Suites arithmétiques

Exercice 1 — Reconnaître et calculer
Corrigé :
1a) $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$, $14 - 11 = 3$ : différence constante, donc arithmétique de raison $r = 3$.
1b) $u_0 = 5$.
1c) $u_4 = 14 + 3 = 17$.
2) Les différences valent $2, 4, 8$ : elles ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique.

Exercice 2 — Terme général
Corrigé :
1a) $u_n = 2 + 5n$.
1b) $u_{12} = 2 + 5 \times 12 = 62$.
1c) $r = 5 > 0$ donc la suite est croissante.
2) $u_6 - u_2 = 4r = 33 - 13 = 20$ donc $r = 5$. Puis $u_0 = u_2 - 2r = 13 - 10 = 3$.

Exercice 3 — Somme de termes
Corrigé :
1a) Raison $3$, de $4$ à $49$ : nombre de termes $= \frac{49 - 4}{3} + 1 = 16$. $S_1 = 16 \times \frac{4 + 49}{2} = 16 \times 26{,}5 = 424$.
1b) $S_2 = \frac{80 \times 81}{2} = 3240$.
2) Raison $4$ : nombre de termes $= \frac{86 - 6}{4} + 1 = 21$. Somme $= 21 \times \frac{6 + 86}{2} = 21 \times 46 = 966$.

Exercice 4 — Sens de variation et seuil
Corrigé :
a) $u_0 = 90$, $u_1 = 84$, $u_2 = 78$.
b) Raison $r = -6 < 0$ : la suite est décroissante.
c) $90 - 6n < 0 \Leftrightarrow n > 15$, donc le plus petit rang est $n = 16$.

Exercice 5 — Problème — épargne et projet
Corrigé :
a) Chaque mois on ajoute toujours $40$ € : suite arithmétique de raison $r = 40$, avec $u_0 = 120$.
b) $u_n = 120 + 40n$.
c) $u_9 = 120 + 40 \times 9 = 480$ €.
d) $120 + 40n \geq 720 \Leftrightarrow 40n \geq 600 \Leftrightarrow n \geq 15$. Sarah peut acheter le vélo au bout de 15 mois.