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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Loi binomiale

Modélisation des épreuves répétées : schéma de Bernoulli, espérance et écart-type (programme de Terminale Spécialité Maths)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Loi binomiale » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Épreuve de Bernoulli, Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli, Coefficients binomiaux, Loi binomiale : définition et formule. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Modélisation et loi de la variable

/ 4 pts
  1. Un arbre fruitier porte des fruits dont 15 % sont abîmés. On cueille 12 fruits au hasard (les fruits sont suffisamment nombreux pour considérer les tirages indépendants). Soit $X$ le nombre de fruits abîmés parmi les 12.
  2. a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
  3. b) Calculer $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$, arrondis à $10^{-4}$.
  4. c) En déduire $P(X \leq 1)$.

Exercice 2 — Espérance et écart-type

/ 4 pts
  1. Dans un jeu de loterie, la probabilité de gagner à chaque partie est $p = \frac{1}{5}$. Un joueur effectue 25 parties indépendantes. Soit $Y$ le nombre de parties gagnées.
  2. a) Quelle est la loi de $Y$ ?
  3. b) Calculer l'espérance $E(Y)$ et interpréter ce résultat.
  4. c) Calculer la variance $V(Y)$ et l'écart-type $\sigma(Y)$ (arrondi à $10^{-2}$).
  5. d) Calculer $P(Y = E(Y))$ arrondi à $10^{-3}$.

Exercice 3 — Probabilité cumulée et interprétation

/ 5 pts
  1. Un médicament contre la grippe a une efficacité de 72 %. On le prescrit à 18 patients grippés indépendants. Soit $G$ le nombre de patients guéris.
  2. a) Donner la loi de $G$.
  3. b) À l'aide de la calculatrice, calculer $P(G \leq 12)$ arrondi à $10^{-4}$.
  4. c) En déduire $P(G \geq 13)$.
  5. d) Calculer $P(10 \leq G \leq 14) = P(G \leq 14) - P(G \leq 9)$, sachant que $P(G \leq 14) \approx 0{,}8499$ et $P(G \leq 9) \approx 0{,}0557$.
  6. e) Interpréter la probabilité $P(G \geq 13)$ dans le contexte.

Exercice 4 — Coefficients binomiaux et formule

/ 3 pts
  1. a) Calculer $\binom{8}{3}$ à l'aide de la formule factorielle.
  2. b) Vérifier la relation de Pascal : $\binom{8}{3} = \binom{7}{2} + \binom{7}{3}$.
  3. c) Pour $X \sim \mathcal{B}(8, \frac{1}{3})$, calculer $P(X = 3)$ (arrondi à $10^{-3}$).

Exercice 5 — Problème ouvert — Recherche d'un paramètre

/ 4 pts
  1. Une chaîne de production fabrique des pièces. On modélise le nombre $X$ de pièces défectueuses dans un lot de $n$ pièces par une loi $\mathcal{B}(n, 0{,}05)$.
  2. a) Calculer $P(X = 0)$ en fonction de $n$.
  3. b) On souhaite que la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse soit supérieure à 90 %. Traduire cette condition par une inégalité sur $P(X = 0)$.
  4. c) En utilisant les logarithmes, déterminer la plus petite valeur entière de $n$ satisfaisant cette condition. (Rappel : $\ln(0{,}95) \approx -0{,}0513$.)
  5. d) Interpréter le résultat.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Modélisation et loi de la variable
Corrigé :
a) Chaque fruit est abîmé (succès, $p = 0{,}15$) ou sain (échec) indépendamment des autres, la probabilité étant la même pour chaque fruit. On répète $n = 12$ fois l'épreuve. Donc $X \sim \mathcal{B}(12, 0{,}15)$.
b) $P(X=0) = (0{,}85)^{12} \approx 0{,}1422$.
$P(X=1) = \binom{12}{1}(0{,}15)^1(0{,}85)^{11} = 12 \times 0{,}15 \times (0{,}85)^{11} \approx 12 \times 0{,}15 \times 0{,}1673 \approx 0{,}3012$.
c) $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}1422 + 0{,}3012 = 0{,}4434$.

Exercice 2 — Espérance et écart-type
Corrigé :
a) $Y \sim \mathcal{B}\!\left(25, \frac{1}{5}\right) = \mathcal{B}(25, 0{,}2)$.
b) $E(Y) = 25 \times 0{,}2 = 5$. En moyenne, le joueur gagne 5 parties sur 25.
c) $V(Y) = 25 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 4$. $\sigma(Y) = \sqrt{4} = 2$.
d) $E(Y) = 5$ (entier). $P(Y = 5) = \binom{25}{5}(0{,}2)^5(0{,}8)^{20} = 53130 \times (3{,}2 \times 10^{-4}) \times (0{,}8)^{20}$.
$(0{,}8)^{20} \approx 0{,}01153$. $P(Y=5) \approx 53130 \times 3{,}2 \times 10^{-4} \times 0{,}01153 \approx 0{,}196$.

Exercice 3 — Probabilité cumulée et interprétation
Corrigé :
a) $G \sim \mathcal{B}(18, 0{,}72)$.
b) Par calculatrice (binomcdf) : $P(G \leq 12) \approx 0{,}2355$.
c) $P(G \geq 13) = 1 - P(G \leq 12) \approx 1 - 0{,}2355 = 0{,}7645$.
d) $P(10 \leq G \leq 14) = P(G \leq 14) - P(G \leq 9) \approx 0{,}8499 - 0{,}0557 = 0{,}7942$.
e) $P(G \geq 13) \approx 76{,}5\%$. Il y a environ 76 chances sur 100 que 13 patients ou plus sur 18 soient guéris par ce médicament. C'est un bon indicateur d'efficacité.

Exercice 4 — Coefficients binomiaux et formule
Corrigé :
a) $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$.
b) $\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = 21$ et $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35$. $21 + 35 = 56 = \binom{8}{3}$. ✓
c) $P(X=3) = 56 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 56 \times \frac{1}{27} \times \frac{32}{243} = 56 \times \frac{32}{6561} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}273$.

Exercice 5 — Problème ouvert — Recherche d'un paramètre
Corrigé :
a) $P(X=0) = \binom{n}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^n = (0{,}95)^n$.
b) $P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \Leftrightarrow 1 - P(X=0) \geq 0{,}9 \Leftrightarrow P(X=0) \leq 0{,}1$, soit $(0{,}95)^n \leq 0{,}1$.
c) En prenant le logarithme (négatif, l'inégalité change de sens) :
$n \ln(0{,}95) \leq \ln(0{,}1)$
$n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)} = \frac{-\ln 10}{\ln(0{,}95)} \approx \frac{-2{,}303}{-0{,}0513} \approx 44{,}9$.
La plus petite valeur entière est $n = 45$.
d) Il faut prélever au moins 45 pièces pour avoir plus de 90 % de chances de trouver au moins une pièce défectueuse dans le lot.

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