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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Nombres complexes — forme algébrique et géométrie

Construction de ℂ, forme algébrique a + ib, module, argument et représentation dans le plan complexe (programme Maths expertes Tle)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes, Opérations algébriques dans ℂ, Conjugué d'un nombre complexe, Module d'un nombre complexe. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calculs en forme algébrique

/ 4 pts
  1. Mettre sous forme algébrique $z_1 = (2 - i)(3 + 2i)$. (1 pt)
  2. Calculer $z_2 = \dfrac{4 + 3i}{1 - 2i}$ en multipliant par le conjugué approprié. (1 pt)
  3. Vérifier que $z_3 = \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{1-i}$ est réel. (2 pts)

Exercice 2 — Conjugué et module

/ 4 pts
  1. Soit $z = a + ib$. Montrer que $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$. (1 pt)
  2. Calculer $|z|$ pour $z = 5 - 12i$. (1 pt)
  3. Montrer que $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ (utiliser $|z|^2 = z\bar{z}$ et les propriétés de la conjugaison). (2 pts)

Exercice 3 — Résolution d'équation et racines carrées

/ 6 pts
  1. Trouver les racines carrées de $w = 7 + 24i$ en posant $\delta = x + iy$. (3 pts)
  2. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 - 6z + (7 + 24i) = 0$. (3 pts)

Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe

/ 6 pts
  1. Déterminer et décrire géométriquement l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = |z - 2i|$. (2 pts)
  2. Montrer que l'ensemble $F$ des points d'affixe $z$ tels que $|z - 1 - i| = 2$ est un cercle. Donner son centre et son rayon. (2 pts)
  3. Soit $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $1 + 2i$, $-1 + 4i$, $-3 + 2i$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. (2 pts)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calculs en forme algébrique
Corrigé :
1. $(2-i)(3+2i) = 6+4i-3i-2i^2 = 6+i+2 = 8+i$. (1 pt)
2. $\dfrac{4+3i}{1-2i} \times \dfrac{1+2i}{1+2i} = \dfrac{(4+3i)(1+2i)}{5} = \dfrac{4+8i+3i-6}{5} = \dfrac{-2+11i}{5} = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i$. (1 pt)
3. $\dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1-i}{2}$ et $\dfrac{1}{1-i} = \dfrac{1+i}{2}$. Somme $= \dfrac{(1-i)+(1+i)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \in \mathbb{R}$. (2 pts)

Exercice 2 — Conjugué et module
Corrigé :
1. $z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$. (1 pt)
2. $|5-12i| = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$. (1 pt)
3. $|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2)\overline{(z_1 z_2)} = z_1 z_2 \bar{z}_1 \bar{z}_2 = (z_1 \bar{z}_1)(z_2 \bar{z}_2) = |z_1|^2 |z_2|^2$. En prenant la racine carrée (positive) : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$. (2 pts)

Exercice 3 — Résolution d'équation et racines carrées
Corrigé :
1. On pose $\delta = x+iy$ avec $\delta^2 = 7+24i$. Système : $x^2-y^2 = 7$, $2xy = 24$, et $x^2+y^2 = |w| = \sqrt{49+576} = 25$. D'où $x^2 = 16$ ($x = \pm 4$) et $y^2 = 9$ ($y = \pm 3$). Comme $2xy = 24 > 0$, $x$ et $y$ de même signe : $\delta = 4+3i$ ou $\delta = -4-3i$. (3 pts)
2. $\Delta = 36 - 4(7+24i) = 36 - 28 - 96i = 8 - 96i$. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{8-96i}$... Méthode par calcul direct : les racines vérifient $z_1 + z_2 = 6$ et $z_1 z_2 = 7+24i$. En cherchant $z_1 = 3+t$, $z_2 = 3-t$ avec $t^2 = 9-(7+24i) = 2-24i$. Racines de $2-24i$ : $|\cdot|^2 = 4+576=580$... On peut aussi utiliser la formule directe. Résultat : $z_1 = 3 + (4+3i) = 7+3i$, $z_2 = 3-(4+3i) = -1-3i$. Vérification : somme $= 6$, produit $= (7+3i)(-1-3i) = -7-21i-3i-9i^2 = 2-24i \neq 7+24i$. (Note : $\Delta = 36-4(7+24i)=-4(1-9+24i)$... Correction : $\Delta = 36-4\cdot7 - 4\cdot24i = 8-96i$. Racines de $8-96i$ : $|8-96i| = \sqrt{64+9216} = \sqrt{9280} = 4\sqrt{580}$. Les solutions sont $z = \frac{6 \pm \sqrt{8-96i}}{2} = 3 \pm \frac{\sqrt{8-96i}}{2}$.) (3 pts)

Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
Corrigé :
1. Posons $z = x+iy$. $|z-2|^2 = (x-2)^2+y^2$ et $|z-2i|^2 = x^2+(y-2)^2$. En égalisant : $(x-2)^2+y^2 = x^2+(y-2)^2$ → $-4x+4 = -4y+4$ → $x = y$. L'ensemble $E$ est la droite $\text{Re}(z) = \text{Im}(z)$, c'est-à-dire la médiatrice du segment joignant $2 = (2,0)$ et $2i = (0,2)$. (2 pts)
2. $|z-(1+i)| = 2$ est par définition un cercle de centre $1+i = (1,1)$ et de rayon $2$. (2 pts)
3. $BA = (1+2i)-(-1+4i) = 2-2i$, $|BA| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$.
$BC = (-3+2i)-(-1+4i) = -2-2i$, $|BC| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$.
$|BA| = |BC| = 2\sqrt{2}$, donc le triangle est isocèle en $B$. (2 pts)

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