Optique géométrique : lentilles et instruments

Exercice 1 — Propriétés des lentilles minces
Corrigé :
1. Le centre optique $O$ est le point de la lentille par lequel tout rayon lumineux passe sans déviation. Le foyer image $F'$ est le point de l'axe où convergent les rayons incidents parallèles à l'axe. Le foyer objet $F$ est symétrique de $F'$ par rapport à $O$ : $\overline{OF} = -f'$.
2. $f' = 1/V = 1/8 = 0{,}125\,\text{m} = 12{,}5\,\text{cm}$. $V > 0$ → lentille convergente.
3. Une image réelle se forme à l'intersection des rayons réfractés eux-mêmes (on peut la projeter sur un écran). Une image virtuelle se forme à l'intersection des prolongements des rayons réfractés (non visible sur un écran, mais perçue par l'œil).

Exercice 2 — Calcul de position et de grandissement
Corrigé :
a) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{-36} = \frac{3-1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ → $\overline{OA'} = +18\,\text{cm}$.
b) $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{18}{-36} = -0{,}5$.
c) $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}5 \times 3 = -1{,}5\,\text{cm}$. Image réelle ($\overline{OA'} > 0$), renversée ($\gamma < 0$), réduite ($|\gamma| < 1$).

Exercice 3 — Construction géométrique
Corrigé :
a) $f' = 3\,\text{cm}$, donc $F$ est en $\overline{OF} = -3\,\text{cm}$ et $2F$ en $-6\,\text{cm}$. L'objet est à $-4{,}5\,\text{cm}$ : entre $F$ et $2F$ (entre les positions $-3$ et $-6\,\text{cm}$).
b) Rayon 1 : parallèle à l'axe → dévié vers $F'$. Rayon 3 : passe par $O$ sans déviation. L'intersection de ces deux rayons donne $A'$, qui se trouve à droite de la lentille (image réelle, renversée et agrandie).
c) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{-4{,}5} = \frac{3-2}{9} = \frac{1}{9}$ → $\overline{OA'} = +9\,\text{cm}$. ✓ Réelle ($> 0$), renversée ($\gamma = 9/(-4{,}5) = -2$), agrandie.

Exercice 4 — Modèle de l'œil et correction
Corrigé :
a) Lentille divergente : le myope converge trop, il faut réduire la vergence totale du système œil+verre.
b) Pour un objet à l'infini, l'image doit se former au punctum remotum de l'œil : $\overline{OA'} = -PR = -0{,}80\,\text{m}$, $\overline{OA} = -\infty$. Relation : $V = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{-0{,}80} - 0 = -1{,}25\,\delta$.
c) Objet à $\overline{OA} = -0{,}25\,\text{m}$ à travers le verre $V = -1{,}25\,\delta$ : $\frac{1}{\overline{OA'}} = -1{,}25 + \frac{1}{-0{,}25} = -1{,}25 - 4 = -5{,}25\,\delta$ → $\overline{OA'} = -\frac{1}{5{,}25} \approx -19\,\text{cm}$. Image virtuelle (l'œil voit l'objet apparent à 19 cm, distance inférieure au PR de l'œil corrigé).

Exercice 5 — Lunette astronomique afocale
Corrigé :
a) $G = \frac{f'_1}{f'_2} = \frac{750}{25} = 30$. La lunette grossit 30 fois.
b) $L = f'_1 + f'_2 = 750 + 25 = 775\,\text{mm}$.
c) L'image finale est renversée par rapport à l'objet. En effet : l'objectif forme une image intermédiaire réelle renversée (objet lointain → image en $F'_1$) ; l'oculaire, utilisé comme loupe, redresse cette image... mais en pratique la lunette astronomique donne une image renversée de l'objet céleste, ce qui est acceptable en astronomie (aucun repère d'orientation dans le ciel). Pour une utilisation terrestre, on ajoute un système redresseur.