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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Matrices — définition et opérations

Définir, lire et calculer avec des matrices carrées et rectangulaires (Maths expertes Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Matrices — définition et opérations » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Notion de matrice, Types particuliers de matrices, Addition de matrices et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Lecture et opérations de base

/ 4 pts
  1. Soit $A = \begin{pmatrix}3&-1&2\\0&4&-5\\1&2&0\end{pmatrix}$. Préciser la taille de $A$ et donner les coefficients $a_{13}$, $a_{31}$ et $a_{23}$.
  2. Soient $B = \begin{pmatrix}1&2\\-1&0\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}$. Calculer $B + C$ et $3B - 2C$.

Exercice 2 — Produit de matrices

/ 5 pts
  1. Soient $A = \begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&4\\-1&2\end{pmatrix}$. Calculer $AB$ et $BA$.
  2. Conclure sur la commutativité du produit matriciel en vous appuyant sur le calcul précédent.

Exercice 3 — Transposée — propriétés

/ 4 pts
  1. Soient $A = \begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&4\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&0\\-1&2\\3&1\end{pmatrix}$. Calculer ${}^tA$, ${}^tB$ et vérifier que ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$.
  2. Montrer que pour toute matrice carrée $A$, la matrice $A + {}^tA$ est symétrique.

Exercice 4 — Puissances d'une matrice

/ 4 pts
  1. Soit $A = \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et $A^3$.
  2. Conjecturer la valeur de $A^n$ pour tout $n\ge 1$ et démontrer la conjecture par récurrence.

Exercice 5 — Contre-exemple et raisonnement

/ 3 pts
  1. Soit $A = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. Calculer $AB$.
  2. Déduire qu'on ne peut pas simplifier par $B$ dans une égalité du type $XB = 0$ pour conclure $X=0$. Justifier.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Lecture et opérations de base
Corrigé :
• $A$ est de taille $3\times3$ ; $a_{13}=2$, $a_{31}=1$, $a_{23}=-5$.
• $B+C=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}$.
• $3B=\begin{pmatrix}3&6\\-3&0\end{pmatrix}$, $2C=\begin{pmatrix}6&-4\\2&8\end{pmatrix}$, donc $3B-2C=\begin{pmatrix}-3&10\\-5&-8\end{pmatrix}$.

Exercice 2 — Produit de matrices
Corrigé :
$AB=\begin{pmatrix}2\times1+(-1)\times(-1)&2\times4+(-1)\times2\\0\times1+3\times(-1)&0\times4+3\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\-3&6\end{pmatrix}$.
$BA=\begin{pmatrix}1\times2+4\times0&1\times(-1)+4\times3\\(-1)\times2+2\times0&(-1)\times(-1)+2\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&11\\-2&7\end{pmatrix}$.
$AB\neq BA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif en général.

Exercice 3 — Transposée — propriétés
Corrigé :
${}^tA=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\\-1&4\end{pmatrix}$, ${}^tB=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\end{pmatrix}$.
$AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot(-1)+(-1)\cdot3&1\cdot0+2\cdot2+(-1)\cdot1\\0\cdot1+3\cdot(-1)+4\cdot3&0\cdot0+3\cdot2+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&3\\9&10\end{pmatrix}$.
${}^t(AB)=\begin{pmatrix}-4&9\\3&10\end{pmatrix}$. D'autre part ${}^tB\,{}^tA=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&3\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2-3&0-3+12\\0+4-1&0+6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&9\\3&10\end{pmatrix}$ ✓.
Symétrie de $A+{}^tA$ : ${}^t(A+{}^tA)={}^tA+{}^t({}^tA)={}^tA+A=A+{}^tA$ ✓.

Exercice 4 — Puissances d'une matrice
Corrigé :
$A^2=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}$.
Conjecture : $A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}$.
Récurrence : Initialisation : $A^1=A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\times1\\0&1\end{pmatrix}$ ✓.
Hérédité : supposons $A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}$, alors $A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3+3n\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3(n+1)\\0&1\end{pmatrix}$ ✓.

Exercice 5 — Contre-exemple et raisonnement
Corrigé :
$AB=\begin{pmatrix}1-1&1-1\\-1+1&-1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$.
On a $AB=0$ avec $A\neq 0$ et $B\neq 0$. Cela montre que le produit de deux matrices non nulles peut être la matrice nulle. En particulier, $XB=0$ ne permet pas de conclure $X=0$ (l'anneau des matrices n'est pas intègre).

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