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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Fonction logarithme népérien

Définition, propriétés algébriques et étude complète de ln — Analyse (Terminale spécialité)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Fonction logarithme népérien » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée de la fonction logarithme, Variations et représentation graphique. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calculs algébriques

/ 4 pts
  1. Simplifier les expressions suivantes (1 pt chacune) :
    a) $A = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$
    b) $B = \ln(8) + \ln(3) - \ln(12)$
    c) $C = e^{2\ln(5)}$
    d) $D = \ln\!\left(\sqrt{\dfrac{e^4}{e^2}}\right)$

Exercice 2 — Équations et inéquations

/ 5 pts
  1. 1. (2 pts) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)$ en précisant les conditions d'existence.
  2. 2. (3 pts) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln^2(x) - 5\ln(x) + 6 \leq 0$.

Exercice 3 — Dérivées et étude de variations

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = x^2 - 2\ln(x)$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$.
  2. a) (1 pt) Calculer $f'(x)$.
  3. b) (1 pt) Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
  4. c) (1 pt) Calculer $f(1)$. Qu'en déduire ?
  5. d) (1 pt) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  6. e) (1 pt) Dresser le tableau de variations complet de $f$.

Exercice 4 — Primitive et calcul intégral

/ 3 pts
  1. a) (1 pt) Vérifier que $F(x) = x\ln(x) - x$ est une primitive de $\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  2. b) (2 pts) En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx$.

Exercice 5 — Problème de modélisation

/ 3 pts
  1. La population d'une ville est modélisée par $P(t) = 50\,000 \cdot e^{0{,}02t}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2020.
  2. a) (1 pt) Quelle était la population en 2020 ?
  3. b) (1 pt) Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépasse 100 000 habitants. (Donner une valeur approchée au dixième.)
  4. c) (1 pt) Exprimer $t$ en fonction de $P$ à l'aide de $\ln$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calculs algébriques
Corrigé :
a) $\ln(e^3)+\ln(e^{-1}) = 3 + (-1) = 2$
b) $\ln(8)+\ln(3)-\ln(12) = \ln\!\left(\dfrac{8\times 3}{12}\right) = \ln(2)$
c) $e^{2\ln 5} = e^{\ln(5^2)} = 5^2 = 25$
d) $\ln\!\left(\sqrt{e^{4-2}}\right) = \ln(\sqrt{e^2}) = \ln(e) = 1$

Exercice 2 — Équations et inéquations
Corrigé :
1. Conditions : $x+3 > 0$ et $x-1 > 0$, soit $x > 1$.
$\ln((x+3)(x-1)) = \ln(5) \Rightarrow (x+3)(x-1)=5 \Rightarrow x^2+2x-3=5 \Rightarrow x^2+2x-8=0$.
$\Delta = 4+32=36$, $x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$, soit $x=2$ ou $x=-4$.
Seul $x=2 > 1$ convient. Solution : $x = 2$.

2. Condition : $x > 0$. Poser $X = \ln(x)$.
$X^2-5X+6 \leq 0 \Rightarrow (X-2)(X-3) \leq 0 \Rightarrow 2 \leq X \leq 3$.
$2 \leq \ln(x) \leq 3 \Rightarrow e^2 \leq x \leq e^3$. Solution : $x \in [e^2\,;\,e^3]$.

Exercice 3 — Dérivées et étude de variations
Corrigé :
a) $f'(x) = 2x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^2-1)}{x} = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}$. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $(x+1) > 0$ et $x > 0$, donc le signe est celui de $(x-1)$.
b) $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ (décroissante), $f'(1)=0$, $f'(x) > 0$ si $x > 1$ (croissante). Minimum en $x=1$.
c) $f(1) = 1 - 2\ln(1) = 1$. C'est le minimum de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$, soit $x^2 - 2\ln(x) \geq 1$.
d) $\lim_{0^+} x^2 = 0$ et $\lim_{0^+} \ln(x) = -\infty$, donc $\lim_{0^+} f(x) = 0 - 2(-\infty) = +\infty$. $\lim_{+\infty} x^2 = +\infty$ et $x^2 \gg \ln(x)$, donc $\lim_{+\infty} f(x) = +\infty$.
e) Tableau : $]0\,;\,+\infty[$, décroissant jusqu'à $x=1$ (min $f(1)=1$), croissant ensuite. Limites $+\infty$ aux deux bords.

Exercice 4 — Primitive et calcul intégral
Corrigé :
a) $F'(x) = \ln(x) + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $\ln$.
b) $\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = [x\ln(x)-x]_1^{e^2}$
$= \left(e^2 \cdot \ln(e^2) - e^2\right) - \left(1 \cdot \ln(1) - 1\right)$
$= (e^2 \cdot 2 - e^2) - (0 - 1)$
$= 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$

Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) $P(0) = 50\,000 \cdot e^0 = 50\,000$ habitants.
b) $P(t) > 100\,000 \Leftrightarrow e^{0{,}02t} > 2 \Leftrightarrow 0{,}02t > \ln(2) \Leftrightarrow t > \dfrac{\ln 2}{0{,}02} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}02} \approx 34{,}7$ ans.
Cela correspond à l'année $2020 + 35 = 2055$.
c) $P = 50\,000 \cdot e^{0{,}02t} \Rightarrow e^{0{,}02t} = \dfrac{P}{50\,000} \Rightarrow 0{,}02t = \ln\!\left(\dfrac{P}{50\,000}\right) \Rightarrow t = 50\ln\!\left(\dfrac{P}{50\,000}\right)$.

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