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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Équations différentielles

Équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b — définition, solutions, conditions initiales — programme de Spécialité Maths Terminale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Équations différentielles » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Notion d'équation différentielle, Équation y' = ay — solution générale, Condition initiale et solution particulière, Équation y' = ay + b — méthode. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Vérification et solution générale

/ 4 pts
  1. Montrer que $f(x) = 5e^{-3x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -3y$.
  2. Donner la solution générale de $y' = -3y$.
  3. Quelle valeur de $C$ donne la solution $f(x) = 5e^{-3x}$ ?

Exercice 2 — Résolution avec condition initiale

/ 5 pts
  1. Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y + 6$.
  2. Déterminer la solution particulière vérifiant $y(0) = -1$.
  3. Calculer la limite de cette solution quand $x \to -\infty$.

Exercice 3 — Étude d'une équation différentielle

/ 6 pts
  1. Résoudre $y' = -y + 4$ sachant que $y(0) = 6$.
  2. Dresser le tableau de variations de la solution.
  3. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la solution vaut $4{,}5$. On donnera la réponse exacte.
  4. Donner la limite de la solution quand $x \to +\infty$.

Exercice 4 — Problème de modélisation

/ 5 pts
  1. Un médicament est absorbé dans le sang. Sa concentration $C(t)$ (en mg/L, $t$ en heures) vérifie $C'(t) = -0{,}5C(t) + 2$ et $C(0) = 0$ (avant la prise).
  2. a) Montrer que la solution particulière constante est $C_p = 4$.
  3. b) Donner la solution générale, puis la solution particulière avec $C(0) = 0$.
  4. c) Calculer la concentration après 2 heures (arrondir à 0,1 mg/L).
  5. d) Vers quelle valeur tend $C(t)$ quand $t \to +\infty$ ? Interpréter.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Vérification et solution générale
Corrigé :
1. $f'(x) = -15e^{-3x}$ et $-3f(x) = -15e^{-3x}$. On a bien $f'(x) = -3f(x)$, donc $f$ est solution. (2 pts)
2. La solution générale de $y' = -3y$ est $y = Ce^{-3x}$, $C \in \mathbb{R}$. (1 pt)
3. $f(x) = 5e^{-3x}$ correspond à $C = 5$. (1 pt)

Exercice 2 — Résolution avec condition initiale
Corrigé :
1. Solution particulière constante : $0 = 2y_p + 6 \Rightarrow y_p = -3$. Solution générale : $y = Ce^{2x} - 3$. (2 pts)
2. Condition initiale : $y(0) = C - 3 = -1 \Rightarrow C = 2$. Solution particulière : $y = 2e^{2x} - 3$. (2 pts)
3. Limite : $a = 2 > 0$, donc $e^{2x} \to 0$ quand $x \to -\infty$. Ainsi $y \to -3$. (1 pt)

Exercice 3 — Étude d'une équation différentielle
Corrigé :
1. $y_p = 4$ ; solution générale $Ce^{-x} + 4$ ; $y(0) = C + 4 = 6 \Rightarrow C = 2$. Solution : $y = 2e^{-x} + 4$. (2 pts)
2. Variations : $y'(x) = -2e^{-x}$. Comme $e^{-x} > 0$, $y'(x) < 0$ pour tout $x$ : la solution est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (2 pts)
3. $2e^{-x} + 4 = 4{,}5 \Rightarrow e^{-x} = 0{,}25 \Rightarrow -x = \ln(0{,}25) = -\ln 4 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. (1 pt)
4. Limite : $e^{-x} \to 0$, donc $y \to 4$. La droite $y = 4$ est asymptote horizontale. (1 pt)

Exercice 4 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) On cherche $C_p$ constante telle que $0 = -0{,}5C_p + 2 \Rightarrow C_p = 4$. (1 pt)
b) Solution générale : $C(t) = Ke^{-0{,}5t} + 4$. Condition $C(0) = K + 4 = 0 \Rightarrow K = -4$. Solution : $C(t) = -4e^{-0{,}5t} + 4 = 4(1 - e^{-0{,}5t})$. (2 pts)
c) $C(2) = 4(1 - e^{-1}) \approx 4 \times 0{,}632 \approx 2{,}5$ mg/L. (1 pt)
d) $e^{-0{,}5t} \to 0$, donc $C(t) \to 4$ mg/L : c'est la concentration d'équilibre (plateau). (1 pt)

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