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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Dérivation avancée — convexité et primitives

Étude de la convexité des fonctions et calcul de primitives — programme de Terminale Spé Maths

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Dérivation avancée — convexité et primitives » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels sur la dérivation et la dérivée seconde, Convexité et concavité d'une fonction, Points d'inflexion, Lien entre convexité et tangentes. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Dérivée seconde et convexité d'un polynôme

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ définie sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
  3. 2. Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
  4. 3. Montrer que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion et donner ses coordonnées.
  5. 4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'inflexion.

Exercice 2 — Primitives usuelles et linéarité

/ 4 pts
  1. Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes (constante d'intégration nulle) :
  2. 1. $f(x) = 3x^2 - 4\sqrt{x} + \frac{2}{x}$ sur $]0;+\infty[$.
  3. 2. $g(x) = 5e^{2x} - 3\sin(x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
  4. 3. $h(x) = \frac{6x^2}{x^3 + 1}$ sur $]-1;+\infty[$.
  5. 4. $k(x) = 4x(x^2+3)^2$.

Exercice 3 — Primitive avec condition initiale

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = 6x^2 - 4x + 1$.
  2. 1. Déterminer toutes les primitives $F$ de $f$.
  3. 2. Trouver la primitive $F_0$ telle que $F_0(1) = 3$.
  4. 3. Soit $g(x) = e^x + 2x$. Trouver la primitive $G$ de $g$ telle que $G(0) = -1$.
  5. 4. Vérifier le résultat de la question 3 en calculant $G'(x)$.

Exercice 4 — Étude complète et inégalité par convexité

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = e^x - x - 1$ définie sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
  3. 2. Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
  4. 3. Étudier les variations de $f$ et montrer que $f$ admet un minimum global en $x = 0$.
  5. 4. En déduire l'inégalité $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.
  6. 5. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on égalité ?

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 2$ définie sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$, $f''(x)$ et dresser le tableau de variation et de convexité complet de $f$.
  3. 2. Déterminer le point d'inflexion de la courbe de $f$.
  4. 3. Montrer que la tangente au point d'inflexion coupe la courbe en ce point (propriété caractéristique).
  5. 4. Trouver la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 0$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Dérivée seconde et convexité d'un polynôme
Corrigé :
1. $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
$f''(x) = 12x - 18 = 6(2x - 3)$.
2. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$. Pour $x < \frac{3}{2}$ : $f''(x) < 0$ (concave). Pour $x > \frac{3}{2}$ : $f''(x) > 0$ (convexe).
3. $f''$ change de signe en $\frac{3}{2}$ → point d'inflexion. $f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\cdot\frac{27}{8} - 9\cdot\frac{9}{4} + 12\cdot\frac{3}{2} - 4 = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18 - 4 = -\frac{54}{4} + 14 = -\frac{27}{2} + 14 = \frac{1}{2}$. Coordonnées : $\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)$.
4. $f'\left(\frac{3}{2}\right) = 6\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right) = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$. Tangente : $y = -\frac{3}{2}\left(x - \frac{3}{2}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{4}$.

Exercice 2 — Primitives usuelles et linéarité
Corrigé :
1. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ → primitive $\frac{2}{3}x^{3/2}$. $F(x) = x^3 - \frac{8}{3}x^{3/2} + 2\ln(x)$.
2. $G(x) = \frac{5}{2}e^{2x} + 3\cos(x) + 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
3. Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^3+1$, $u' = 3x^2$. $h(x) = 2 \cdot \frac{3x^2}{x^3+1}$. $H(x) = 2\ln(x^3+1)$.
4. Forme $u' \cdot u^n$ : $u = x^2+3$, $u' = 2x$, $k(x) = 2 \cdot 2x(x^2+3)^2 = 2u' \cdot u^2$. $K(x) = 2 \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{2(x^2+3)^3}{3}$.

Exercice 3 — Primitive avec condition initiale
Corrigé :
1. $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C$, $C \in \mathbb{R}$.
2. $F_0(1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 3 \Rightarrow C = 2$. Donc $F_0(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 2$.
3. Primitives de $g$ : $G(x) = e^x + x^2 + C$. $G(0) = e^0 + 0 + C = 1 + C = -1 \Rightarrow C = -2$. Donc $G(x) = e^x + x^2 - 2$.
4. $G'(x) = e^x + 2x = g(x)$. ✓

Exercice 4 — Étude complète et inégalité par convexité
Corrigé :
1. $f'(x) = e^x - 1$. $f''(x) = e^x$.
2. $f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
3. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (décroissante), $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (croissante). Donc $f$ admet un minimum en $x = 0$. Comme $f$ est convexe, ce minimum local est un minimum global. $f(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.
4. $f(x) \geq f(0) = 0$ pour tout $x$, donc $e^x - x - 1 \geq 0$, soit $e^x \geq x + 1$.
5. Égalité pour $x = 0$ uniquement (le minimum est atteint en un seul point).

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x-2)(x+1)$. Racines $x = 2$ et $x = -1$. $f'' (x) = 6x - 3 = 3(2x-1)$. Racine $x = \frac{1}{2}$.
Tableau de variations : $f$ décroissante sur $[-1;2]$, croissante ailleurs. $f$ concave sur $]-\infty; \frac{1}{2}[$, convexe sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$.
2. $f''$ change de signe en $\frac{1}{2}$. $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 3 + 2 = -\frac{2}{8} - 1 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$. Point d'inflexion : $\left(\frac{1}{2}; -\frac{5}{4}\right)$.
3. La tangente au point d'inflexion est $y = f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right)$. $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\cdot(-\frac{3}{2})(\frac{3}{2}) \cdot... $ : $f'(1/2)=3(1/4-1/2-2)=3\cdot(-9/4)=-27/4$. La tangente coupe la courbe en le point d'inflexion par définition (la courbe traverse sa tangente en un point d'inflexion).
4. $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{2} - 3x^2 + 2x + C$. $F(0) = C = 0$. Donc $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{2} - 3x^2 + 2x$.

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