← Retour aux ressources
Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Trigonométrie — formules d'addition et fonctions

Formules d'addition, fonctions cosinus, sinus, tangente et leurs propriétés (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables, Formules d'addition pour cosinus et sinus, Formules de duplication, Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Valeurs exactes et formules d'addition

/ 5 pts
  1. Rappelle les formules d'addition pour $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$. (1 pt)
  2. En utilisant la décomposition $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$, calcule la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$. Détaille le calcul. (2 pts)
  3. Sachant que $\sin a = \frac{5}{13}$ et $a \in \left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]$, calcule $\cos a$, puis $\sin(2a)$ et $\cos(2a)$. (2 pts)

Exercice 2 — Dérivation de fonctions trigonométriques

/ 4 pts
  1. Calcule la dérivée de $f(x) = \sin(x^2 + 3)$. (1 pt)
  2. Calcule la dérivée de $g(x) = \cos^2(3x)$. On pourra écrire $g(x) = [\cos(3x)]^2$. (1,5 pts)
  3. Calcule la dérivée de $h(x) = x\cos x - \sin x$. (1,5 pts)

Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques

/ 5 pts
  1. Résous $\cos x = -\frac{1}{2}$ sur $\mathbb{R}$, puis donne les solutions dans $[0;\ 2\pi]$. (2 pts)
  2. Résous $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ sur $[0;\ 2\pi]$. (Indication : factoriser comme un trinôme en $u=\sin x$.) (3 pts)

Exercice 4 — Linéarisation et intégration

/ 3 pts
  1. Linéarise $\cos^2 x$ (exprime comme combinaison de fonctions en $\cos(2x)$). (1 pt)
  2. En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$. (2 pts)

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 3 pts
  1. On pose $f(x) = \sqrt{3}\cos x + \sin x$.
  2. a) Montrer que $f(x) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. (1,5 pts)
  3. b) En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $[0;\ 2\pi]$, et les valeurs de $x$ où ils sont atteints. (1,5 pts)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Valeurs exactes et formules d'addition
Corrigé :
1. $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ; $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

2. $\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

3. $\cos a=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$.
$\sin(2a)=2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
$\cos(2a)=1-2\sin^2 a=1-\frac{50}{169}=\frac{119}{169}$.

Exercice 2 — Dérivation de fonctions trigonométriques
Corrigé :
1. $f'(x)=2x\cos(x^2+3)$. (Règle de la chaîne : dérivée de l'intérieur $\times$ cosinus.)

2. $g(x)=[\cos(3x)]^2$ ; dérivée : $g'(x)=2\cos(3x)\times(-3\sin(3x))=-6\cos(3x)\sin(3x)=-3\sin(6x)$.

3. $h(x)=x\cos x-\sin x$. Produit pour $x\cos x$ : $(x\cos x)'=\cos x - x\sin x$. Donc $h'(x)=(\cos x-x\sin x)-\cos x=-x\sin x$.

Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques
Corrigé :
1. $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}$, donc $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Sur $[0;2\pi]$ : $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=2\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$.

2. $2u^2-u-1=0$ avec $u=\sin x$ : discriminant $\Delta=1+8=9$, $u=\frac{1\pm 3}{4}$, donc $u=1$ ou $u=-\frac{1}{2}$.
• $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$.
• $\sin x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$ ou $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$.
Solutions sur $[0;2\pi]$ : $x\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.

Exercice 4 — Linéarisation et intégration
Corrigé :
1. $\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ (formule de linéarisation issue de $\cos(2x)=2\cos^2 x-1$).

2. $\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}$
$=\frac{\pi}{2}+\frac{\sin(2\pi)}{4}-\left(0+\frac{\sin 0}{4}\right)=\frac{\pi}{2}+0-0=\dfrac{\pi}{2}$.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=\sqrt{3}\cos x+\sin x=f(x)$. ✓

b) Maximum de $f$ : $f_\max=2$ atteint quand $\cos(x-\frac{\pi}{6})=1$, i.e. $x=\frac{\pi}{6}$.
Minimum de $f$ : $f_\min=-2$ atteint quand $\cos(x-\frac{\pi}{6})=-1$, i.e. $x-\frac{\pi}{6}=\pi$, soit $x=\frac{7\pi}{6}$.

→Continuer ce chapitre
📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM
↔Autres chapitres
← Équations différentielles Géométrie dans l'espace →
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs