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Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Le second degré

Trinôme, parabole, discriminant et racines — 1re sans spé

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Le second degré » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : La fonction trinôme du second degré, La parabole et son sommet, Le discriminant, Résoudre une équation du second degré. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 45 min · Noté sur 20
45:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Étude d'un trinôme

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$. Calculer le discriminant $\Delta$.
  2. En déduire les racines $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$).
  3. Dresser le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  4. En déduire les solutions de l'inéquation $2x^2 - 4x - 6 \leq 0$.

Exercice 2 — Parabole et sommet

/ 4 pts
  1. Soit $g(x) = -3x^2 + 6x + 1$. Déterminer les coordonnées du sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$.
  2. La parabole admet-elle un minimum ou un maximum ? Justifier.
  3. Donner la valeur de cet extremum et la valeur de $x$ où il est atteint.

Exercice 3 — Résoudre des équations

/ 5 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 3x - 10 = 0$.
  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 4x + 4 = 0$.
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3 = 0$ (justifier).
  4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 25 = 0$.

Exercice 4 — Problème d'optimisation

/ 4 pts
  1. Un fermier dispose de 80 m de grillage pour un enclos rectangulaire adossé à un mur (un côté sans grillage). La largeur est notée $x$.
  2. Exprimer la longueur en fonction de $x$, puis montrer que l'aire est $A(x) = -2x^2 + 80x$.
  3. Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire, puis calculer l'aire maximale.

Exercice 5 — Lecture graphique

/ 2 pts
  1. Une parabole a pour sommet $S(-1\,;\,-4)$ et coupe l'axe des abscisses en $x = -3$ et $x = 1$. Cette parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
  2. Donner, à partir de ces informations, l'axe de symétrie de la parabole.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Étude d'un trinôme
Corrigé :
1. $\Delta = 16 + 48 = 64$.
2. $\sqrt{\Delta} = 8$, $x_1 = \frac{4-8}{4} = -1$, $x_2 = \frac{4+8}{4} = 3$.
3. $a = 2 > 0$ : $f$ positif à l'extérieur, négatif entre $-1$ et $3$.
4. On veut $f(x) \leq 0$ : solution $[-1\,;\,3]$.

Exercice 2 — Parabole et sommet
Corrigé :
1. $\alpha = -\frac{6}{2\times(-3)} = 1$ ; $\beta = g(1) = -3 + 6 + 1 = 4$. Sommet $S(1\,;\,4)$.
2. $a = -3 < 0$ : parabole vers le bas, donc un maximum.
3. Maximum égal à $4$, atteint en $x = 1$.

Exercice 3 — Résoudre des équations
Corrigé :
1. $\Delta = 9 + 40 = 49$, $x_1 = \frac{3-7}{2} = -2$, $x_2 = \frac{3+7}{2} = 5$. Solutions $\{-2\,;\,5\}$.
2. $\Delta = 16 - 16 = 0$, racine double $x_0 = 2$.
3. $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$ : aucune solution réelle.
4. $x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$ ou $x = -5$. Solutions $\{-5\,;\,5\}$.

Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1–2. Deux largeurs $x$ + une longueur $= 80$, donc longueur $= 80 - 2x$. Aire : $A(x) = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$.
3. $\alpha = -\frac{80}{2\times(-2)} = 20$ m. Aire maximale : $A(20) = -800 + 1600 = 800$ m².

Exercice 5 — Lecture graphique
Corrigé :
1. Le sommet est le point le plus bas ($\beta = -4$), donc la parabole est tournée vers le haut ($a > 0$).
2. L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : $x = -1$ (c'est aussi le milieu de $-3$ et $1$).

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