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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes

Calculer l'inverse d'une matrice 2×2 ou 3×3 et résoudre des systèmes linéaires par la méthode matricielle (programme Maths expertes Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels — déterminant d'une matrice 2×2, Matrice inverse d'une matrice 2×2, Existence et unicité de la matrice inverse, Matrice inverse d'une matrice 3×3 : méthode de Gauss-Jordan. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Déterminants et inversibilité

/ 4 pts
  1. Calcule le déterminant de $A = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ et de $B = \begin{pmatrix}6 & 4 \\ 3 & 2\end{pmatrix}$.
  2. Ces matrices sont-elles inversibles ? Justifie.

Exercice 2 — Calcul de matrice inverse et vérification

/ 5 pts
  1. Soit $M = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Calcule $M^{-1}$.
  2. Vérifie que $M \times M^{-1} = I_2$ en effectuant le produit matriciel.

Exercice 3 — Résolution d'un système par AX = B

/ 5 pts
  1. Résous le système $\begin{cases}4x + 3y = 11 \\ x + y = 3\end{cases}$ en le mettant sous forme $AX = B$ et en utilisant $M^{-1}$ calculé à l'exercice précédent.
  2. Vérifie la solution dans les équations initiales.

Exercice 4 — Pivot de Gauss sur un système 3×3

/ 4 pts
  1. Résous par le pivot de Gauss : $\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4\end{cases}$
  2. Donne les opérations effectuées et la solution $(x, y, z)$.

Exercice 5 — Discussion d'un système selon un paramètre

/ 2 pts
  1. Soit le système $\begin{cases}kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12\end{cases}$ où $k$ est un réel. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ le système a-t-il une solution unique ? une infinité de solutions ? Aucune solution ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Déterminants et inversibilité
Corrigé :
$\det(A) = 5\times4 - 3\times2 = 20 - 6 = 14 \neq 0$ → A est inversible.
$\det(B) = 6\times2 - 4\times3 = 12 - 12 = 0$ → B n'est pas inversible (les lignes sont proportionnelles : $(6,4) = 2\times(3,2)$).

Exercice 2 — Calcul de matrice inverse et vérification
Corrigé :
$\det(M) = 4\times1 - 3\times1 = 1$.
$M^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -3 \\ -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\ -1 & 4\end{pmatrix}$.
Vérification :
$M \times M^{-1} = \begin{pmatrix}4&3\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\times1+3\times(-1) & 4\times(-3)+3\times4 \\ 1\times1+1\times(-1) & 1\times(-3)+1\times4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2$. ✓

Exercice 3 — Résolution d'un système par AX = B
Corrigé :
La matrice des coefficients est $M = \begin{pmatrix}4&3\\1&1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}$.
$X = M^{-1}B = \begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11-9\\-11+12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.
Donc $x = 2$ et $y = 1$.
Vérification : $4\times2+3\times1=11$ ✓ ; $2+1=3$ ✓.

Exercice 4 — Pivot de Gauss sur un système 3×3
Corrigé :
Matrice augmentée :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&4\end{array}\right)$$
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $(0,-3,-1,-9)$.
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $(0,1,-2,-2)$.
$L_3 \leftarrow L_3 + \frac{1}{3}L_2$ (ou $3L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$) :
$3L_3+L_2 : (0,0,-7,-15)$.
Donc $-7z = -15 \Rightarrow z = 15/7$. Hmm, essayons de vérifier : $-3y - z = -9$ et $z=15/7$ → $-3y = -9+15/7 = (-63+15)/7=-48/7 \Rightarrow y=16/7$. Puis $x=6-16/7-15/7=6-31/7=42/7-31/7=11/7$.
Solution : $(x,y,z) = (11/7, 16/7, 15/7)$. Vérif ligne 1 : $11/7+16/7+15/7=42/7=6$ ✓ ; ligne 2 : $22/7-16/7+15/7=21/7=3$ ✓ ; ligne 3 : $11/7+32/7-15/7=28/7=4$ ✓.

Exercice 5 — Discussion d'un système selon un paramètre
Corrigé :
La matrice des coefficients est $A = \begin{pmatrix}k&2\\3&6\end{pmatrix}$.
$\det(A) = 6k - 6 = 6(k-1)$.
— Si $k \neq 1$ : $\det(A) \neq 0$ → solution unique.
— Si $k = 1$ : $\det(A) = 0$. La 2e équation vaut $3x+6y=12 \Leftrightarrow x+2y=4$, qui est la même que la 1re. Donc infinité de solutions de la forme $(4-2t, t)$, $t \in \mathbb{R}$.
Il n'y a jamais de système incompatible car pour $k=1$ les deux équations sont identiques.

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