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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$, division euclidienne, PGCD et PPCM : fondements de l'arithmétique au programme de l'option Maths expertes (Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ : définitions et premières propriétés, Division euclidienne, PGCD — définition et propriétés, Algorithme d'Euclide. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne

/ 4 pts
  1. Soit $a = 5$ et $b = 3$. Montrer que $a \mid (a^2 - a)$ et que $b \nmid (a^2 - a)$.
  2. Effectuer la division euclidienne de $-83$ par $11$ et écrire l'égalité $a = bq + r$.
  3. Montrer que si $n \in \mathbb{Z}$ alors $6 \mid n(n+1)(n+2)$.

Exercice 2 — Algorithme d'Euclide

/ 5 pts
  1. Calculer $\text{PGCD}(378, 252)$ en détaillant toutes les étapes de l'algorithme d'Euclide.
  2. En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{378}{252}$.
  3. Calculer $\text{PPCM}(378, 252)$.

Exercice 3 — Entiers premiers entre eux

/ 4 pts
  1. Montrer que $\text{PGCD}(n, n+3) \in \{1, 3\}$ pour tout entier $n > 0$.
  2. Donner un exemple où $\text{PGCD}(n, n+3) = 3$ et un exemple où $\text{PGCD}(n, n+3) = 1$.
  3. En déduire pour quelles valeurs de $n$ les entiers $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux.

Exercice 4 — Problème de calendrier

/ 4 pts
  1. Deux satellites A et B survolent la même base à $t = 0$. A repasse toutes les $56$ jours, B toutes les $40$ jours. Calculer $\text{PGCD}(56, 40)$ et $\text{PPCM}(56, 40)$.
  2. Au bout de combien de jours les deux satellites survolent-ils simultanément la base pour la première fois après $t = 0$ ?
  3. Combien de fois cela se produira-t-il au cours de la première année (365 jours), $t=0$ compris ?

Exercice 5 — Raisonnement général

/ 3 pts
  1. Soit $d = \text{PGCD}(a,b)$. On pose $a = d\alpha$ et $b = d\beta$. Montrer que $\text{PGCD}(\alpha, \beta) = 1$.
  2. Montrer que si $a \mid c$ et $b \mid c$ et $\text{PGCD}(a,b)=1$, alors $ab \mid c$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne
Corrigé :
1. $a^2 - a = 25 - 5 = 20 = 5 \times 4$, donc $5 \mid 20$. Or $20 = 3 \times 6 + 2$, reste $2 \neq 0$, donc $3 \nmid 20$.
2. $-83 = 11 \times (-8) + 5$ car $11 \times (-8) = -88$ et $-83 - (-88) = 5$. Vérification : $0 \leq 5 < 11$. ✓
3. Parmi trois entiers consécutifs $n, n+1, n+2$ : l'un est divisible par $3$ (les entiers sont répartis en classes mod 3). De plus, parmi deux entiers consécutifs quelconques, l'un est pair. Donc $2 \mid n(n+1)(n+2)$ et $3 \mid n(n+1)(n+2)$. Comme $\text{PGCD}(2,3)=1$, on conclut $6 \mid n(n+1)(n+2)$.

Exercice 2 — Algorithme d'Euclide
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide :
$378 = 252 \times 1 + 126$
$252 = 126 \times 2 + 0$
Donc $\text{PGCD}(378, 252) = 126$.
2. $\frac{378}{252} = \frac{378/126}{252/126} = \frac{3}{2}$. Les entiers $3$ et $2$ sont premiers entre eux ($\text{PGCD}(3,2)=1$).
3. $\text{PPCM}(378,252) = \frac{378 \times 252}{126} = \frac{95256}{126} = 756$.

Exercice 3 — Entiers premiers entre eux
Corrigé :
1. Soit $d = \text{PGCD}(n, n+3)$. Alors $d \mid n$ et $d \mid (n+3)$, donc $d \mid [(n+3) - n] = 3$. Ainsi $d$ divise $3$, donc $d \in \{1, 3\}$.
2. $\text{PGCD}(6, 9) = 3$ (exemple avec $d=3$). $\text{PGCD}(5, 8) = 1$ (exemple avec $d=1$).
3. $d = 3$ ssi $3 \mid n$. Donc $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux ssi $n$ n'est pas divisible par $3$, c'est-à-dire $n \not\equiv 0 \pmod{3}$.

Exercice 4 — Problème de calendrier
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide : $56 = 40 \times 1 + 16$ ; $40 = 16 \times 2 + 8$ ; $16 = 8 \times 2 + 0$. Donc $\text{PGCD}(56,40) = 8$. $\text{PPCM}(56,40) = 56 \times 40 / 8 = 280$.
2. Ils survolent simultanément pour la première fois après $t = 0$ au bout de $\text{PPCM}(56,40) = 280$ jours.
3. Les instants de survol commun sont $t = 0, 280, 560, \ldots$ On cherche $280k \leq 365$, soit $k \leq 1{,}30$, donc $k \in \{0, 1\}$ : $2$ fois ($t=0$ et $t=280$).

Exercice 5 — Raisonnement général
Corrigé :
1. Soit $\delta = \text{PGCD}(\alpha,\beta)$. Alors $\delta \mid \alpha$ et $\delta \mid \beta$, donc $d\delta \mid d\alpha = a$ et $d\delta \mid d\beta = b$. Ainsi $d\delta$ est un diviseur commun de $a$ et $b$. Or $d = \text{PGCD}(a,b)$ est le plus grand, donc $d\delta \leq d$, soit $\delta \leq 1$. Comme $\delta \geq 1$, on conclut $\delta = 1$.
2. Puisque $a \mid c$, on peut écrire $c = ak$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$. Puisque $b \mid c = ak$ et $\text{PGCD}(a,b)=1$, d'après le lemme de Gauss (admis ici), $b \mid k$. On écrit $k = b\ell$, d'où $c = ab\ell$, soit $ab \mid c$.

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