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Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques

Dérivation : nombre dérivé et tangente

Taux de variation, nombre dérivé et tangente (sans spé maths)

À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Dérivation : nombre dérivé et tangente » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Taux de variation d'une fonction, Du taux de variation au nombre dérivé, Lecture graphique : la tangente, Équation de la tangente. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
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Taux de variation d'une fonction

Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre où $f$ est définie. Pour un petit écart $h \neq 0$, on regarde de combien varie $f$ quand on passe de $a$ à $a+h$. On définit ainsi le taux de variation.

Définition. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\tau = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

C'est le coefficient directeur (la pente) de la droite qui passe par les deux points $A(a\,;\,f(a))$ et $B(a+h\,;\,f(a+h))$ de la courbe. Cette droite s'appelle une sécante.

Exemple. Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$. Le taux de variation entre $1$ et $1+h$ est :
$$\tau = \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1+2h+h^2-1}{h} = \frac{2h+h^2}{h} = 2+h$$
À comprendre. Quand $h$ devient de plus en plus petit, le point $B$ se rapproche de $A$ et la sécante pivote autour de $A$. À la limite, elle devient la tangente en $A$.
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Du taux de variation au nombre dérivé

Quand $h$ devient très proche de $0$, le taux de variation se rapproche d'un nombre fixe. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé.

Définition (approche intuitive). Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ (« $f$ prime de $a$ »), est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ devient très proche de $0$.
Exemple (suite). Avec $f(x)=x^2$ et $a=1$, on a trouvé $\tau = 2+h$.
Quand $h$ se rapproche de $0$, $2+h$ se rapproche de $2$.
Donc $f'(1) = 2$.
Exemple 2. Soit $f(x)=x^2$ et $a=3$.
$$\tau = \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = \frac{9+6h+h^2-9}{h} = \frac{6h+h^2}{h} = 6+h$$Quand $h \to 0$, on obtient $f'(3) = 6$.
Bon réflexe. Pour trouver $f'(a)$ « à la main » : on calcule le taux de variation, on simplifie le $h$ du dénominateur, puis on remplace $h$ par $0$ dans ce qui reste.
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Lecture graphique : la tangente

Définition. La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ est la droite qui « épouse » la courbe en $A$. Son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$.

Autrement dit, $f'(a)$ se lit directement sur le graphique : c'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.

Méthode (lecture graphique). Pour lire $f'(a)$ sur un graphique où la tangente est déjà tracée :
1. On repère deux points faciles sur la tangente.
2. On calcule sa pente : $\dfrac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$.
Cette pente est exactement $f'(a)$.
Attention. Si la tangente est horizontale en $a$, alors sa pente est nulle, donc $f'(a)=0$.
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Équation de la tangente

On connaît la pente de la tangente ($f'(a)$) et un point par lequel elle passe ($A(a\,;\,f(a))$). Cela suffit pour écrire son équation.

Formule à connaître par cœur. L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :
$$\boxed{\;y = f'(a)\,(x-a) + f(a)\;}$$
Méthode en 3 étapes.
1. Calculer $f(a)$ (l'ordonnée du point de contact).
2. Calculer $f'(a)$ (la pente de la tangente).
3. Remplacer dans $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, puis développer.
Exemple. $f(x)=x^2$, tangente en $a=1$.
• $f(1) = 1$
• $f'(1) = 2$
• $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1$.
La tangente a donc pour équation $y = 2x - 1$.
Piège fréquent. Ne pas confondre $f(a)$ (l'ordonnée du point) et $f'(a)$ (la pente). Ce sont deux nombres différents !
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Quelques nombres dérivés à connaître

Pour les fonctions simples, le nombre dérivé en $a$ se calcule avec ces résultats (que l'on retrouvera en classe avec la définition) :

Fonction $f$Nombre dérivé $f'(a)$
$f(x) = c$ (constante)$f'(a) = 0$
$f(x) = x$$f'(a) = 1$
$f(x) = x^2$$f'(a) = 2a$
$f(x) = x^3$$f'(a) = 3a^2$
Exemple. Avec $f(x) = x^3$ :
• $f'(2) = 3 \times 2^2 = 12$
• $f'(-1) = 3 \times (-1)^2 = 3$
À retenir. Une fonction affine $f(x) = mx + p$ a un nombre dérivé constant : $f'(a) = m$. C'est logique, sa courbe est une droite : sa tangente est la droite elle-même !
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Signe du nombre dérivé et sens de variation

Le signe de $f'(a)$ renseigne sur le comportement de la courbe autour de $a$.

À retenir.
  • Si $f'(a) \gt 0$ : la tangente monte, la courbe est croissante autour de $a$.
  • Si $f'(a) \lt 0$ : la tangente descend, la courbe est décroissante autour de $a$.
  • Si $f'(a) = 0$ : la tangente est horizontale (souvent un sommet ou un creux de la courbe).
Exemple. $f(x) = x^2$ a pour nombre dérivé $f'(a) = 2a$.
• Pour $a \lt 0$ : $f'(a) \lt 0$, la courbe descend.
• En $a = 0$ : $f'(0) = 0$, tangente horizontale, c'est le minimum de la parabole.
• Pour $a \gt 0$ : $f'(a) \gt 0$, la courbe monte.
En bref
  • Taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ : $\tau = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (pente d'une sécante).
  • Nombre dérivé $f'(a)$ : la valeur du taux de variation quand $h$ se rapproche de $0$. C'est la pente de la tangente en $a$.
  • Équation de la tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
  • Nombres dérivés simples : $(x^2)' \to 2a$, $(x^3)' \to 3a^2$, constante $\to 0$, $f(x)=mx+p \to m$.
  • $f'(a) \gt 0$ : courbe croissante ; $f'(a) \lt 0$ : décroissante ; $f'(a) = 0$ : tangente horizontale.
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