plus importante du chapitre : le signe de $f'$ indique si $f$ monte ou descend.
Théorème (variations). Soit $f$ dérivable sur un intervalle.
- Si $f'(x) \gt 0$ → $f$ est croissante ($\nearrow$).
- Si $f'(x) \lt 0$ → $f$ est décroissante ($\searrow$).
- Si $f'(x) = 0$ partout → $f$ est constante.
Méthode pour étudier les variations :
- Calculer $f'(x)$.
- Résoudre $f'(x) = 0$.
- Déterminer le signe de $f'$ entre ces valeurs.
- En déduire le tableau de variations ($\nearrow$ si $f' \gt 0$, $\searrow$ si $f' \lt 0$).
Exemple. Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$.
$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
Pour $x \lt 2$ : $f'(x) \lt 0$, donc $f$ décroît. Pour $x \gt 2$ : $f'(x) \gt 0$, donc $f$ croît.
$f$ atteint donc son minimum en $x = 2$, avec $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.
$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
Pour $x \lt 2$ : $f'(x) \lt 0$, donc $f$ décroît. Pour $x \gt 2$ : $f'(x) \gt 0$, donc $f$ croît.
$f$ atteint donc son minimum en $x = 2$, avec $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.
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Extremums (maximum et minimum)
Un extremum est un point où la fonction atteint une valeur la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum) localement. C'est là que la courbe «change de sens».
Repérer un extremum. En un point où $f'$ s'annule en changeant de signe :
- $f'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local.
- $f'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local.
Exemple. Soit $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
$f'(x) = -2x + 6$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$.
$f'$ est positif avant $3$ et négatif après : $f'$ passe de $+$ à $-$, donc $f$ a un maximum en $x = 3$.
$f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Le maximum vaut $4$.
$f'(x) = -2x + 6$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$.
$f'$ est positif avant $3$ et négatif après : $f'$ passe de $+$ à $-$, donc $f$ a un maximum en $x = 3$.
$f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Le maximum vaut $4$.
Attention ! $f'(a) = 0$ ne suffit pas : il faut que $f'$ change de signe. Par exemple $f(x) = x^3$ a $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ ne change pas de signe : il n'y a pas d'extremum.
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Résoudre un problème d'optimisation
La dérivée sert à trouver le meilleur choix dans une situation concrète : aire la plus grande, coût le plus petit, volume maximal… On cherche un extremum.
Méthode en 4 étapes.
- Modéliser : exprimer la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable $x$, en précisant l'intervalle réaliste.
- Dériver et résoudre $f'(x) = 0$.
- Étudier le signe de $f'$ pour savoir si c'est un maximum ou un minimum.
- Conclure en donnant la valeur optimale et son sens dans le problème.
Exemple. On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. Quelle forme donne l'aire maximale ?
Soit $x$ la longueur. Le périmètre est $40$ m, donc largeur $+ $ longueur $= 20$, d'où largeur $= 20 - x$.
Aire : $A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$, avec $0 \lt x \lt 20$.
$A'(x) = 20 - 2x$. $A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$.
$A'$ passe de $+$ à $-$ en $10$ : c'est un maximum.
$A(10) = 10 \times 10 = 100$ m². L'enclos optimal est un carré de côté $10$ m.
Soit $x$ la longueur. Le périmètre est $40$ m, donc largeur $+ $ longueur $= 20$, d'où largeur $= 20 - x$.
Aire : $A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$, avec $0 \lt x \lt 20$.
$A'(x) = 20 - 2x$. $A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$.
$A'$ passe de $+$ à $-$ en $10$ : c'est un maximum.
$A(10) = 10 \times 10 = 100$ m². L'enclos optimal est un carré de côté $10$ m.
Toujours vérifier que la valeur trouvée est bien dans l'intervalle autorisé, et donner une réponse «en français» (ici : un carré de 10 m de côté).
En bref
- Dérivées usuelles : $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$, et une constante donne $0$.
- Règles : $(u+v)' = u' + v'$ ; $(ku)' = k\,u'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$.
- Signe de $f'$ → variations : $f' \gt 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' \lt 0 \Rightarrow f$ décroissante.
- Extremum : $f'$ s'annule en changeant de signe ($+$ à $-$ = max, $-$ à $+$ = min).
- Optimisation : modéliser, dériver, $f' = 0$, étudier le signe, conclure.
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